НОУ ИНТУИТ | Введение в схемы, автоматы и алгоритмы. Лекция 1: Предварительные сведения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.08.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Тверской государственный университет

Вам нравится? Нравится 36 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Графы

Мы часто сталкиваемся с задачами, в условиях которых заданы некоторые объекты и между некоторыми их парами имеются определенные связи. Если объекты изобразить точками ( вершинами ), а связи - линиями ( ребрами ), соединяющими соответствующие пары точек, то получится рисунок, называемый графом. Приведем основные определения.

Граф (ориентированный) - это пара , где - конечное множество вершин (узлов, точек) графа, а - некоторое множество пар вершин, т.е. подмножество множества $V \times V$ или бинарное отношение на . Элементы называют ребрами (дугами, стрелками, связями). Для ребра $e= (u,v) \in E$ вершина называется началом , а вершина - концом , говорят, что ребро ведет из в .

В графе полустепень исхода вершины - это число исходящих из нее ребер, а полустепень захода - это число входящих в данную вершину ребер.

Заметим, что в графе может быть ребро вида (u,u) , называемое петлей.

Пример 1.3. На рис. 1.1 приведен пример графа G_1=(V_1, E_1) . Здесь $V_1=\{ a,b,c,d\}, E_1=\{ (a,b), (a,c), (b,b), (b,d), (d,a)\}$ , В графе G_1 ребро (b,b) является петлей, полустепень исхода вершины равна 2, а полустепень захода для нее равна 1.

Рис. 1.1. Граф G1

Во многих приложениях с вершинами и ребрами графов связывается некоторая дополнительная информация. Обычно она представляется с помощью функций разметки вершин и ребер.

Определение 1.6.

Размеченный граф - это граф , снабженный одной или двумя функциями разметки вида: $l: V \rightarrow M$ и $c: E \rightarrow L$ , где и - множества меток вершин и ребер, соответственно.

Упорядоченный граф - это размеченный граф , в котором ребра, выходящие из каждой вершины $v \in V$ , упорядочены, т.е. помечены номерами $0, \ldots, k_v-1$ , где - полустепень исхода , т.е. $k_v =|\{ w\ |\ (v,w) \in E\}|$ .

Упорядоченный граф с полустепенью исхода вершин $\leq 2$ называется бинарным.

В качестве множества меток ребер часто выступают числа, задающие "веса", "длины", "стоимости" ребер. Графы с такой разметкой часто называют взвешенными.

Часто на одном множестве объектов определено несколько различных бинарных отношений. Для представления такой ситуации служат мультиграфы.

Определение 1.7. Мультиграф G= (V, E) состоит из конечного множества вершин и мультимножества ребер , состоящего из пар вершин $(u,v) \in V \times V$ , в которое эти пары могут входить по нескольку раз.

Обычно несколько ребер, соединяющих одну и ту же пару вершин, различаются метками - именами соответствующих бинарных отношений. В лекциях 4-6 мультиграфы будут использоваться для представления диаграмм конечных автоматов.

Во многих случаях естественно не различать графы, отличающиеся лишь именами (порядком) вершин.

Определение 1.8. Изоморфизм графов. Два графа и называются изоморфными, если между их вершинами существует взаимно однозначное соответствие $\varphi: V_1 \rightarrow V_2$ такое, что для любой пары вершин из ребро $(u,v) \in E_1 \ \Leftrightarrow\$ ребро $(\varphi(u), \varphi(v)) \in E_2$ .

Для изоморфизма размеченных графов требуется также совпадение меток соответствующих вершин: $l_1(v) = l_2(\varphi(v))$ и/или ребер: $c_1((u,v)) = c_2((\varphi(u), \varphi(v)) )$ .

Многие приложения графов связаны с изучением путей между их вершинами.

Определение 1.9.

Путь в ( мульти ) графе - это последовательность ребер вида $e_1=(v_1,v_2),e_2=(v_2,v_3), \ldots , e_{n-1}=(v_{n-1},v_n)$ . Этот путь ведет из начальной вершины в конечную вершину и имеет длину . В этом случае будем говорить, что достижима из . Будем считать, что каждая вершина достижима сама из себя путем длины 0. Путь в графе (не мультиграфе!) можно также определять как соответствующую последовательность вершин: $(v_1,v_2,v_3, \ldots , v_{n-1},v_n)$ , где $(v_i,v_{i+1})\in E$ при $i=1,2,\ldots, n-1$ .

Путь назывется простым, если все ребра и все вершины на нем, кроме, быть может, первой и последней, различны.

Циклом в графе называется путь, в котором начальная вершина совпадает с конечной и который содержит хотя бы одно ребро. Цикл $(v_1,v_2, \ldots , v_{n-1},v_n=v_1)$ называется простым, если в нем нет одинаковых вершин, кроме первой и последней, т.е. если все вершины $v_2, \ldots , v_{n-1}$ различны.

Если в графе нет циклов, то он называется ациклическим.