Теория трансверсалей

Теория трансверсалей

Приводятся определения трансверсали. Используя эти понятия, дается еще одно доказательство теоремы Холла. Описывается несколько приложений в лексике трансверсалей.

Если — непустое конечное множество и — семейство (не обязательно различных) непустых его подмножеств, трансверсалью (или системой различных представлений ) для называется подмножество множества , состоящее из элементов: по одному из каждого множества .

Общие трансверсали. Если — непустое конечное множество, а и — два семейства его непустых подмножеств, то интересно знать, когда существует общая трансверсаль для и , то есть множество, состоящее из различных элементов множества и являющееся трансверсалью и для , и для .

Рассмотрим пример. Предположим, что , а , , . Подсемейство имеет трансверсаль, например . Трансверсаль произвольного подсемейства семейства будем называть частичной трансверсалью для ; в нашем примере семейство имеет несколько частичных трансверсалей (например, , , , и т.д.). Ясно, что любое подмножество частичной трансверсали само является частичной трансверсалью.

Естественно спросить: при каких условиях данное семейство подмножеств некоторого множества имеет трансверсаль? Легко увидеть связь между этой задачей и задачей о свадьбах, если взять за Е множество девушек, а за — множество девушек, знакомых юноше ; трансверсалью в этом случае является множество из девушек, такое, что каждому юноше соответствует ровно одна (знакомая ему) девушка. Следовательно, теорема Холла дает необходимое и достаточное условие существования трансверсали для данного семейства множеств. Сформулируем теорему Холла для этого случая и дадим другое ее доказательство, принадлежащее Р.Радо.

Теорема Пусть — непустое конечное множество и — семейство непустых его подмножеств; тогда имеет трансверсаль в том и только в том случае, если для любых подмножеств их объединение содержит, по меньшей мере, элементов .

Доказательство Необходимость этого условия очевидна. Для доказательства достаточности установим, что если одно из подмножеств (скажем, ) содержит более одного элемента, то можно удалить один элемент из , не нарушив условия теоремы. Повторением этой процедуры мы добьемся сведения задачи к тому случаю, когда каждое подмножество содержит только один элемент. Тогда утверждение станет очевидным.

Осталось обосновать законность этой "процедуры сведения". Предположим, что содержит элементы и , удаление каждого из которых нарушает условие теоремы. Тогда существуют подмножества и множества , обладающие тем свойством, что

Но эти два неравенства приводят к противоречию, поскольку

Прелесть этого доказательства в том, что оно проводится, по существу, лишь в один шаг, в отличие от доказательства Халмоша-Вогена, которое предполагает исследование двух отдельных случаев. (Однако доказательство Радо труднее перевести на весьма наглядный матримониальный язык!).

Следствие В тех же обозначениях, что и выше, имеет частичную трансверсаль мощности тогда и только тогда, если для любых подмножеств их объединение содержит, по меньшей мере, элементов.

Доказательство Требуемый результат можно получить, применив теорему Холла в лексике трансверсалей к семейству , где — произвольное множество, не непересекающееся с и состоящее из элементов. Заметим, что имеет частичную трансверсаль мощности тогда и только тогда, если имеет трансверсаль.

Следствие Если и такие же, как и прежде, а — любое подмножество из , то содержит частичную трансверсаль мощности для тогда и только тогда, если для каждого подмножества множества

Доказательство Достаточно применить предыдущее следствие к семейству .