Теория перегрузки

Пример такой системы показан на рис.9.1, где мы рассматриваем иерархическую сеть с нагрузкой от А до В и от А до С. От А до В есть прямой (первичный) маршрут с каналами. Если они все заняты, то вызов направляется по альтернативному (вторичному) маршруту через Т к В. Подобным же образом, нагрузка от А до С имеет маршрут первого выбора, т.е. направление А С, и альтернативный маршрут АТС. Предположим, что маршруты ТВ, и ТС не имеют потерь; схема доступности показана в правой части рис.9.1. На этом рисунке мы видим, что общее количество каналов и что нагрузка АВ имеет доступ только к . В этом случае последовательный поиск среди маршрутов должен быть организован так, чтобы з апрос был направлен через группу только тогда, когда все первичных каналов заняты.

Это типично для иерархической сети, которая обладает такой сервисной защитой. Независимо от того, насколько высока будет нагрузка от А до С, мы никогда не получим доступ к каналам.

Рис. 9.1. Телекоммуникационные сети с обходным маршрутом и соответствующей схемой доступности, которая названа транспонированием О'Делла (O'Dell).

Мы предполагаем, что линии связи между транзитной станцией T и станции В и С - без потерь. Каналы являются общими для обоих потоков нагрузки.

С другой стороны, мы можем потерять вызовы, даже если есть свободные каналы, и поэтому использование каналов в этой системе всегда будет ниже, чем для систем с полной доступностью, но больше, чем для полностью раздельных систем с таким же общим количеством каналов. Каналы общего пользования в неполнодоступной системе дают возможность как-то сбалансировать нагрузку между этими двумя группами.

Исторически было необходимо поговорить об ограниченной доступности, так как электромеханические системы очень ограничивали возможности управления и емкость коммутатора (доступность). В цифровых системах мы не имеем этих ограничений но, тем не менее, теория ограниченной доступности важна в сетях и при гарантии уровня обслуживания.

Теория перегрузки

Классические модели нагрузки принимают, что нагрузка, предлагаемая системе - чистая случайная нагрузка,типа один, РСТ1, или нагрузка типа два, РСТ2. В сетях связи с альтернативной маршрутизацией нагрузка, которая потеряна первичной группой, предлагается группе перегрузки, и она имеет свойства, отличающие её от РСT -нагрузки (секция 6.4). Поэтому мы не можем использовать классические модели для того, чтобы оценить вероятности блокировки нагрузки в группе перегрузки.

Пример 9.1.1: Разделение одной группы на две

Рассмотрим группу с 16-ю каналами, которым предлагается нагрузка 10 Эрл. РСТ 1. Применив В-формулу Эрланга, мы находим вероятность блокировки Е = 2,23 % и потерянную нагрузку 0,2230 Эрл.

Теперь используем последовательный поиск и разбиваем эти 16 каналов на первичную группу, и группу перегрузки, каждая из 8 каналов.

Применив В формулу Эрланга, находим, что нагрузка перегрузки от первичной группы равняется 3,3832Эрл. Эта нагрузка предлагается группе перегрузки. Используя снова В формулу Эрланга, находим потерянную нагрузку от группы перегрузки: Эрл.

Полная вероятность блокировки при этом способе становится 0,49 3 %, это намного меньше, чем результат 2,23 % для общего пучка. Мы сделали ошибку, применяя В-формулу к нагрузке перегрузки, которая не является РСТ 1 нагрузкой. Далее мы приводим два класса моделей для расчета нагрузки перегрузки. Можно, в принципе, изучать процесс обработки нагрузки либо вертикально, либо горизонтально. При вертикальном изучении вычисляются вероятности состояния (секции 9.1.1-9.4.3). При горизонтальном изучении анализируются расстояние между двумя прибытиями вызовов, то есть межинтервальным распределением времени (9.5).

Рис. 9.2. Различные системы перегрузки, рассматриваемые в литературе.

