НОУ ИНТУИТ | Введение в вычислительную математику. Лекция 6: Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский физико-технический институт

|

Вам нравится? Нравится 54 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Определение. Точка $a \in X$ называется периодической периода m, если f^m (a) = a и $f^{i} (a) \ne a$ при 0 < i < m.

Отметим, что каковы бы ни были попарно различные точки u₁, u₂, ..., u_m, если положить f(u_i) = u_{i + 1}, i = 1, 2, ..., m - 1 и f(u_m) = u₁, то рассматриваемое отображение будет иметь периодическую траекторию периода m: u₁, u₂, ..., u_m, u₁, u₂, ..., u_m, ...

Если к тому же f(u) имеет первую производную, то в окрестности каждой из точек u_i выполнено

$\left|{f(u) - f(u_i)}\right| \approx \left|{f^{\prime}(u_i)}\right| \cdot \left|{u - u_i}\right|,$

или

$\left|{f(u) - u_{i + 1}}\right| \approx \left|{f^{\prime}(u_i)}\right| \cdot \left|{u - u_i}\right|.$

Будем рассматривать f^m(u) как сложную функцию. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим

$\left|{f^{m} (u) - u_{i + 1}}\right| \approx \left|{\mathop \Pi\limits_{k = 1}^{m} f^{\prime}(u_k)}\right| \cdot \left|{u - u_i}\right|.$

Если $\left|{\mathop \Pi\limits_{k = 1}^{m} f^{\prime}(u_k)}\right| < 1,$ то траектория $\{f_k (u_0 )\}_{k = 0}^\infty$ приближается к циклу {u₁, ..., u_k}, или $\{u^{k}\}_{k = 1}^{m} .$ Такой цикл называется притягивающим циклом, а величина $\left|{\mathop \Pi\limits_{k = 1}^{m} f^{\prime}(u_k)}\right|$ — мультипликатором цикла. Цикл может быть как притягивающим, так и отталкивающим.

Определение. Цикл P_m = {u₁, ..., u_m} отображения $f: X \rightarrow X,$ переводящего множество X в себя, называется притягивающим, если существует число k₀, такое, что для любого k > k₀ траектория $\{f_k (u_0)\}_{k = 0}^\infty$ распадается на m последовательностей, каждая из которых сходится к точкам u₁, ..., u_m соответственно.

Достаточным условием существования притягивающего (отталкивающего) цикла является выполнение неравенства $\mu (P_{m}) > 1,$ где $\mu (P_m) = {\mathop \Pi\limits_{k = 1}^{m} f^{\prime}(u_k)}, u \in P_m$ — мультипликатор цикла.

Отметим интересные свойства функции f²(u), в частности, ее график пересекается с прямой y = u не только в неподвижных точках рассматриваемого отображения, u₁, u₂, но и в точках цикла P₂. Таким образом, можно сказать, что бифуркация рождения цикла обусловлена потерей устойчивости одной предельной точки и появлением двух устойчивых предельных точек отображения f²(u). На рис. 5.6а, в показано поведение функции f²(u) при разных значениях параметра $\lambda$ ( $\lambda = 2, 8; \lambda = 1 + \sqrt{5}$ ).

Рис. 5.6.

При увеличении $\lambda$ у отображения появляются новые неподвижные точки. Мультипликатор цикла P₂ вычисляется следующим образом:

$\mu (u_{3}, u_{4}) = f'(u_{3})f'(u_{4}) = \lambda ^{2} (1 - 2u_{3})(1 - 2u_{4}) = 4 + 2\lambda + \lambda ^{2} .$

Очевидно, что $| \mu (u_{3}, u_{4}) | < 1,$ если $3 < \lambda < 1 + \sqrt{6},$ тогда цикл P₂ — притягивающий. Траектория $\{f_k(u_0 )\}_{k = 0}^\infty$ притягивается циклом {u₃, u₄} и подпоследовательность $\{f^{2k} (u_0 )\}_{k = 0}^\infty$ сходится к одной точке цикла, а $\{f^{2k + 1} (u_0 )\}_{k = 0}^\infty$ — к другой.

Знак мультипликатора дает информацию о характере приближения траектории к циклу. В частности, если $3 < \lambda < 1 + \sqrt{5} ,$ то подпоследовательности $\{f^{2k} (u_0 )\}_{k = 0}^\infty$ и $\{f^{2k + 1} (u_0 )\}_{k = 0}^\infty,$ начиная с некоторого u, являются монотонными, одна из них возрастающая, а другая — убывающая, что зависит от знаков f'(u₃) и f'(u₄).

При $1 + \sqrt{5} < \lambda \le 1 + \sqrt{6}$ значение мультипликатора $\mu < 0,$ и подпоследовательности $\{f^{2k} (u_0 )\}_{k = 0}^\infty$ и $\{f^{2k + 1} (u_0 )\}_{k = 0}^\infty$ приближаются к точкам {u₃, u₄} немонотонно.

Рассмотрим теперь случай $1 + \sqrt{6} \le \lambda < 3, 54 \ldots$

При $\lambda = 1 + \sqrt{6}$ происходит вторая бифуркация удвоения периода.

Цикл {u₃, u₄} из притягивающего превращается в отталкивающий, $| \mu (u_{3}, u_{4}) | > 1$ при $\lambda > 1 + \sqrt{6} .$ Появляется новый притягивающий цикл P₄:

$\begin{gather*} u_{4m}\rightarrow u_5, u_{4m + 1}\rightarrow u_6, u_{4m + 2}\rightarrow u_7, u_{4m + 3}\rightarrow u_8, \\ u_{6 } = f(u_{5}), u_{7 } = f(u_{6 }), u_{8 } = f(u_{7 }), u_{5} = f(u_{8 }). \end{gather*}$

Для популяционной динамики это означает, что численность особей колеблется с периодом 4 единицы времени. Соответствующий график приведен на рис. 5.7.

Рис. 5.7.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в вычислительную математику

Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем

Вопросы и ответы