НОУ ИНТУИТ | Логические и арифметические основы и принципы работы ЭВМ. Лекция 5: Минимизация неполностью определенных функций

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Опубликован: 30.03.2005 | Доступ: платный | Студентов: 19518 / 47 | Оценка: 4.17 / 4.05 | Длительность: 09:46:00

ISBN: 978-5-9556-0040-6

Тема: Аппаратное обеспечение

Специальности: Разработчик аппаратуры

|

Вам нравится? Нравится 41 студенту

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: В лекции представлена минимизация неполностью определенных функций, дан синтез функций в базисах штрих Шеффера и стрелка Пирса, даны подходы к минимизации конъюнктивных форм.

Ключевые слова: неполностью определенная функция, функция, СДНФ, импликанта, конституента, импликантная матрица, минимизация, диаграмма Вейча, конфигурация, ранг, СКНФ, КНФ, принцип суперпозиции, стрелка Пирса, операция конъюнкции, суперпозиция, штрих Шеффера, одноэлементный базис

Очень часто, если не в большинстве случаев, работа конкретного устройства описывается с помощью неполностью определенной функции, так как некоторые комбинации входных сигналов не подаются или являются запрещенными.

Определение. Неполностью определенной функцией является такая переключательная функция, значения которой на некоторых наборах аргументов могут быть произвольными (т.е. равными " 0 " или " 1 ").

Определение. Пусть функция f(x₁,x₂,...x_n) не определена на " р " наборах аргументов. Тогда полностью определенную функцию $\varphi (x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ будем считать эквивалентной к f(x₁,x₂,...x_n), если ее значения на тех наборах, на которых f(x₁,x₂,...x_n) определена, совпадают.

Очевидно, существует 2^р различных функций, эквивалентных f(x₁,x₂,...x_n).

Задача минимизации f(x₁,x₂,...x_n) состоит в выборе такой эквивалентной $\varphi (x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ , которая имеет простейшую форму.

Введем две вспомогательные эквивалентные функции $\varphi _{0}(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ , $\varphi _{1}(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ , которые принимают на запрещенных наборах аргументов значения 0 и 1 соответственно.

ТЕОРЕМА. СДНФ неполностью определенной f(x₁,x₂,...x_n) совпадает с дизъюнкцией самых коротких импликант $\varphi _{1}(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ , которые совместно накрывают все конституенты единицы $\varphi _{0}(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ , и ни одна из которых не является лишней.

Пример:

Пусть задана f(x₁,x₂,...x_n) в виде следующей таблицы:

f(x₁,x₂,...x_n)	1	-	-	-	0	1	0	0	1	0	-	0	1	-	-	1
Числовые эквиваленты наборов	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

Тогда

$\varphi _{0}(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}) = 0 \vee 5 \vee 8 \vee 12 \vee 15 = \overline{x}_{1}\overline{x}_{2}\overline{x}_{3}\overline{x}_{4} \vee \overline{x}_{1}x_{2}\overline{x}_{3}x_{4} \vee x_{1}\overline{x}_{2}\overline{x}_{3}\overline{x}_{4} \vee x_{1}x_{2}\overline{x}_{3}\overline{x}_{4} \vee x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} = 0000 \vee 0101 \vee 1000 \vee 1100 \vee 1111$ ,

а

$\varphi _{1}(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}) = 0 \vee 1 \vee 2 \vee 3 \vee 5 \vee 8 \vee 10 \vee 12 \vee 13 \vee 14 \vee 15 = 0000 \vee 0001 \vee 0010 \vee 0011 \vee 0101 \vee 1000 \vee 1010 \vee 1100 \vee 1101 \vee 1110 \vee 1111$

Найдем простые импликанты $\varphi _{1}(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})$

Конституенты единицы $\phi$ ₁	Отметки о склейке	Импликанты	Отметки о склейке	Импликанты
0000	*	000- 00-0 -000	*	00- - 00- - -0-0
0001 0010 1000	*		*
	*		*
	*	00-1 0-01 001- -010 1-00	*
0011 0101 1010 1100	*		-
	*		*	1- -0
	*		*
	*		*
1101 1110	*	-101 1-10 110- 11-0	-
	*		*
	*		-	11- -
	*		-
1111	*	111-	*

Простые импликанты $\varphi _{1}(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})$

$\varphi _{1}(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}) = 0-01 \vee -101 \vee 110- \vee 11-0 \vee 00- - \vee -0-0 \vee 1- -0 \vee 11- -$

Построим импликантную матрицу.

Конституенты единицы $\varphi _{0}$	0000	0101	1000	1100	1111
Простые импликанты $\varphi _{1}$	0000	0101	1000	1100	1111
0-01		+
-101		+
110-				+
11-0				+
00--	+
-0-0	+		+
1--0			+	+
11--				+	+

Выполним оптимальное покрытие конституент единицы $\varphi _{0}$ простыми импликантами $\varphi _{1}$ и получаем минимальную форму функции f(x₁x₂ x₃ x₄)

$f^{1}_{min}(x_{1}x_{2} x_{3} x_{4}) = 11- - \vee -0-0 \vee -101 = x_{1}x_{2} \vee \overline{x}_{2}\overline{x}_{4} \vee x_{2}\overline{x}_{3}x_{4}$

$f^{2}_{min}(x_{1}x_{2} x_{3} x_{4}) = 11- - \vee -0-0 \vee 0-01 = x_{1}x_{2} \vee \overline{x}_{2}\overline{x}_{4} \vee \overline{x}_{1}\overline{x}_{3}x_{4}$

Минимизация с помощью диаграмм Вейча неполностью определенных функций в наглядной и удобной форме позволяет отыскать минимальные формы.

Пример:

Рассмотрим функцию f(x₁x₂ x₃ x₄) и найдем ее минимальную форму. Заполнить диаграмму Вейча по следующим правилам: в клетки диаграммы поставим единицы, которые соответствуют конституентам единицы, нули – для отсутствующих конституент и символ неопределенности – " * " (звездочка) – в остальные.

Видно, что в клетки для конституент: x₁x₂x₃x₄, x₁x₂x₃x₄, x₁x₂x₃x₄ целесообразно "поставить" единицы вместо символов неопределенности, так как в этом случае образуется правильная конфигурация 2-го ранга, которая покрывается произведением x₂x₃.

Аналогично и в клетку x₁x₂x₃x₄ нужно "поставить" единицу.

Итак, $f_{min}(x_{1}x_{2} x_{3} x_{4}) = \overline{x}_{2}x_{3} \vee \overline{x}_{1}\overline{x}_{4} \vee \overline{x}_{3}\overline{x}_{4} \vee \overline{x}_{1}\overline{x}_{2}$ .

Замечание. Все, что было сказано относительно минимизации функции, представленной в СДНФ или ДНФ справедливо для функции, заданной в СКНФ или КНФ.

В этом случае необходимо отыскивать правильные конфигурации, образованные нулями.

Дальше >>

Авторизоваться

Логические и арифметические основы и принципы работы ЭВМ

Минимизация неполностью определенных функций

Вопросы и ответы