Вероятность состояния систем перегрузки

Рассмотрим полнодоступную группу с упорядоченным (последовательным поиском). Группа разбита на ограниченную первичную группу с п каналами и группой перегрузки с бесконечной емкостью, предлагаемая нагрузка - РСТ I. Это называется системой Костена (рис.9.2). Состояние системы описывается двухмерным вектором:

( 9.1)

это является вероятностью, что в случайный момент времени заняты в первичной группе i каналов, и j каналов в группе перегрузки. Диаграмма переходов состояний показана на рис.9.3. Костен (1937 [68]) проанализировал эту модель и получил безусловные вероятности состояний:

( 9.2)

( 9.3)

Риордан (Riordan 1956 [87]) получил моменты безусловных (одномерных) распределений, среднюю величину и пиковость (отношение дисперсия/средняя величина) безусловных (одномерных) распределений, то есть характеристики нагрузки, которую обслуживают эти две группы.

Рис. 9.3. Диаграмма переходов состояний для системы Костена, которая имеет первичную группу с п каналами, и неограниченную группу перегрузки. Состояние обозначено (i,j), где I-число занятых каналов в первичной группе, и j - число занятых каналов в группе перегрузки. Среднее время пребывания в системе выбрано как единица времени.

Первичная группа:

( 9.4)

( 9.5)

где - функция увеличения В-формулы Эрланга.

Вторичная группа - это группа перегрузки:

( 9.6)

( 9.7)

Опыт показывает, что пиковость Z - удачная характеристика для относительной вероятности блокировки, которая хорошо отображает поток нагрузки с данной средней величиной. На рис.9.4 можно видеть, что пиковость нагрузки перегрузки имеет максимум для фиксированной нагрузки и увеличивает число каналов. Пиковость имеет размерность [каналы]. Пиковость применима для теоретических вычислений, но трудно оценить ее точно с помощью наблюдений.

Рис. 9.4. Пиковость Z нагрузки перегрузки как функция числа каналов для фиксированного значения предложенной нагрузки. Заметьте, что Z имеет максимум. Когда п становится большим, попытки вызова редко блокируются, а блокированные попытки взаимно независимы. Поэтому процесс увеличения вызовов сходится к Пуассоновскому процессу (Лекция 6)

Для РСТ 1 пиковость нагрузки равна единице, а блокировка вычисляется по В-формуле Эрланга. Если пиковость меньше, чем единица (9.5), нагрузка называется сглаженной, и она меньше блокируется, чем нагрузка РСT 1. Если пиковость больше единцы, то нагрузка называется взрывной, и она больше блокируется, чем нагрузка РСТ 1. Нагрузка перегрузки обычно взрывная (9.7).

Брокмейер (1954 [10]) получил вероятности состояния и моменты системы с ограниченной группой перегрузки (рис. 9.2), которые названы системой Брокмейера.

Беч (Been 1954 [6]) сделал то же самое, используя матричные уравнения, и получил более сложные и более общие выражения. Шерер (Sherer) вывел моменты более высокого порядка для конечных групп перегрузки, обобщающие систему Брокмейера.

Валстрем (Wallstroml966 [101]) рассчитал вероятности состояния и моменты для нагрузки перегрузки обобщенной системы Костена, где интенсивность прибытия зависит или от общего количества вызовов в системе, или от числа вызовов в первичной группе.

Метод эквивалентной случайной нагрузки

Этот метод также называется ERT (equivalent Random Traffic) - метод Уилкинсона, изданным независимо в одно и то же время в США Уилкинсом (1956 [102]) и в Германии Бретшнайдером (1956 [8]). Он играет ключевую роль для измерения характеристик телекоммуникационных сетей.

