НОУ ИНТУИТ | Графы и их применение. Лекция 10: Цепи Маркова

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.07.2006 | Уровень: для всех | Доступ: свободно | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

Теорема 10.1. Если в полном ориентированном графе с вершинами хотя бы две вершины имеют одинаковые степени выхода, то в этом ориентированном графе найдутся такие вершины, что дуги (ребра), соединяющие их, образуют ориентированный цикл.

Задача 2. Турнир между шахматистами закончился без ничьих. Можно ли пронумеровать всех участников в таком порядке, чтобы оказалось, что каждый выиграл партию у шахматиста, имеющего номер на единицу больше?

Решение. Достаточно выяснить, что всякий полный ориентированный граф с вершинами имеет простой путь, проходящий через все вершины орграфа. Доказательство: проведем методом математической индукции по числу вершин орграфа.

Для n=2 утверждение верно. Теперь предположим, что в любом полном орграфе с вершинами найдется простой путь, проходящий через все вершины графа. Обозначим его $p_{n} =(a_{1},a_{2}),(a_{2},a_{3})\dts$ $(a_{n-1},a_{n})$ . Добавим теперь произвольную вершину $a_{n+1}$ и ребра (дуги), соединяющие ее со всеми остальными вершинами орграфа .

Если ребро (дуга), соединяющее $a_{n+1}$ и $a_{n}$ , направлено от $a_{n}$ к $a_{n+1}$ , то пройден путь $p_{n}$ до $a_{n+1}$ (рис. 10.3). Если ребро (дуга) направлено от $a_{n+1}$ к a_n , то рассмотрим последовательность ребер (дуг), соединяющих $a_{n+1}$ с $a_{n-1},a_{n-2},\ldots,a_2,a_1$ . Если все ребра (дуги) направлены от $a_{n+1}$ , то к пути p_n можно добавить ребро $a_{n+1}, a_1$ .

Если они не все выходят из $a_{n+1}$ , то возьмем первое ребро (дугу) этой последовательности, входящее в $a_{n+1}$ . Пусть это будет ребро (дуга) $(a_{k},a_{n+1})$ (рис. 10.4).

Прервем путь $p_{n}$ в $a_{k}$ и продолжим его по ребрам (дугам) $(a_{k},a_{n+1})$ , $(a_{n+1},a_{k+1})$ , после чего вновь вернемся к прежнему маршруту, то есть искомый путь будет следующим: $(a_{1},a_{2})\dts (a_{k},a_{n+1})$ , $(a_{n+1},a_{k+1})$ , $(a_{k+1},a_{k+2}),\ldots$ , $(a_{n-1},a_{1})$

По принципу математической индукции утверждение верно для всякого натурального .

А коль есть такой путь в графе, следовательно, всех игроков можно будет пронумеровать так, чтобы оказалось, что каждый выиграл партию у шахматиста, имеющего номер на единицу меньше.

Рис. 10.3.

Рис. 10.4.

Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 10.2. Всякий полный орграф с вершинами имеет простой ориентированный путь, проходящий через все вершины орграфа.

Дальше >>

Авторизоваться

Графы и их применение

Цепи Маркова

Вопросы и ответы