НОУ ИНТУИТ | Логические и арифметические основы и принципы работы ЭВМ. Лекция 5: Минимизация неполностью определенных функций

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 30.03.2005 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

|

Вам нравится? Нравится 41 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Синтез переключательных функций в одноэлементном базисе

Операция (стрелка) Пирса

f₈(x₁,x₂)

x₁	0	0	1	1
x₂	0	1	0	1
f₈	1	0	0	0

Эту функцию можем представить, записав по "единицам":

$f_{8}(x_{1},x_{2}) = \overline{x}_{1}\overline{x}_{2} = x_{1}\downarrow x_{2}$

или

$x_{1}\downarrow x_{2} = \overline{x}_{1}\overline{x}_{2}$

На основе принципа суперпозиции:

$f(x_{1},x_{2},\dots x_{n}) = x_{1}\downarrow x_{2}\downarrow x_{3}\downarrow . . . \downarrow x_{n} = \overline{x}_{1}\overline{x}_{2}\overline{x}_{3} . . .\overline{x}_{n}$

Применяя правило де Моргана:

$\overline{x_{1}\downarrow x_{2}\downarrow x_{3}\downarrow . . .\downarrow x_{n}} = \overline{x}_{1}\overline{x}_{2}\overline{x}_{3} . . .\overline{x}_{n} = x_{1} \vee x_{2} \vee x_{3} \vee . . .\vee x_{n}$

или:

$\overline{x_{1}\downarrow x_{2}\downarrow x_{3}\downarrow . . .\downarrow x_{n}} = \overline{x}_{1} \vee \overline{x}_{2} \vee \overline{x}_{3} \vee . . .\vee \overline{x}_{n}$

т.е.

$x_{1}\downarrow x_{2}\downarrow x_{3}\downarrow . . .\downarrow x_{n} = \overline{x_{1} \vee x_{2} \vee x_{3} \vee . . . \vee x_{n}}$

Рассмотрим некоторые соотношения для операции Пирса:

$x\downarrow x = \overline{x}\overline{x} = \overline{x}$

$x_{1}\downarrow x_{2} = \overline{x}_{1}\overline{x}_{2} = \overline{x}_{2}\overline{x}_{1} = x_{2}\downarrow x_{1}$

$x_{1}\downarrow x_{2}\downarrow x_{3} = (\overline{x}_{1}\overline{x}_{2})\downarrow x_{3} = \overline{x}_{1}\overline{x}_{2}\overline{x}_{3} \ne x_{1}\downarrow (\overline{x}_{2}\overline{x}_{3})$ ,

т.е. операция Пирса не обладает свойством ассоциативности

$x_{1}\downarrow x_{2}\downarrow x_{3} = \overline{(x_{1}\downarrow x_{2})}\downarrow x_{3} = x_{1}\downarrow \overline{(x_{2}\downarrow x_{3})}$

$x_{1}\downarrow x_{2}\downarrow x_{3}\downarrow x_{4} = \overline{(x_{1}\downarrow x_{2})}\downarrow \overline{(x_{3}\downarrow x_{4})}$

При этом порядок выполнения операций в формулах, где есть операции Пирса такой:

раскрываются скобки
выполняются операции инверсии
выполняются операции Пирса

Синтез логических функций в базисе Пирса удобно производить, имея запись функции в КНФ.

Допустим, что ФАЛ задана в конъюктивной форме

f = Q₁Q₂Q₃ . . . Q_n

Подставим член Q_i в виде:

$Q_{i} = (x_{r} \vee x_{p} \vee x_{q} \vee . . . \vee x_{w} \vee \overline{x}_{f} \vee \overline{x}_{e} \vee . . . \vee \overline{x}_{z})$

Возьмем двойное отрицание от обеих частей этого равенства, применив правило де Моргана

$\overline{Q}_{i} = (\overline{x_{r} \vee x_{p} \vee x_{q} \vee . . . \vee x_{w} \vee x}_{f} \vee \overline{x}_{e} \vee . . . \vee \overline{x}_{z} = (\overline{x}_{r} * \overline{x}_{p} * \overline{x}_{q} * . . . * \overline{x}_{w} * x_{f} * x_{e} * . . . * x_{z}$

Применяя соотношение, полученное на основе принципа суперпозиции:

$Q_{i} = (\overline{x_{r}\downarrow x_{p}\downarrow x_{q}\downarrow . . .\downarrow x_{w}\downarrow x}_{f}\downarrow \overline{x}_{e}\downarrow . . .\downarrow \overline{x}_{z}$

Или, применяя это преобразование к исходной форме, получим:

$f = \overline{Q}_{1}\downarrow \overline{Q}_{2}\downarrow \overline{Q}_{3}\downarrow . . .\downarrow \overline{Q}_{n}$

Итак: чтобы от КНФ перейти к базису Пирса и инверсии необходимо:

заменить операции дизъюнкции операциями Пирса
заменить операции конъюнкции операциями Пирса
заключить в скобки все те группы букв, которые соответсвуют конъюнктивным членам.

Пример:

$f(x_{1}x_{2} x_{3}) = (x_{1} \vee \overline{x}_{2} \vee x_{3}) (\overline{x}_{1} \vee x_{4}) (x_{2} \vee \overline{x}_{4}) = (x_{1}\downarrow \overline{x}_{2}\downarrow x_{3})\downarrow (\overline{x}_{1}\downarrow x_{4}) (x_{2}\downarrow \overline{x}_{4})$

Замечание. Так как в этих произведениях число букв не увеличивается, и если исходная форма функции была минимальной, то вновь полученная также будет минимальной (в действительности дело обстоит сложнее, поскольку мы рассматриваем не базис " $\downarrow$ ", а другой, то есть " $\downarrow$ " и " - " - операцию Пирса и инверсию).

Принципиально можно избавиться от отрицаний, применив соотношение: $\overline{x}_{i} = x_{i}\downarrow x_{i}$ , но тогда нельзя будет утверждать, что полученная форма будет минимальной!

Дальше >>

Программирование

Логические и арифметические основы и принципы работы ЭВМ

Минимизация неполностью определенных функций

Синтез переключательных функций в одноэлементном базисе

Операция (стрелка) Пирса

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Программирование

Логические и арифметические основы и принципы работы ЭВМ

Минимизация неполностью определенных функций

Синтез переключательных функций в одноэлементном базисе

Операция (стрелка) Пирса

Вопросы и ответы

Студенты