Предварительный анализ

Рассмотрим группу с l каналами, которая обслуживает g потоков нагрузки (рис.9.5). Потоки нагрузки могут быть, например, нагрузкой, которая предлагается от других станций транзитной станции, и поэтому классические модели нагрузки не могут описать их. Таким образом, мы не знаем распределения (вероятности состояния) потоков нагрузки, но можем (как это часто происходит в приложениях статистики) характеризовать i -тый поток нагрузки его средней величиной и дисперсией С этим упрощением мы будем предполагать, что два потока нагрузки будут эквивалентными, если они имеют ту же самую среднюю величину (математическое ожидание) и дисперсию. Полная нагрузка, предлагаемая группе с l каналами, имеет среднюю величину:

( 9.8)

Мы принимаем, что потоки нагрузки независимы (не коррелированны), и таким образом дисперсия полного потока нагрузки будет равна:

( 9.9)

Рис. 9.5. Приложение ERТ-метода к системе, принимающей g независимых потоков нагрузки к общей группе l каналов. Объединенный процесс перегрузки g потоков нагрузки называют эквивалентной нагрузкой перегрузки от единственной полнодоступной группы с тем же самым математическим ожиданием и дисперсией нагрузки перегрузки (9.8) и (9.9)

Полная нагрузка характеризуется m и v. До сих пор мы принимали, что m < v. Теперь будем полагать, что эта нагрузка будет эквивалентна потоку нагрузки, который потерян от полнодоступной группы и имеет ту же самую среднюю величину т. и дисперсию v. На рис.9.5 верхняя часть системы заменена эквивалентной системой - нижней частью рис.9.5, которая является полнодоступной системой с , каналами с предложенной нагрузкой для данных значений т и v, поэтому решаем уравнения (9.6) и (9.7) относительно п и А. Можно показать, что существует уникальное решение, которое мы обозначим .

Потерянная нагрузка найдена по В-формуле Эрланга:

( 9.10)

Предложенная нагрузка т перегрузки системы получается:

( 9.11)

Замечание: вероятность блокировки не равна . Нужно помнить последний шаг (9.11), где мы связываем потерянную нагрузку с первоначально предложенной нагрузкой, которая в этом случае представлена т. (9.8).

Заметим, что если нагрузка перегрузки от единственной первичной группы типа РСТ 1, тогда метод точен. В общем случае для большого числа потоков нагрузки метод приблизителен и не выдает точную среднюю вероятность блокировки.

Пример 9.2.1: Парадокс

В секции 6.3 мы получили теорему Пальма, в которой состояние рассматривается как суперпозиция многих процессов поступления независимых вызовов - мы получаем локальный Пуассоновский процесс. Это не противоречит (9.8) и (9.9), потому что эта формула справедлива глобально.

Числовые аспекты

При применении метода ERT мы должны вычислить (m, v) для данных значений (А, n) , и наоборот. Используя (9.4) и (9.5), можно просто получить (m, v) для данных (А, n) . Для того чтобы получить (А, n) для данных (m, v) , мы должны решить два уравнения с двумя неизвестными. Это требует применение итерационной процедуры, так как формула не может быть решена явно ни относительно n, ни относительно А (секция 7.5).

Однако мы можем решить (9.7) относительно n:

( 9.12)

так, что мы можем знать n для данного А. Так что А - только одна независимая переменная. Мы можем использовать итеративный метод Ньютона-Рафсона, чтобы решить остающееся уравнение, вводя функцию:

Задавая начальное значение , мы многократно улучшаем это значение, пока не получаем конечное значения m и v/m, достаточно близкое к известным значениям.

Ингве Рапп (Yngve Rapp 1965 [86]) предложил хорошее приблизительное решение А, которое может использоваться как начальное значение при итерации:

( 9.13)

Из А можно получить n, применяя (9.12). Приближение Рапа дает достаточно точные значения для практических приложений, кроме случаев, когда очень мало. Пиковость Z= v/m имеет максимум, который получается, когда п является немного большим, чем А (рис.9.4). Для некоторых комбинаций т и v/m конвергенция является критической, но при помощи компьютеров мы можем всегда найти правильное решение. В компьютерных вычислениях мы работаем с нецелым числом каналов и только в конце вычислений выбираем целое число каналов, большее или равное полученному результату (типичный модуль некоторого числа каналов 8 в GSM, 30 в ИКМ, и т.д.). При использовании таблиц по формуле В-Эрланга нужно на каждом шаге выбирать число каналов консервативным способом так, чтобы в худшем случае достигалась выбранная вероятность блокировки.

