О деревьях

Перечисление и подсчет деревьев

Теорема (Кэли) Число помеченных деревьев с вершинами равно .

Теорема (Скойнса) Число -раскрашенных деревьев с вершинами одного цвета и вершинами другого равно .

Теорема (Рида) Число помеченных гомеоморфно несводимых деревьев равно .

Непомеченные деревья

Пусть — производящая функция для корневых деревьев.

Таким образом, представляет собой число корневых деревьев с вершинами.

Теорема (Пойа) Перечисляющий ряд корневых деревьев удовлетворяет соотношению

( *)

Из этой теоремы следует, что однозначно определяется функциональным уравнением (*). Из данного уравнения выводится формула для . Данную зависимость получил Кэли: .

Следующая рекурсивная функция для вычисления принадлежит Оттеру.

Пусть

Теорема (Оттера) Ряд , перечисляющий деревья, выражается через ряд для корневых деревьев с помощью формулы .

Ориентированные деревья

Пусть и — перечисляющие ряды для ориентированных и для корневых ориентированных деревьев, соответственно.\medskip

Теорема (Харари-Принса) Перечисляющие ряды и для ориентированных и для корневых ориентированных деревьев удовлетворяют соотношениям и .