НОУ ИНТУИТ | Введение в схемы, автоматы и алгоритмы. Лекция 6: Свойства замкнутости класса автоматных языков. Неавтоматные языки

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.08.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Тверской государственный университет

Аннотация: Построение конечного автомата для гомоморфного образа автоматного языка и для обращения гомоморфизма. Теорема о разрастании для автоматных языков. Ее применение для доказательства неавтоматности языка.Примеры неавтоматных языков

Замкнутость относительно гомоморфизмов и их обращений

Обратимся снова к свойствам замкнутости класса автоматных языков. Как мы уже установили с помощью конструкции произведения автоматов, этот класс замкнут относительно объединения, пересечения и разности (см. следствие 4.1.1). Из теоремы 5.1 непосредственно следует, что класс автоматных языков замкнут относительно операций конкатенации и итерации. Можно легко установить, что он также замкнут относительно дополнения.

Предложение 6.1. Пусть L - автоматный язык в алфавите $\Sigma.$ Тогда его дополнение - язык $\bar{L} =\{ w\ |\ w \in \Sigma^*\ \textit{ и }w \notin L\}$ также является автоматным.

Действительно, достаточно заметить, что язык $\Sigma ^{*}$ , включающий все слова в алфавите $\Sigma$ является автоматным и что $\overline{L} = \Sigma^* \setminus L$ .

Определенная ниже операция гомоморфизма формализует идею посимвольного перевода слов одного алфавита в слова другого.

Определение 6.1. Пусть $\Sigma$ и Delta - два алфавита. Отображение $\varphi : \Sigma ^{*} \to Delta^{*}$ слов первого из них в слова второго называется гомоморфизмом, если

$\varphi (\varepsilon ) = \varepsilon ;$
для любых двух слов w₁ и w₂ в алфавите $\Sigma$ имеет место равенство $\varphi (w_{1}w_{2}) = \varphi (w_{1})\varphi (w_{2})$ .

Из этого определения непосредственно следует, что гомоморфизм однозначно определяется своими значениями на символах алфавита $\Sigma.$ Если w=w₁w₂ ... w_n, $w_{i} \in \Sigma (1 \le i \le n)$ , то $\varphi (w) = \varphi (w_{1})\varphi (w_{2}) \dots \varphi (w_{n})$ .

Пример 6.1.Пусть $\Sigma =\{ a, b, c\}$ , Delta ={ 0, 1}, а гомоморфизм $\phi$ определен на символах $\Sigma$ следующим образом: $\varphi (a) =00, \varphi (b) =\varepsilon , \varphi (c) =101$ .

Тогда $\varphi (aca) = 0010100, \varphi (abcb) =00101, \varphi (bbb) = \varepsilon$ .

Определение 6.2. Пусть $\varphi : \Sigma ^{*} \to Delta^{*}$ - произвольный гомоморфизм и L - язык в алфавите $\Sigma.$ Образом $\varphi (L)$ языка L при гомоморфизме $\phi$ называется язык $\varphi (L)= \{ \varphi (w) | w \in L\}$ , состоящий из образов всех слов языка L.

Пусть L - язык в алфавите $\Delta.$ Прообразом этого языка при гомоморфизме $\phi$ называется язык $\varphi ^{-1}(L)= \{ w\in \Sigma ^{*} | \varphi (w) \in L\}$ , состоящий из всех таких слов в алфавите $\Sigma,$ чьи образы при гомоморфизме $\phi$ попадают в L.

Оказывается, что класс автоматных языков замкнут относительно операций гомоморфизма и обращения гомоморфизма (взятия прообраза)

Теорема 6.1. Пусть $\varphi : \Sigma ^{*} \to \Delta ^{*}$ - произвольный гомоморфизм и L - автоматный язык в алфавите $\Sigma.$ Тогда и язык $\varphi (L)$ вляется автоматным.

Доказательство Пусть $A=<\Sigma , Q, q_{0}, F, \Phi >$ - ДКА, распознающий язык L. Построим по нему НКА $M =<\Delta , Q^{M}, q_{0}^{M}, F^{M}, \Phi ^{M}>$ , распознающий язык $\varphi (L)$ . Идея этого построения проста: нужно каждый переход из состояния q в q' по букве $a \in \Sigma$ в автомате A превратить в переход из q в q' по слову $\varphi (a)$ в автомате M.

