Арифметические основы

Перевод чисел из одной системы счисления в другую, когда одно основание является целой степенью другого.

Как мы уже знаем, в ЭВМ наибольшее применение находит система с основаниями 2, 4, 8, 16, т.е. системы которые кратны степени 2. Поэтому целесообразно рассмотреть лишь правила перевода чисел в этих системах. Аналогичные правила будут справедливы и для других систем. Допустим, что имеется некоторое целое число N₈ в 8-ой системе. Оно может быть представлено в виде:

N8 = a1*8n-1 + a2*8n-2 + a3*8n-3 + ... 
   + an-2*82 + an-1*81 + an*80.

Пусть каким-либо образом мы получили запись этого числа в виде двоичного, т.е.:

N2 = b1*2k-1 + b2*2k-2 + ... 
   + bk-2*22 + bk-1*21 + bk*20.

Разделим эти выражения на 2³ = 8:

a1*8n-2 + a2*8n-3 + a3*8n-4 + ... + an-1*80 + an*8-1
                                         -------
                                         дробная часть

b1*2k-4 + b2*2k-5 + ... + bk-3*20 + bk-2*2-1 + bk-1*2-2 + bk*2-3
                                 -------------------------
                                             дробная часть

Так как числа были равны, то получается одинаковые частные и одинаковые остатки:

a_n*8^-1 = b_k-2*2^-1 + b_k-1*2^-2 + b_k*2^-3. (6.2)

Если снова разделим целые части на 2³ = 8, то опять получим равные частные и равные остатки.

При этом видим, что каждой восьмеричной цифре соответствует её двоичный эквивалент. Поэтому перевод выполняется простой заменой цифры восьмеричной системы её двоичным эквивалентом и обратно.

Пример:

62,7538 = 110010,1111010112

Аналогично для 4-ой системы:

321,22334 = 111001,101011112

Аналогично для 16-ой системы:

1D876,72 = 00011101100001110110,011100102

Из этих примеров видим, что чем выше основание системы счисления, тем компактнее запись.

Если умножить последние соотношения (6.2) на 8, то:

an*8-1*8 = (bk-2*2-1 + bk-1*2-2 + bk*2-3)*23
an = bk-2*22 + bk-1*21 + bk*20