Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы ФАЛ

Введем понятие степени:

Рассмотрим конъюнкцию вида:

Существует 2ⁿ наборов вида Поставим в соответствие каждой конъюнкции (*) номер набора i и образуем дизъюнкцию всех конъюнкций:

Теорема (без доказательства):

Любая ФАЛ, зависящая от ' n ' аргументов, может быть представлена в форме:

Из этой теоремы вытекает ряд важных следствий:

1. Она дает возможность перейти от табличного задания функции к аналитической форме и сделать обратный переход.
2. Устанавливает так называемую функциональную полноту связок (базиса) " -", т.к. позволит построить в этом базисе произвольную ФАЛ от произвольного числа аргументов.

Примечание:

1. Если то соответствующая форма функции называется дизъюнктивной нормальной (ДНФ).
2. Если i=n, то каноническая форма функции носит название совершенной ДНФ (СДНФ). Дизъюнкции берутся по тем наборам, на которых функция f(X_{1},X_{2},...,X_{n})=1

Пример: ДНФ

Пример: СДНФ

В ДНФ в каждый член любая переменная входит в прямом виде или с отрицанием.

Аналогичная теорема справедлива и для представления функции в конъюнктивной нормальной форме (КНФ):

или при представлении в совершенной КНФ (СКНФ):

где: & означает, что конъюнкции берутся по тем наборам, на которых

f(Х_{1}, Х_{2}, ... Х_{n})=0.

Дадим на основании этих теорем правило перехода от табличной формы функции к СДНФ и СКНФ.

Переход от табличной формы функции к СДНФ или правило записи функции по единицам:

1. Выбрать те наборы аргументов, на которых f(Х_{1}, Х_{2}, ... Х_{n})=1.
2. Выписать все конъюнкции для этих наборов. Если при этом Х_{i} имеет значение ' 1 ', то этот множитель пишется в прямом виде, если ' 0 ', то с отрицанием.
3. Все конъюнктивные члены соединить знаком дизъюнкции

Пример:

Правило перехода от табличной формы задания функции к СКНФ или правило записи функции по нулям.

1. Выбрать те наборы аргументов, на которых f(Х_{1}, Х_{2}, ... Х_{n})=0.
2. Если при этом Х_{i} имеет значение ' 0 ', то остается без изменений. Если ' 1 ', то с отрицанием.
3. Все дизъюнктивные члены соединить знаком конъюнкции

Пример:

Пример:

Рассмотрим способ получения СДНФ из СКНФ и обратно.

Из таблицы 2.1 с помощью способа записи функции по нулям следует, что СКНФ той же функции дизъюнкции будет иметь вид:

Итак, имеем две формы одной и той же функции:

Итак, видно, что общее число членов в этих двух формах равно сумме нулей и единиц функции, то есть равно 2ⁿ.

Если в исходной форме функции, записанной в СКНФ или СДНФ, содержится z членов, то в другой ее форме (т.е. СДНФ или СКНФ ) их будет (2ⁿ- z).

Поскольку в функцию мы включаем дизъюнктивные или конъюнктивные члены и берем их по наборам, на которых функция или обращается в ' 0 ', или в ' 1 ', то для перехода от одной формы задания функции к другой нужно выписать все недостающие члены и поставить над каждой переменной отрицание, а также заменить знаки конъюнкции на дизъюнкцию и обратно.

т.е. получили СДНФ.

Практический смысл перехода заключается в том, что можно определить, реализация какой формы потребует меньший объем оборудования.