НОУ ИНТУИТ | Графы и их применение. Лекция 9: Орграфы

Основанием для выбора такого названия служит то, что подобные орграфы можно использовать для записи результатов теннисных или любых других турниров, в которых не разрешены ничьи. Например, на (рис. 9.5) представлены результаты турнира, в котором команда нанесла поражение команде , но проиграла команде , и т.д.

Поскольку турнир может обладать источником или стоком, турниры не являются в общем случае гамильтоновыми орграфами. Однако следующая теорема (принадлежащая Реди и Камиону) показывает, что всякий турнир почти гамильтонов.

Теорема 9.3 (Реди, Камион).

Всякий турнир полугамильтонов.
Всякий сильно связный турнир гамильтонов.

Доказательство 1. Если турнир имеет меньше четырех вершин, то утверждение, очевидно, верно. Проведем индукцию по числу вершин. Предположим, что любой турнир с вершинами полугамильтонов. Пусть — турнир с n+1 вершинами, и пусть турнир T{'} с вершинами получен из удалением некоторой вершины вместе со всеми инцидентными ей дугами. Тогда, по предположению индукции, обладает полугамильтоновой простой орцепью $v_{1} \to v_{2} \to \ldots \to v_{n}$ . Рассмотрим три случая.

Если $(v,v_{1} )$ — дуга в , то искомой простой орцепью является $v\to v_{1} \to v_{2} \to \ldots\to v_{n}$ .
Если $(v,v_{1})$ не является дугой в , это означает, что дугой является $(v_{1},v)$ и если существует такое , что $(v,v_{1})$ — дуга в , то выбирая первое с таким свойством, получим, что искомой простой орцепью является ${v_{1} \to v_{2} \to \!\ldots\! \to v_{i-1} \to v\to v_{i} \to \!\ldots\! \to v_{n}}$ (см. рис. 9.6).
Если в не существует дуги вида $(v,v_{i})$ , то искомой простой орцепью является $v_{1} \to v_{2} \to \ldots \to v_{n} \to v$ .

2. Докажем более сильный результат, состоящий в том, что сильно связный турнир с вершинами содержит орциклы длин $3,4\dts n$ .

Рис. 9.6.

Сначала покажем, что содержит орцикл длины три. Для этого выберем в произвольную вершину и обозначим через множество всех вершин , таких, что (v,w) — дуга в , а через — обозначим множество всех вершин , таких, что (z,v) — дуга в . Так как сильно связен, то оба множества и не пусты, и поэтому в найдется дуга вида $(w{'},z^{1})$ , где w{'} принадлежит , z{'} принадлежит . Тогда требуемым циклом длины три является $v\to w{'} \to z{'} \to v$ .

Осталось только показать, что если существует орцикл длины {(k<n)} , то существует и орцикл длины k+1 . Пусть $v_{1} \to \ldots \to v_{k} \to v_{1}$ — орцикл длины . Предположим сначала, что в существует вершина , не принадлежащая этому орциклу и обладающая тем свойством, что в содержатся дуги вида $(v,v_{i})$ и вида $(v_{j},v)$ . Тогда должна существовать такая вершина $v_{i}$ , что и $(v_{i-1},v)$ , и $(v,v_{i})$ являются дугами в . При этом требуемым орциклом является (рис. 9.7)

$v_{1} \to v_{2} \to \ldots \to v_{i-1} \to v\to v_{i} \to \ldots \to v_{k} \to v_{1}$ .

Рис. 9.7.

Если не существует вершин, обладающих указанным выше свойством, то множество вершин, не содержащихся в орцикле, можно разбить на два непересекающихся множества и , где есть множество таких вершин , что $(v_{i},w)$ для любого является дугой, а есть множество таких вершин , что $(z,v_{i})$ для любого является дугой. Так как сильно связен, то оба множества и непусты, и поэтому в найдется дуга вида (w{'},z{'}) , где w{'} принадлежит , а z{'} принадлежит . Тогда требуемым орциклом будет (рис. 9.8)

$v_{1} \to w{'} \to z{'} \to v_{3} \to \ldots \to v_{k} \to v_{1}$ .

Рис. 9.8.

Дальше >>

Авторизоваться

Графы и их применение

Орграфы

Турниры

Вопросы и ответы