Простые числа

Phi-функция Эйлера

Phi-функция Эйлера, , которую иногда называют тотиентой Эйлера, играет очень важную роль в криптографии. Функция находит из ряда чисел 0,1…., n–1 числа, взаимно простые с n. Можно вспомнить из "Модульная арифметика" , что множество Z_n* — числа, которые не больше чем n и взаимно простые с n. Функция вычисляет число элементов этого множества. Ниже показано, как найти это значение:

1. .
2. , если p — простое число.
3. , если m и n — взаимно простые.
4. , если p — простое.

Мы можем объединить эти четыре правила, предназначенные для нахождения .

Очень важно заметить, что значение для больших чисел может быть найдено, если может быть найдено число n и если n может быть представлено в виде разложения простых чисел. Другими словами, трудность нахождения зависит от трудности нахождения разложения n. Это рассматривается в следующем разделе.

Трудность нахождения зависит от трудности нахождения разложения n.

Пример 12.7

Какое значение имеет ?

Решение

Поскольку 13 — простое число, .

Пример 12.8

Какое значение имеет ?

Решение

Мы можем использовать третье правило: , поскольку 2 и 5 — простые числа.

Пример 12.9

Какое значение имеет ?

Решение

Мы можем записать .

Тогда

Пример 12.10

Можно ли утверждать, что ?

Решение

Нет.

Пример 12.11

Какие числа являются элементами в Z₁₄^*?

Решение

. Элементы – это 1, 3, 5, 9, 11 и 13.

Интересный факт: если n > 2, значение — четное.

Малая теорема Ферма

Малая теорема Ферма играет очень важную роль в теории чисел и криптографии. Ниже мы приводим две версии теоремы.

Первая версия

Первая версия говорит, что если p — простое число и a — целое число, такое, что p не является делителем a, тогда .

Вторая версия

Вторая версия вводит ограничивающие условие на a. Она утверждает, что если p — простое число и a — целое число, то .

Приложения

Хотя мы будем рассматривать приложения этой теоремы позже в этой лекции, теорема очень полезна для того, чтобы решить некоторые проблемы.

Возведение в степень. Малая теорема Ферма иногда полезна для того, чтобы быстро найти решение при возведении в степень. Следующие примеры показывают это.

Пример 12.12

Найдите результат 6¹⁰ mod 11.

Решение

Мы имеем . Это первая версия малой теоремы Ферма, где p = 11.

Пример 12.13

Найдите результат 3¹² mod 11.

Решение

Здесь степень (12) и модуль (11) не соответствуют условиям теоремы Ферма. Но, применяя преобразования, мы можем привести решение к использованию малой теоремы Ферма.

Мультипликативные инверсии. Очень интересное приложение теорема Ферма находит для некоторых мультипликативных инверсий, если модуль — простое число. Если p — простое число и a — целое число, такое, что p не является его делителем, тогда a^-1mod p = a^p-2 mod p. Это может быть легко доказано, если мы умножим обе стороны равенства на a и используем первую версию малой теоремы Ферма:

Это приложение позволяет не использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения мультипликативных инверсий.

Пример 12.14

Инверсии по модулю простого числа могут быть найдены без использования расширенного Евклидова алгоритма:

a. 8^-1 mod 17 = 8^17-2 mod 17 = 8¹⁵ mod 17 = 15 mod 17

b. 5 ^–1 mod 23 = 5^23-2 mod 23 = 5²¹ mod 23 = 14 mod 23

c. 60¹⁰¹ mod 101 = 60^101-2 mod 101 = 60⁹⁹ mod 101 = 32 mod 101

d. 22 ^-1 mod 211 = 22 ^211-2 modа 211 = 22²⁰⁹ mod 211 = 48 mod 211