Алгоритмы: машины Тьюринга

Стандартная заключительная конфигурация

Назовем заключительную конфигурацию стандартной, если в ней головка наблюдает первый значащий символ результата, который находится в 1-ой ячейке (т.е. в той же ячейке, где начиналось входное слово).

Лемма 9.1.Для всякой м.Т. можно построить эквивалентную м.Т. , у которой все заключительные конфигурации стандартны.

Доказательство. Пусть . Определим по ней м.Т. , которая удовлетворяет требованиям леммы. Положим , где # - новый символ. работает следующим образом.

1. Отмечает символ в первой ячейке штрихом и переходит в начальное состояние .
2. Далее работает как но сохраняет штрих в первой ячейке и вместо пустого символа записывает #. Для этого для каждой команды q_ia_j -> q_k a_lC из P'
3. в P' добавляется ее дубликат q_ia_j' -> q_k a_l'C, в правых частях команд символ всюду заменяется на # и для каждой команды вида в P' добавляется команда q_i # -> q_k a_l C. После завершения этого этапа все посещенные в процессе работы головкой ячейки составляет непрерывный отрезок, не содержащий пустых символов.
4. Далее стирает ненужные символы # слева и справа от блока ячеек, содержащего первую ячейку и все ячейки с символами результата, и переходит в одну из трех следующих конфигураций:
   
   где w - результат работы { cal M} (с заменой символов внутри w на #) и w₁aw₂ = w.
5. Сдвигает в нужном направлении результат, совмещая его начало с ячейкой, помеченной штрихом, заменяет все # внутри w на , снимает штрих в 1-ой ячейке и останавливается. Например, для K₁ это достигается с помощью следующих команд (мы предполагаем, что ни одно из используемых ниже состояний не входит в Q ):
   • поиск левого конца w: ; (отметили первый символ w ), (результат пуст);
   • поиск правого конца w: , (в состоянии p наблюдает последний символ w );
   • сдвиг результата на 1 ячейку влево: p^a b' -> p^b'aП; p^b' # -> p₁ b'П;
   • возврат к правому концу и переход к следующему сдвигу:
   • при сдвиге до 1-ой ячейки замена символов # на и удаление штриха:
     
   Из построения непосредственно следует, что м.Т. удовлетворяет требованиям леммы.

Односторонние машины Тьюринга

Машина Тьюринга называется односторонней, если в процессе вычисления ее головка никогда не сдвигается левее начальной ячейки (т.е. всегда находится в ячейках с положительными номерами).

Лемма 9.2. Для всякой м.Т. можно построить эквивалентную одностороннюю м.Т. .

Доказательство. Пусть . Будем считать (используя лемму 1 ), что завершает работу в стандартных конфигурациях. Требуемая м.Т. будет моделировать работу , используя "многоэтажную" ленту. Содержимое ячеек на 1-ом (нижнем) этаже будет на каждом такте совпадать с содержимым тех же ячеек , на 2-ом этаже будет копироваться содержимое левой полуленты: на нем в i -ой ячейке будет тот же символ, что и в -i -ой ячейке . Кроме того, на 3-ем этаже в 1-ой ячейке будет стоять отмечающий ее символ #. Таким образом, . Работа будет происходить следующим образом.

1. 1) На первом этапе отмечается 1-я ячейка и содержимое входа переписывается на 1-ый этаж трехэтажной ленты:
   

2. Затем моделирует работу , используя для работы на 2-ом этаже дубликаты состояний (со штрихами) и команды со сдвигами в обратном направлении. Для команды q ,a -> r , b ,C из P и для всех в P' поместим команды:

   

   Кроме того, для сохраним и старые команды для работы на впервые посещаемых ячейках:

   

   Сдвиги из 1-ой ячейки налево в -1-ю и обратно моделируются переходом с одного этажа на другой в 1-ой ячейке :

   

3. После завершения моделирования результат записан в начальных ячейках на 1-ом этаже. переводит его в первоначальный алфавит

   

   Проверка правильности работы м.Т. предоставляется читателю (см. задачу 9.4).

Последовательная и параллельная композиции машин Тьюринга

Используя возможность моделирования произвольной м.Т. на м.Т. со стандартными заключительными конфигурациями, легко установить справедливость следующей леммы о последовательной композиции машин Тьюринга.

Лемма 9.3.( Последовательная композиция ) Пусть м.Т. вычисляет функцию f(x), а м.Т. - функцию g(x). Тогда существует м.Т. вычисляющая функцию h(x) = f(g(x)).

Доказательство Действительно, пусть а . Используя лемму 9.1, будем считать, что у заключительные конфигурации стандартны. Тогда легко проверить, что функция h вычисляется следующей м.Т. где .

Покажем, что работу двух м.Т. можно комбинировать так, чтобы в заключительной конфигурации содержались результаты работы каждой из них над независимыми входами.

Лемма 9.4. ( Параллельная композиция ) Пусть м.Т. вычисляет функцию f(x), а м.Т. - функцию g(x) и символ * не входит в алфавит м.Т. . Тогда существует м.Т. которая по любому входу вида x*y выдает результат f(x)*g(y), т.е. вычисляет функцию H(x*y) = f(x)*g(y).

Доказательство. Пусть и - м.Т. Не ограничивая общности, будем считать, что эти машины односторонние (по Лемме 2). Определим теперь м.Т. , которая работает следующим образом.

1. Начав в конфигурации (p₀x*y), находит 1-ый символ y
2. и переходит в конфигурацию (x*q₀²y).
3. Работая как вычисляет g(y) и переходит при этом в конфигурацию (x*q_f²g(y)).
4. Переписывает *x после g(y) и переходит в конфигурацию g(y)*q₀¹x).
5. Работая как вычисляет f(x) и переходит при этом в конфигурацию (g(y)*q_f¹f(x).
6. Меняет и местами и останавливается.

Корректность этапов 2 и 4 следует из односторонности и а реализация этапов 1, 3 и 5 достаточно очевидна (см. задачу 9.6).

Построенную в этой лемме м.Т. , полученную в результате параллельной композиции и , будем обозначать как . Здесь индекс * указывает символ, которым отделяются аргументы и на ленте . Этот символ может быть любым символом, не входящим в алфавит машины . Например, будет обозначать параллельную композицию машин и , в которой их аргументы отделены символом #.

Конструкцию параллельной композиции можно обобщить на произвольное конечное число машин Тьюринга.

Следствие. Пусть - машины Тьюринга, вычисляющие функции f₁, ... , f_m, соответственно. Пусть символ * не входит в алфавиты этих машин. Тогда существует м.Т. , перерабатывающая любой вход вида x₁*x₂* ... *x_m в выход f₁(x₁)*f₂(x₂)* ... *f_m(x_m).

Действительно, в качестве можно взять м.Т., определяемую выражением .\\ Будем обозначать эту машину Тьюринга как .