Вышеупомянутый метод предполагает, что v/m больше, чем единица. Это справедливо только для взрывной нагрузки.

Отдельный поток нагрузки на рис.9.5 позволяет иметь , если общее количество объединенных потоков нагрузки является взрывным. Брекшнайдер ( Bretschneider [9], 1973) расширил метод, включив в вычисления отрицательное число каналов. При этом способе есть шанс иметь дело со сглаженной нагрузкой ( EERT - Extended ERT method - Расширенный ERT-метод ).

Вероятности блокировки пакета

Отдельные потоки нагрузки на рис. 9.5 не имеют одинаковой средней величины и дисперсии, и поэтому не дают равные вероятности блокировки в общей группе перегрузки с l каналами. Из рассмотренного выше мы вычисляем среднюю блокировку (9.11) для всех объединенных потоков нагрузки. Опыт показывает, что получаемая вероятность блокировки пропорциональна пиковости Z= v/m. Мы можем разбить полную потерянную нагрузку на отдельные пакеты потерянной нагрузки, принимая во внимание, что нагрузка, потерянная для потока i, пропорциональна - средней величине и пиковости потока Z = v/m. Мы получаем:

из этой формулы мы находим константу с = l/v.

Вероятность блокировки для нагрузки потока i, называемая вероятностью блокировки пакета для потока i, затем получается:

( 9.14)

Кроме того, мы можем делить блокировку среди отдельных групп (первичная, вторичная, и т.д. группы). Рассмотрим эквивалентную группу внизу рис. 9.5 с первичными каналами и l вторичными каналами (каналы перегрузки). Мы можем вычислить вероятность блокировки первичных каналов, и вероятности блокировки l вторичных каналов. Вероятность, что нагрузка потеряна l каналами, равна вероятности, что нагрузка потеряна каналами, при условии, что потерянная нагрузка предлагается l каналам:

( 9.15)

Поэтому полная вероятность потерь связана с этими двумя группами:

( 9.16)

Используя это выражение, мы можем найти блокировку для каждой группы каналов и затем, например, получить информацию, какая группа должна быть увеличена добавлением большего числа каналов.

Пример 9.2.2: продолжение примера 9.1.1

В примере 9.1.1 вероятность блокировки первичной группы 8 каналов - . Блокировка группы перегрузки:

Полная блокировка системы:

Пример 9.2.3: Иерархическая сотовая система

Мы рассматриваем иерархическую сотовую систему HCS (Hierarchical cellular system), имеющую три области покрытия. Нагрузка, предлагаемая в областях - 12, 8 и 4 Эрл. соответственно. В первых двух ячейках, мы размещаем микроячейки с 16-ью, соответственно с 8-ью каналами, и общую макроячейку, покрывающую все три области с 8-ью каналами. Перенаправляем потерянную нагрузку от микроячеек к макроячейке, но не направляем вызовы от макроячейки к микроячейкам, когда канал освобождается. Не будем рассматривать здесь нагрузку передачи соединения. Используя (9.6) и (9.7), находим среднюю величину и дисперсию нагрузки, предлагаемую макроячейке:

Номер ячейки	Предложенная нагрузка	Число каналов	Средняя перегрузка	Дисперсия перегрузки	Пиковость
1	12	16	0,7250	1,7190	2,3711
2	8	8	1,8846	3,5596	1,888
3	4	0	4,000	4,000	1,000
Всего	24		6,6095	9,2786	1,4038

Полная нагрузка, предлагаемая макроячейке, имеет среднюю величину 6,61 Эрл. и дисперсию 9,28. Это соответствует перегрузке от эквивалентной системы с 10,78 Эрл; здесь требуется 4,72 каналов. Таким образом, мы выбираем систему 12,72 каналов, с предложенной нагрузкой 10,78 Эрл. Используя В-формулу Эрланга, находим потерянную нагрузку 1,3049 Эрл. Первоначально мы предложили значение 24 Эрл., так что полная вероятность блокировки нагрузки получается В = 5,437 %.

