Задачи высшей математики с Maxima

3.2 Задачи линейной алгебры

Пакет Maxima включает большое число функций для решения разнообразных задач линейной алгебры.

Рассмотрим основные функции, позволяющие оперировать матрицами и решать основные задачи линейной алгебры.

3.2.1 Простейшие операции с матрицами

В Maxima на матрицах определены обычные операции умножения на число, сложения и матричного умножения. Последнее реализуется с помощью бинарной операции "." (точка). Размерности матрицсомножителей должны быть согласованы.

Рассмотрим несколько примеров.

Создание двух прямоугольных матриц:

(%i1)	a:matrix([1,2,3],[4,5,6]);

(%i2) b:matrix([2,2],[3,3],[4,4]);

Функция транспонирует матрицу:

(%i1)	a:matrix([1,2,3]); transpose(a);

Умножение матрицы на число:

(%i2)	c:b*2;

Сложение матриц (естественно, матрицы должны быть одинаковой формы, иначе возникает ошибка):

(%i4)	 b+c;

(%i5)	a+b;

fullmap: arguments must have same formal structure.
– an error. To debug this try: debugmode(true);

Умножение матриц (в данном случаем исходные матрицы и согласованы по размерам):

(%i6)	f:a.b;

Если матрица — левый сомножитель, то правым сомножителем может быть не только вектор-столбец, но и вектор-строка и даже список.

Maxima позволяет также возводить матрицы в степень, но фактически эта операция применяется к каждому элементу.

3.2.2 Обращение матриц и вычисление определителей

Для обращения матриц используется функция . Пример:

(%i1)	a:matrix([1,2],[3,4]);
	b:invert(a);
	b.a;

Определитель вычисляется функцией :

(%i4)	determinant(a);

3.2.3 Характеристический полином, собственные числа и собственные векторы матрицы

Характеристический полином матрицы вычисляется функцией ( — матрица, — переменная, относительно которой строится полином).

Пример:

(%i6)	charpoly(a,x);

(%i7)	ratsimp(%);

Корни характеристического полинома являются собственными числами матрицы.

Однако для вычисления собственных чисел и собственных векторов матрицы обычно используют специальные функции: и .

Функция аналитически вычисляет собственные значения и собственные вектора матрицы, если это возможно. Она возвращает список, первый элемент которого — список собственных чисел (аналогично ), а далее идут собственные вектора, каждый из которых представлен как список своих проекций.

(%i1)	a:matrix([1,1,1],[2,2,2],[3,3,3]);

(%i2)	eigenvalues(a);

(%i3)	eigenvectors(a);

Функция отличается от функции тем, что возвращает нормированные на единицу собственные векторы.

3.2.4 Ортогонализация

Maxima включает специальную функцию для вычисления ортонормированного набора векторов из заданного. Используется стандартный алгоритм Грама-Шмидта.

Синтаксис вызова: или .

Аргумент функции — матрица или список. В качестве компонентов системы векторов, на базе которой строится ортонормированная система, рассматриваются строки матрицы или подсписки списка . Для использования данной функции необходимо явно загрузить пакет eigen.

Пример:

(%i1)	load("eigen");

(%i2)	x:matrix([1,2,3],[4,5,6]);

(%i3)	y:gramschmidt(x);

(%i4)	ratsimp(%[1].%[2]);

3.2.5 Преобразование матрицы к треугольной форме

Преобразование матрицы к треугольной форме осуществляется методом исключения Гаусса посредством функции (аналогичный результат даёт функция ):

(%i1)	a:matrix([1,2,3],[4,5,x],[6,7,y]);

(%i2)	b:echelon(a);

Отличия рассматриваемых функций в том, что нормирует диагональный элемент на 1, а — нет. Обе функции используют алгоритм исключения Гаусса.

3.2.6 Вычисление ранга и миноров матрицы

Для расчёта ранга матрицы (порядка наибольшего невырожденного минора матрицы) используется функция .

Пример:

(%i1)	a:matrix([1,2,3,4],[2,5,6,9]);

Матрица — невырожденная (две строки, ранг равен 2). Вычислим ранг вырожденной матрицы, содержащей линейно-зависимые строки.

(%i1)	a:matrix([1,2,3,4],[2,5,6,9]);

(%i2)	rank(a);

(%i3)	b:matrix([1,1],[2,2],[3,3],[4,5]);

(%i4)	rank(b);

Минор матрицы вычисляется при помощи функции , где — матрица, — индексы элемента, для которого вычисляется минор.

