НОУ ИНТУИТ | Алгоритмические основы современной компьютерной графики. Лекция 3: Геометрические преобразования

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 20.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аналитическое представление кривых и поверхностей

Пусть на плоскости задана декартова система координат.

Кривая на плоскости - это геометрическое место точек (x,y) , удовлетворяющих уравнению

( 3.10)

где

- функция двух переменных. Ясно, что далеко не каждая функция будет задавать линию. Так, например, уравнению

не удовлетворяет ни одна точка плоскости, а уравнению

удовлетворяет только одна точка (0,0)

.

Для аналитического представления кривой во многих случаях удобнее задавать кривую параметрическими уравнениями, используя вспомогательную переменную (параметр) :

$x=\varphi(t), \quad y=\psi(t), t \in [a,b],$

( 3.11)

где $\varphi$ и $\psi$ - непрерывные функции на заданном интервале изменения параметра. Если функция $\varphi(t)$ такова, что можно выразить

через $x(t=\varphi^{-1}(x))$ , то от параметрического представления кривой легко перейти к уравнению (3.10):

$y=\psi(\varphi^{-1}(x))=0.$

Систему уравнений (3.11) можно записать в векторном виде:

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{f}(t), \quad \overrightarrow{r}=(x,y), \quad \overrightarrow{f}(t)=(\varphi(t),\psi(t)).$

Отрезок прямой представляет собой частный случай кривой, причем параметрическое представление его может иметь вид

$x=t, \quad y=at+b, \quad t \in[t_1,t_2]$

или

$x=at+b, y=t, t\in[t_1,t_2]$

Окружность радиуса с центром в точке (x_0,y_0) может быть представлена параметрическими уравнениями

$x=x_0+r\cdot\cos t, \quad y=y_0+r\cdot\sin t, t\in[0,2\pi].$

Перейдем к трехмерному пространству с заданной декартовой системой координат.

Поверхность в пространстве - это геометрическое место точек (x,y,z) , удовлетворяющих уравнению вида

( 3.12)

Так же как и в случае кривой на плоскости, не всякая функция описывает какую-либо поверхность. Например, уравнению

не удовлетворяет ни одна точка пространства. Поверхность также может быть задана в параметрическом виде, но в отличие от кривой для этого требуются две вспомогательные переменные (параметры):

$x=\varphi(u,v), \quad y=\psi(u,v), \quad z=\zeta(u,v), \quad u\in[a,b], \quad v\in[c,d].$

( 3.13)

Например, сфера радиуса с центром в точке (x_0, y_0, z_0) может быть задана уравнением

либо же параметрическими уравнениями

$x=x_0+r\cdot\cos u\cdot\cos v, \quad y=y_0+r\cdot\sin u, \quad z=z_0+r\cdot\cos u \cdot\sin v.$

Кривую в пространстве можно описать как пересечение двух поверхностей, т.е. с помощью системы уравнений

$F_1(x,y,z)=0, \quad F_2(x,y,z)=0$

( 3.14)

или параметрическими уравнениями вида

$x=\varphi(t), \quad y=\psi(t), z=\zeta(t), \quad t\in[a,b].$

( 3.15)

Дальше >>

Авторизоваться

Алгоритмические основы современной компьютерной графики

Геометрические преобразования

Аналитическое представление кривых и поверхностей

Вопросы и ответы