Эти три области имеют отдельные вероятности блокировки. Применив (9.14), мы приблизительно находим потерянную нагрузку от областей: 0,2434 Эрл, 0,5042 Эрл, и 0,5664 Эрл, соответственно. Таким образом, вероятности блокировки нагрузки становятся 2,03 %, 6,30 % и 14,16 %, соответственно. Компьютерное моделирование со 100 миллионами вызовов выдает вероятности блокировки 1,77 %, 5,2 %, и 15,05 %, соответственно. Это соответствует полной потерянной нагрузке, равной 1,273 Эрл, и вероятности блокировки 5.30 %. Точность метода этой лекции достаточна для реальных приложений.

Метод Фредерикса и Хэйварда

Фредерике (1980 [29]) предложил метод эквивалентности, который более прост в использовании, чем метод Брейтшнайдера-Уилкинсона (Wilkinson-Bretschneider). Идея метода была впервые выдвинута Хэйвардом.

Метод эквивалентности Фредерикса и Хэйварда также характеризует нагрузку средней величиной А и пиковостью Z

( )( Z = 0 - тривиальный случай с постоянной нагрузкой). Пиковость (7.7) - отношение между дисперсией v и средней величиной вероятностей состояния, она имеет размерность [каналы]. Для случайной нагрузки ( PCT-II ) мы примем Z=l и можем применить В-формулу Эрланга.

Для пиковости метод Фредерикса и Хэйварда предполагает, что система имеет ту же самую вероятность блокировки, что и система из n/Z каналами с предложенной нагрузкой A/Z, и таким образом пиковость Z=l. Для последней системы мы можем применить В-формулу Эрланга, при этом следует учитывать, что В-формулу Эрланга нельзя использовать для непрерывного числа каналов.

Башарин и Куренков расширили метод, включив мультислотовую (мультискоростную) нагрузку, где вызов требует d каналов от начала и до завершения. Если вызов использует d каналов вместо одного (изменение масштаба), то средняя величина времени становится в d раз больше, и дисперсия времени больше в раз. Поэтому пиковость по времени становится больше в d раз. Вместо того, чтобы сократить число каналов на число Z, мы можем оставить прежнее число каналов и увеличить размер слота на Z

( 9.18)

Если мы имеем больше потоков нагрузки, предлагаемых той же самой группе, то хорошей стратегией будет сохранить число каналов фиксированным, но тогда мы получаем проблему, что B общем случае не будут целыми числами.

Пример 9.3.1: Метод Фредерикса и Хэйварда

Применим метод ФредериксаиХэйварда кпримеру 9.2.3. Макроячейка будет иметь (8/1,4038) каналов и предложенную нагрузку (6,6095/1,4038) Эрл. Вероятность блокировки получена из В-формулы Эрланга и равна 0,19470. Потерянная нагрузка вычислена из первоначально предложенной нагрузки (6,6095) и равна 1,2871 Эрл. Вероятность блокировки системы становится Е= 1,2871/24 = 5.36 %. Это очень близко к результату, который мы получили (5.44 %) методом ERT.

Пример 9.3.2: Мультислотовый трафик

Мы позже рассмотрим систему с интегрированным обслуживанием и мультискоростной (мультислотовой) нагрузкой. В примере 10.4.3 рассматривалась группа с пучком 1536 каналов, которой предлагается 24 потока нагрузки с индивидуальным размером слота и пиковостью. Полные потери по нагрузке равны 5,950 %. Если мы вычисляем пиковость из предложенной нагрузки, складывая все потоки нагрузки, то находим пиковость Z= 9,8125, а полная средняя величина равняется 1536 Эрл. Результаты метода Фредерикса и Хэйварда для полной нагрузке перегрузки равняются 6,114 %, что является консервативной оценкой (худший случай).