НОУ ИНТУИТ | Графы и их применение. Лекция 11: О деревьях

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.07.2006 | Уровень: для всех | Доступ: свободно | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

Аннотация: Представления деревьев. Представление с помощью матрицы смежности. Представление с помощью списков смежности. Представление с помощью списка ребер и кода Прюфера. Алгоритм построения кода Прюфера. Алгоритм раскодирования. Уровневые коды корневых деревьев. Перечисление и подсчет деревьев. Непомеченные деревья. Ориентированные деревья. Каркасы в неориентированном графе. Каркасы в ориентированных графах.

Ключевые слова: дерево, изоморфизм, Представление дерева, представление, граф, матрица смежности, симметрическая матрица, Неориентированный граф, матрица, список, списки смежности, нумерация, множество вершин, Функция кода Прюфера, множества, Функция распаковки, расстояние, единица, Уровневый код, каноническим, лексикографическая упорядоченность, производящая функция, корневое дерево, функция, ориентированное дерево, место, матрица смежности, Алгебраическим дополнением, каркас графа, матрица инциденций, транспонирование, определитель, остовное дерево графа, орграф, Полустепень исхода

Представления деревьев

Каждому дереву можно поставить в соответствие некоторый код. С помощью этого кода можно восстановить дерево с точностью до изоморфизма. Существуют различные способы кодировки деревьев, которые позволяют решать конкретные задачи (подсчет деревьев, установление изоморфизма, генерирование всех неизоморфных деревьев и т.д.). Представлением дерева называется способ записи информации о нем, однозначно и полностью восстанавливающий структуру дерева и позволяющий вычислить его характеристики. Выбор представления зависит от решаемой задачи и способа ее решения. Рассмотрим наиболее распространенные способы задания деревьев.

Представление с помощью матрицы смежности

Это представление является общим для всех видов графов; оно задает граф с точностью до изоморфизма, но вместе с тем данное представление неэкономично, так как ненулевыми являются для -вершинного дерева только $2\times n-2$ из $n^{2}$ элементов матрицы.

Задание графа матрицей смежности, размера $n\times n$ , где — число вершин графа. A(i,j)=1 , если вершины и смежные, в противном случае A(i,j)=0 . — симметрическая матрица для неориентированного графа и несимметрическая для ориентированного.

Для неориентированного графа матрица смежности симметрична относительно главной диагонали, поэтому можно задавать только верхнюю треугольную половину матрицы, но это не улучшает ситуацию. Другой недостаток этого представления заключается в том, что трудоемкость алгоритмов, работающих с таким представлением, не может быть ниже.

Пример.

Рис. 11.1.

$\begin{pmatrix}{0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {1} & {1} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {1} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \end{pmatrix}$

Представление с помощью списков смежности

В этом представлении каждой вершине дерева сопоставляется список смежных вершин вида $v_{i_{1}},v_{i_{2}}\dts v_{i_{n}}$ .

Для дерева из предыдущего примера списки смежности имеют вид

$\begin{aligned} & \begin{aligned} \,\,v_{4} &: v_{1},v_{2},v_{3},v_{5};\\ v_{5} &:v_{4},v_{6},v_{7}; \\ v_{7} &:v_{5},v_{8},v_{9};\\ \end{aligned}\\ & \left. \begin{aligned} v_{1} &:v_{4}; \\ v_{2} &:v_{4}; \\ v_{3} &:v_{4}; \\ v_{6} &:v_{5}; \\ v_{8} &:v_{7}; \\ v_{9} &:v_{7}; \end{aligned} \right\} \t{— необязательно} \end{aligned}$

При машинной организации списки смежности могут быть связаны между собой разными способами, например, копируя структуру дерева.

Дальше >>

Авторизоваться

Графы и их применение

О деревьях

Представления деревьев

Представление с помощью матрицы смежности

Представление с помощью списков смежности

Вопросы и ответы