Пусть $\Sigma = \{ a_{1}, \dots , a_{m}\}$ , Q= {q₀, q₁, ..., q_n} и $\varphi (a_{i})= d_{1}^{i}d_{2}^{i} \dots d_{\{ }k_{i}\} ^{i}, d_{l}^{i} \in \Delta (1\le l \le k_{i})$ (если $\varphi (a_{i}) \ne \varepsilon$ ). Для каждого a_i зафиксируем простой НКА M_i, распознающий язык {d₁ⁱd₂ⁱ ... d_{k_i}ⁱ}, имеющий (k_i +1) состояние p₀ⁱ, p₁ⁱ, ..., p_{k_i}ⁱ и команды p_{l-1}d_lⁱ -> p_l (1<= l <= k_i). ( Если $\varphi (a_{i}) = \varepsilon$ , то у M_i будут два состояния, соединенные $\varepsilon$ -переходом). Теперь для каждой команды q_j a_i -> q_r поместим в M между q_j и q_r автомат M_i (цепочку состояний p₀ⁱ, p₁ⁱ, ..., p_{k_i}ⁱ ). Чтобы состояния различных цепочек не склеивались, придадим им верхний индекс j, т.е. у каждого q_j будет своя копия каждого из автоматов M_i. Для этого положим $Q^{M} = Q \cup \{ p_{l}^{ji} | 0 \le j \le n, 1 \le i \le m, 0 \le l \le k_{i} \}$ . Таким образом, p_l^{ji} - это l -ое состояние на пути из q_j по "старой" букве a_i. Программа $\Phi ^{M}$ автомата M строится по программе A следующим образом. Для каждой команды вида q_j a_i -> q_r из $\Phi$ поместим в $\Phi ^{M}$ следующие команды:

$q_j \rightarrow p_0^{ji},\\ p_0^{ji}d_1^i \rightarrow p_1^{ji},\\ \bullet \ \bullet\ \bullet \\ p_{k_i-1}^{ji}d_{k_i}^i \rightarrow p_{k_i}^{ji},\\ p_{k_i}^{ji} \rightarrow q_r$

Таким образом, из q_j автомат M по пустому переходу попадает в начальное состояние p₀^ji j -ой копии автомата M_i, затем проходит по слову $\varphi (a_{i})$ и снова по пустому переходу попадает в q_r.

Для завершения определения M положим q₀^M = q₀ и F^M = F.

Докажем теперь, что наше построение корректно, т.е., что $\varphi (L)=\varphi ( L_{A}) = L_{M}$ .

$\varphi (L) \subseteq L_{M}$ . Заметим вначале, что если $\varepsilon \in L$ , то $q_{0} \in F$ и по определению $q_{0} \in F^{M}$ , следовательно $\varphi (\varepsilon )=\varepsilon \in L_{M}$ .

Пусть $w=w_{1}w_{2}\dots w_{k} \in L, w_{s} \in \Sigma$ . Тогда в диаграмме A имеется путь из q₀ в некоторое заключительное состояние $q' \in F$ , который несет слово w. Пусть это путь $q_0=q_{j_0}, q_{j_1}, \ldots q_{j_k}= q^\prime$ . Тогда для каждого 1 <= x <= k в $\Phi$ имеется команда $q_{j_{x-1}} w_x \rightarrow q_{j_x}$ . Но из определения $\Phi ^{M}$ следует, что тогда в автомате M имеется путь из $q_{j_{x-1}}$ в $q_{j_x}$ , несущий слово $\varphi (w_{x})$ . Объединив все такие пути, получим путь из из q₀ в $q' \in F^{M}$ , несущий слово $\varphi (w)$ . Следовательно, $\varphi (w) \in L_{M}$ .
$L_{M} \subseteq \varphi (L)$ . Пусть слово $u \in \Delta ^{*}$ принадлежит L_M. Покажем, что тогда для некоторого $w \in L$ $u =\varphi (w)$ . Рассмотрим для этого путь в диаграмме M из q₀ в $q' \in F^{M}$ , несущий слово u . Выделим на этом пути все состояния из Q. Пусть это будут по порядку состояния q₀=q_{j₀}, q_{j₁}, ... q_{j_k}= q'. Тогда слово u разбивается на k подслов: u=u₁u₂ ... u_k таких, что u_x переводит в M состояние $q_{j_{x-1}}$ в $q_{j_x}$ ( 1 <= x <= k ). Покажем, что для каждого такого u_x существует символ $w_{x} \in \Sigma$ такой, что $u_{x} = \varphi (w_{x})$ и в $\Phi$ имеется команда $q_{j_{x-1}} w_x \rightarrow q_{j_x}$ . Действительно, любой путь из $q_{j_{x-1}}$ в M начинается $\varepsilon$ -переходом в некоторое состояние вида $p_0^{j_{x-1}i}$ . Пусть это будет состояние на пути, который несет u_x в $q_{j_x}$ . Далее этот путь обязательно будет проходить по состояниям вида $p_l^{j_{x-1}i}\ (l=1,\ldots , k_i )$ и завершится $\varepsilon$ -переходом из $p_{k_i}^{j_x i}$ в состояние $q_{j_x}$ . Тогда из определения M следует, что $u_{x} = \varphi (a_{i})$ и в $\Phi$ имеется команда $q_{j_{x-1}} w_x \rightarrow q_{j_x}$ . Положив w_x=a_i, получим, что $u_{x} = \varphi (w_{x})$ и $u=\varphi (w_{1})\varphi (w_{2}) \dots \varphi (w_{k}) =\varphi (w)$ , для слова $w=w_{1}w_{2} \dots w_{k} \in \Sigma ^{*}$ . При этом каждый символ w_x этого слова переводит в автомате A состояние $q_{j_{x-1}}$ в $q_{j_x}$ . Поэтому в A существует путь из q₀ в $q' \in F$ , несущий слово w и, следовательно $w \in L.$