Квадратичное сравнение

Пример 13.13

Для какого значения n группа имеет примитивные корни: 17, 20, 38 и 50?

Решение

a. имеет примитивные корни, потому что 17 — простое число ( p^t, где t равно 1 ).

b. не имеет никаких примитивных корней.

c. имеет первообразные корни, потому что и 19 — простое число.

d. имеет первообразные корни, потому что , а 5 — простое число.

Если группа имеет примитивный корень, то обычно она имеет несколько таких корней. Число примитивных корней может быть вычислено как — . Например, число примитивных корней — это — . Обращаем внимание, что нужно сначала проверить, имеет ли группа какой-либо примитивный корень, прежде чем находить число корней.

Если группа G = < Z _n* , x > имеет хотя бы один примитивный корень, то число примитивных корней — ( (n))

Рассмотрим три вопроса:

1. Если дан элемент a и группа , как можно определить, является ли a примитивным корнем G? Это не такая легкая задача.

а. Мы должны найти , — эта задача по сложности подобна задаче разложения на множители числа n.

б. Мы должны найти .

2. Если дана группа , как найти все примитивные корни ? Эта задача более трудная, чем первая задача, потому что мы должны повторить вычисления по п.1.б для всей группы.

3. Если дана группа , то как выбирать примитивный корень G? В криптографии мы должны найти, по крайней мере, один примитивный корень в группе. Однако в этом случае значение n выбирается пользователем, и пользователь знает . Пользователь пробует последовательно несколько элементов, пока не находит первый из них.

Циклическая группа. Циклические группы уже обсуждались в лекциях 5-6. Обратите внимание на то, что, если группа имеет примитивные корни, то они циклически повторяются. Каждый примитивный корень — генератор и может использоваться для создания целого набора. Другими словами, если g — примитивный корень в группе, мы можем генерировать набор Z_n^* как

Пример 13.14

Группа имеет два примитивных корня, потому что и . Можно найти примитивные корни - это 3 и 7. Ниже показано, как можно создать целый набор Z_10*, использующий каждый примитивный корень.

g = 3 -> g1 mod 10 = 3   g2 mod 10 = 9   g3 mod 10 = 7   g4 mod 10 = 1
g = 7 -> g1 mod 10 = 7   g2 mod 10 = 9   g3 mod 10 = 3   g4 mod 10 = 1

Обратите внимание, что группа всегда циклическая, потому что p — простое.

Группа G = < Zn*, x > является циклической группой, если она имеет примитивные корни.
Группа G = < Zp*, x > всегда является циклической.

Идея дискретного логарифма. Группа имеет несколько интересных свойств.

1. Её элементы включают все целые числа от 1 до p – 1.
2. Она всегда имеет примитивные корни.
3. Она всегда является циклической. Элементы могут быть созданы с использованием g^x, где x — целое число от 1 до .
4. Примитивные корни можно представлять себе как основание логарифма. Если группа имеет k примитивных корней, то вычисления могут быть сделаны для k различных оснований. Данный x = log_g y для любого элемента y в данном множестве, но есть другой элемент x, который является логарифмом y по основанию g. Этот тип логарифма называют дискретным логарифмом. Дискретный логарифм в литературе определяется несколькими различными символами, но мы будем использовать обозначение L_g, чтобы показать, что основание — g (сравнение по модулю).

Решение модульного логарифма с использованием дискретных логарифмов

Теперь рассмотрим, как решаются задачи типа y = a^x (mod n), т. е. дано y, а мы должны найти x.

Табулирование дискретных логарифмов. Один из способов решения вышеупомянутой проблемы — использовать таблицу для каждого Z_p* и различных оснований. Этот тип таблицы может быть предварительно рассчитан и сохранен. Например, таблица 13.4 показывает значения дискретного логарифма для Z_7*. Мы знаем, что мы имеем два примитивных корня или основания в данном множестве.

Составив таблицы для других дискретных логарифмов для всех групп и всех возможных оснований, мы можем решить любую дискретную логарифмическую проблему. Этот подход подобен изучаемым в прошлом традиционным логарифмам. До появления калькуляторов и компьютеров таблицы использовались, чтобы вычислять логарифмы по основанию 10.

Пример 13.15

Найдите x в каждом из следующих случаев:

a.

b.

Решение

Мы можем легко использовать таблицу 13.4 дискретного логарифма.

a.

b.

Использование свойств дискретных логарифмов. Чтобы показать, что дискретные логарифмы ведут себя точно так же, как традиционные логарифмы, в таблице 13.5 приводится несколько свойств обоих типов логарифмов. Обратите внимание, что основание модуля — вместо n.

Таблица 13.5. Сравнение традиционных и дискретных логарифмов

Традиционные логарифмы	Дискретные логарифмы
loga 1 = 0	Lg 0(mod (n))
loga (x x y) = logax + logay	Lg(x x y) Lgx + Lgy
logaxk = k x logax	Lgx k x Lgx(mod (n))

Использование алгоритмов, основанных на дискретных логарифмах. Таблицы и свойства дискретных логарифмов не могут быть использованы для решения уравнения y = a ^x (mod n), когда n является очень большим. Для решения этой проблемы были разработаны несколько алгоритмов, в которых используется основная идея дискретных логарифмов. Хотя все эти алгоритмы более эффективны, чем алгоритмы полного перебора, которые мы упоминали в начале этого раздела, но ни один из них не имеет полиномиальную сложность. Большинство этих алгоритмов имеет такой же уровень сложности, как проблема разложения на множители.