Свойства замкнутости класса автоматных языков. Неавтоматные языки

Пример 6.2. Пусть алфавиты и гомоморфизм определены как выше в примере 6.1. Рассмотрим язык L={ w | число букв а в слове w нечетно }.

На следующем рисунке показана диаграмма ДКА A, распознающего язык L, и диаграммы автоматов M_a для , M_b для и M_c для .

Рис. 6.1.

Рис. 6.2.

Подставив в A вместо a -переходов автомат M_a, вместо b -переходов автомат M_b и вместо c -переходов автомат M_c, получим представленный на рис. 6.2 недетерминированный автомат M, распознающий язык . На этом рисунке каждая из -петель в состояниях q₀ и q₁ заменяет по три -перехода, связанных с M_b.

Отметим, что конструкция автомата M в теореме 6.1 удобна для доказательства, но несколько избыточна. Без труда можно сократить в ней все -переходы, склеив начальные и заключительные состояния автоматов M_i с соответствующими состояниями автомата A. Например, в автомате на рис. 6.2 можно объединить начальные состояния p₀⁰ и p₀⁰¹ с q₀, заключительные состояния p₂⁰¹ и p₃¹³ с q₁ и т.п.

Одним из интересных частных случаев гомоморфизма является проекция.

Определение 6.3. Пусть . Проекцией языка L в алфавите на подалфавит называется язык получено из некоторого слова вычеркиванием всех символов, не принадлежащих алфавиту .

Определим гомоморфизм следующим образом: , если и , если . Тогда для всякого языка L в алфавите имеет место равенство . Отсюда и из предыдущей теоремы 6.1 получаем замкнутость класса автоматных языков относительно проекции.

Предложение 6.2. Для любых алфавитов и таких, что , и любого автоматного языка L в алфавите проекция также является автоматным языком.

Отметим, что для проекции конструкция автомата M для по ДКА A для L существенно упрощается: достаточно в A все переходы по символам из заменить на -переходы.

Следующая теорема устанавливает замкнутость класса автоматных языков относительного обращения гомоморфизмов.

Теорема 6.2. Пусть - произвольный гомоморфизм и L - автоматный язык в алфавите Тогда и язык является автоматным.

Доказательство Пусть - ДКА, распознающий язык L. Пусть , Q= {q₀, q₁, ..., q_n} и (если ).

Перестроим его в ДКА с тем же множеством состояний, начальным и заключительными состояниями, который распознает язык .

Идея этого построения состоит в том, чтобы переходить из состояния q в q' по букве в автомате M, если в автомате A слово переводит q в q'. Если же для образ пуст, т.е. , то в автомате M слово a переводит каждое состояние в себя, так как символы a могут встречаться в каждом слове из в любом месте и в любом количестве.

Таким образом, положим для каждой пары и , если и в автомате A . Если же , то полагаем .

Так как A - детерминированный автомат, то функция переходов определена однозначно и для всех пар и . Следовательно, M детерминированный.

Нетрудно показать, что .

Действительно, если слово , то в M путь , несущий это слово ведет в заключительное состояние . Из определения следует, что тогда в A существует соответствующий путь из q₀ в , который несет слово . Следовательно, .

Обратно, пусть . Тогда слово и в автомате A имеется путь, несущий u, который переводит q₀ в некоторое заключительное состояние . Зафиксируем на этом пути состояния , в которые он попадает после прочтения префиксов слова u (j = 1, 2, ... , k). Тогда и для всех j = 1, 2, ... , k имеет место . Отсюда и из определения получаем, что в M для всех j = 1, 2, ... , k имеет место переход ха один шаг . Следовательно, в M путь q₀, q_{i₁}q_{i₂}... q_{i_k} несет слово w и завершается в заключительном состоянии . А это означает, что .

Пример 6.3. Пусть алфавиты и гомоморфизм определены как выше в примере: . Рассмотрим язык L={ w | число букв 0 в слове w нечетно, а число букв 1 - четно}.

На следующем рисунке показана диаграмма ДКА A, распознающего язык L.

Рис. 6.3. Автомат A: L(A)=L

Применив к этому автомату конструкцию из теоремы 6.2, обнаружим, что a и b оставляют все состояния на месте, а c переводит каждое состояние в соседнее состояние "по горизонтали". В результате получаем автомат M, показанный ниже на рис. 6.4.

Рис. 6.4. Диаграмма автомата M, распознающего язык phi^-1(L)

Легко заметить, что в нем состояния q₂ и q₃ недостижимы из начального состояния q₀ и что этот автомат M распознает язык

Имеется еще много операций, относительно которых замкнут класс автоматных языков. Некоторые из них приведены далее в разделе задач.