3.2.7 Решение матричных уравнений

Пусть дано матричное уравнение , где — квадратная матрица размерности ; — матрица размерности ; — неизвестная матрица размерности . Пусть — невырожденная матрица (т.е. , тогда существует единственное решение этого уравнения. Решение можно найти по формуле

Пример: Найти решение матричного уравнения , где

Сначала зададим матрицы и :

(%i1)	A: matrix( [1, 2, 2],[ -1, -1, 3], [2, 5, 0]);

(%i2)	B:matrix([10, 0],[-2, 5], [1, 4]);

Проверим существование и единственность решения:

(%i3)	determinant(A);

Матрица невырожденная, значит, решение существует и единственно. Найдём его:

(%i4)	A1:invert(A); x:A1.B;

Выполним проверку:

(%i6)	A.x-B;

Аналогично решается матричное уравнение , где — квадратная матрица размерности — матрица размерности , — неизвестная матрица размерности . Если — невырожденная матрица, то существует единственное решение .

Пример: Найти решение матичного уравнений , где матрица из предыдущей задачи, — заданная матрица. Аналогично предыдущему примеру, вычисляем решение:

(%i10)	C:matrix([10,0,-2],[5,1,4]); x:C.A1; x.A-C;

В общем случае (когда — вырожденная матрица, или — не квадратная матрица) матричное уравнение можно решить при помощи функции .

Синтаксис вызова: , где — список уравнений, — список неизвестных, относительно которых осуществляется решение.

3.2.8 Специальные функции для решения систем линейных и полиномиальных уравнений

Функция решает список одновременных линейных уравнений относительно списка переменных .

Выражения могут быть полиномами указанных переменных и представляться в виде уравнений.

Пример: Решить системы линейных уравнений

Решение в Maxima:

(%i1)	ex1:x+y+z+t=6;
	ex2:2*x-2*y+z+3*t=2;
	ex3:3*x-y+2*z-t=8;
	linsolve([ex1,ex2,ex3],[x,y,z,t]);

Таким образом общее решение имеет вид: , где — произвольная постоянная. Ей можно задавать произвольные действительные значения. При каждом значении c получается частное решение. Например, при получается частное решение

(%i5)	ev(%),%r1=1;

Способ представления решения зависит от флага (по умолчанию ). Если указанный флаг установлен в , решение недоопределённых систем включает параметры и т.д. Если флаг установлен в , связанные переменные выражаются через свободные.

Во многом аналогичный результат позволяет получить функция (фактически, это надстройка над ).

Функция решает систему полиномиальных уравнений относительно списка переменных .

Выражения могут быть представлены и в виде уравнений. Количество уравнений может превышать количество неизвестных и наоборот.

Пример:

(%i6)	e1: 2*x*(1 - a1) - 2*(x - 1)*a2; e2: a2 - a1;
	e3: a1*(-y - x^2 + 1); e4: a2*(y - (x - 1)^2);

(%i10)	algsys ([e1, e2, e3, e4], [x, y, a1, a2]);

Для вычисления корней единичных полиномиальных уравнений используется функция .

Варианты синтаксиса:

• ;
• ;
• ;
• .

Функция находит все корни выражения или уравнения . Функция строит последовательность Штурма для изоляции каждого корня и использует алгоритм деления пополам для уточнения корня с точностью или с точностью, заданной по умолчанию.

Пример:

(%i11)	realroots (2 - x + x^5, 5e-6);

(%i12)	float(%);

(%i13)	ev(2-x+x^5,%[1]);

Все корни полинома (действительные и комплексные) можно найти при помощи функции . Способ представления решения определяется переменной (по умолчанию ; если установить в , то функция возвращает результат факторизации). Алгоритм поиска корней получисленный.

Пример:

(%i1)	eqn:x^4+1; soln:allroots (eqn);

Количество действительных корней уравнения в некотором интервале возвращает функция (синтаксис ).

Пример: (находим число корней уравнения на отрезке [-6, 9]):

(%i1)	p: x^10 - 2*x^4 + 1/2$ nroots (p, -6, 9);

Для преобразования уравнений используются функции и , позволяющие выделить левую и правую часть уравнения соответственно.

Пример:

(%i1)	eqn:x^2+x+1=(x-1)^3;

(%i2)	lhs(eqn);

(%i3)	rhs(eqn);

Упрощение систем уравнений достигается функцией , позволяющей исключить те или иные переменные.

Вызов исключает переменные из указанных выражений.

Пример:

(%i1)	expr1: 2*x^2 + y*x + z;
	expr2: 3*x + 5*y - z - 1;
	expr3: z^2 + x - y^2 + 5;

(%i4)	eliminate ([expr3, expr2, expr1], [y, z]);