НОУ ИНТУИТ | Алгоритмические основы современной компьютерной графики. Лекция 3: Геометрические преобразования

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 20.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Линейной комбинацией векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется вектор $\overrightarrow{c}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}$ . При этом числа $\alpha$ и $\beta$ называются коэффициентами разложения вектора $\overrightarrow{c}$ по векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ .

Если два вектора $\overrightarrow{r}_1$ и $\overrightarrow{r}_2$ заданы своими координатами (x_1, y_1, z_1) и (x_2, y_2, z_2) , то операции над ними легко выразить через эти координаты:

$\overrightarrow{r}_1+\overrightarrow{r}_2=\overrightarrow{r}=({x}_1+{x}_2,{y}_1+{y}_2,{z}_1+{z}_2);$
$\overrightarrow{r}_1-\overrightarrow{r}_2=\overrightarrow{r}=({x}_1-{x}_2,{y}_1-{y}_2,{z}_1-{z}_2);$
$\alpha\overrightarrow{r}_1=\overrightarrow{r}=(\alpha{x}_1,\alpha{y}_1,\alpha{z}_1)$ .

Векторы $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Векторы называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно только в случае равенства нулю коэффициентов $\alpha$ и $\beta$ .

Справедливы следующие свойства:

Каковы бы ни были неколлинеарные векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , для любого вектора $\overrightarrow{c}$ , лежащего в одной плоскости с ними, существуют числа $\alpha$ и $\beta$ , такие, что $\overrightarrow{c}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}$ , причем такая пара чисел для каждого вектора единственная. Такое представление вектора $\overrightarrow{c}$ называется разложением по векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ .
Каковы бы ни были некомпланарные векторы $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ , для любого вектора $\overrightarrow{d}$ существуют числа $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ , такие, что $\overrightarrow{d}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}+\gamma\overrightarrow{c}$ , причем эта тройка чисел для каждого вектора - единственная (разложение вектора $\overrightarrow{d}$ по векторам $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ ).
Любые три вектора в системе координат плоскости являются линейно зависимыми.
Любые четыре вектора в системе координат пространства являются линейно зависимыми.

Говорят, что пара линейно независимых векторов на плоскости (тройка линейно независимых векторов в пространстве) образуют базис, поскольку любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов. Коэффициенты разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе. Если векторы базиса взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину, то базис называется ортонормированным, а векторы базиса называются ортами. Таким образом, базис из единичных векторов, направленных вдоль осей декартовой системы координат, является ортонормированным.

Скалярным произведением векторов $\overrightarrow{r}_1$ и $\overrightarrow{r}_2$ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Будем обозначать скалярное произведение векторов символом $(\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_2)$ . Тогда скалярное произведение можно выразить формулой

$(\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_2=|\overrightarrow{r}_1|\cdot|\overrightarrow{r}_2|\cos\alpha).$

Несложно доказать следующие свойства данной операции.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.
Если угол между двумя векторами острый, то скалярное произведение этих векторов положительно, если же угол тупой, то скалярное произведение отрицательно.
$(\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_2)=(\overrightarrow{r}_2\cdot\overrightarrow{r}_1)$ (свойство коммутативности).
$\alpha(\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_2)=(\alpha\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_2)=(\overrightarrow{r}_1\cdot\alpha\overrightarrow{r}_2)$ (сочетательное относительно числового множителя свойство).
$((\overrightarrow{r}_1+\overrightarrow{r}_2)\cdot\overrightarrow{r}_3)=(\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_3)+(\overrightarrow{r}_2\cdot\overrightarrow{r}_3)$ (распределительное относительно суммы векторов свойство).
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату длины вектора.

Приведем некоторые формулы, связанные с разложением вектора в декартовой системе координат.

Пусть векторы $\overrightarrow{r}_1$ и $\overrightarrow{r}_2$ заданы своими координатами (x_1,y_1,z_1) и (x_2,y_2,z_2) . Тогда их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

$(\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_2)=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2.$

( 3.1)

Отсюда следует условие перпендикулярности векторов:

И, наконец, косинус угла между векторами вычисляется по формуле

$\cos\varphi=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2}_{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}.$

( 3.2)

Теперь расстояние между двумя точками с координатами (x_1,y_1,z_1) и (x_2,y_2,z_2) можно выразить через скалярное произведение соответствующих векторов:

$d=|{(\overrightarrow{r}_1 - \overrightarrow{r}_2)}|.$

Введем еще одно понятие, касающееся векторов. Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой - вторым и какой - третьим. При записи тройки векторов будем располагать эти векторы в порядке их следования. Так, запись $\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}$ означает, что первым вектором тройки является вектор $\overrightarrow{b}$ , вторым - $\overrightarrow{a}$ , третьим - $\overrightarrow{c}$ .

Тройка векторов называется правой ( левой ), если после приведения к общему началу вектор $\overrightarrow{c}$ располагается по ту сторону от плоскости, содержащей векторы $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , откуда кратчайший поворот от $\overrightarrow{a}$ к $\overrightarrow{b}$ кажется совершающимся против часовой стрелки ( по часовой стрелке ).

Векторным произведением вектора $\overrightarrow{a}$ на вектор $\overrightarrow{b}$ называется вектор $\overrightarrow{c}$ , обозначаемый символом $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ и удовлетворяющий следующим требованиям:

длина вектора $\overrightarrow{c}$ равна произведению длин векторов $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ на синус угла между ними, т.е.
$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\sin\varphi;$
вектор $\overrightarrow{c}$ ортогонален векторам $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ ;
вектор $\overrightarrow{c}$ направлен так, что тройка векторов $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}$ является правой.

Приведем (без доказательства) основные свойства векторного произведения.

$[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}]=-[\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}]$ (антисимметричность);
$\alpha[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}]=[\alpha\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}]$ (сочетательное свойство относительно умножения на число);
$[(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times\overrightarrow{c}]=[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}]+[\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}]$ (распределительное свойство относительно сложения);
$[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a}]=0$ для любого вектора $\overrightarrow{a}$ .

Ясно, что векторное произведение двух коллинеарных векторов дает нулевой вектор. Выведем теперь формулy для векторного произведения. Пусть базисные векторы декартовой системы координат $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ образуют правую тройку. Тогда справедливы следующие соотношения:

$\begin{gathered} &[\overrightarrow{i}\times\overrightarrow{j}]=\overrightarrow{k}=-[\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{i}], \quad [\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{k}]=\overrightarrow{i}=-[\overrightarrow{k}\times\overrightarrow{j}], \\ [\overrightarrow{k}\times\overrightarrow{i}]=\overrightarrow{j}=-[\overrightarrow{i}\times\overrightarrow{k}] \end{gathered}$

Если заданы два вектора $\overrightarrow{r}_1=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}$ и $\overrightarrow{r}_2=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}$ , то, учитывая свойства векторного произведения, отсюда легко вывести, что

$\overrightarrow{r}_3=[\overrightarrow{r}_1\times\overrightarrow{r}_2]=x_3\overrightarrow{i}+y_3\overrightarrow{j}+z_3\overrightarrow{k},$

где

$x_3=y_1 z_2-z_1 y_2, \quad y_3=z_1 x_2-x_1 z_2, \quad z_3=x_1 y_2-y_1 x_2.$

( 3.3)

Дальше >>

Авторизоваться

Алгоритмические основы современной компьютерной графики

Геометрические преобразования

Вопросы и ответы