Опубликован: 19.01.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 3547 / 611 | Оценка: 4.28 / 4.00 | Длительность: 26:16:00
ISBN: 978-5-9963-0242-0
Специальности: Математик
Лекция 5:

Алгебраические структуры

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Циклические подгруппы

Если подгруппа группы может быть сгенерирована, используя возведение в степень элемента, то такая подгруппа называется циклической подгруппой. Термин возведение в степень здесь означает многократное применение к элементу групповой операции:

{a^n} \to a \bullet a{\text{ }} \bullet {\text{ }}... \bullet a  {\text{(n раз)}}

Множество, полученное в результате этого процесса, обозначается в тексте как <a>. Обратите внимание также, что a0 = e.

Пример 5.7

Из группы G = < Z6, +> могут быть получены четыре циклических подгруппы. Это H1 = <{0},+>, H2 =<{0, 2, 4}, +>, H3 = <{0, 3}, +> и H4 = G. Заметим, что когда операция — сложение, то an означает умножение n на a. Заметим также, что во всех этих группах операция — это сложение по модулю 6. Ниже показано, как мы находим элементы этих циклических подгрупп.

a. Циклическая подгруппа, сгенерированная из 0, — это H1, имеет только один элемент (нейтральный элемент).

00 mod 6 = 0 (остановка, далее процесс повторяется).

б. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 1, — это H4, которая есть сама группа G.

10 mod 6 = 0
11 mod 6 = 1
12 mod 6 = (1 + 1) mod 6 = 2
13 mod 6 = (1 + 1 + 1) mod 6 = 3
14 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 4
15 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 5(остановка, далее процесс повторяется)

в. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 2, — это H2, которая имеет три элемента: 0, 2, и 4.

20 mod 6 = 0
21 mod 6 = 2
22 mod 6 = (2 + 2) mod 6 = 4 (остановка, далее процесс повторяется)

г. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 3, — это H3, которая имеет два элемента: 0 и 3.

30 mod 6 = 0 
31 mod 6 = 3 (остановка, далее процесс повторяется)

д. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 4, — H2 ; это — не новая подгруппа.

40 mod 6 = 0
41 mod 6 = 4
42 mod 6 = (4 + 4) mod 6 = 2 (остановка, далее процесс повторяется)

е. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 5, — это H4, она есть сама группа G.

50 mod 6 = 0
51 mod 6 = 5
52 mod 6 = 4
53 mod 6 = 3
54 mod 6 = 2
55 mod 6 = 1  (остановка, далее процесс повторяется)

Пример 5.8

Из группы {\text{G}} =  < {{\text{Z}}_{{\text{1}}0*}}, \times  > можно получить три циклических подгруппы. G имеет только четыре элемента: 1, 3, 7 и 9. Циклические подгруппы — {H_1} = \<\left\{ 1 \right\}, \times \>, {H_2} = \<\left\{ {1,{\text{ }}9} \right\}, \times \> и {H_3} = G . Ниже показано, как мы находим элементы этих подгрупп.

a. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 1, — это H1. Подгруппа имеет только один элемент, а именно — нейтральный.

10 mod 10 = 1 (остановка, далее процесс повторяется)

б. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 3, — это H3, которая есть группа G.

30 mod 10 = 1
31 mod 10 = 3
32 mod 10 = 9
33 mod 10 = 7 (остановка, далее процесс повторяется)

в. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 7, — это H3, которая есть группа G.

70 mod 10  = 1
71 mod 10  = 7
72 mod 10  = 9
73 mod 10  = 3 (остановка, далее процесс повторяется)

г. Циклическая подгруппа, сгенерированная на основе 9, — это H2. Подгруппа имеет только два элемента.

90 mod 10 = 1
91 mod 10 = 9 (остановка, далее процесс повторяется)
Циклические группы

Циклическая группа — группа, которая является собственной циклической подгруппой. В примере 5.7 группа G имеет циклическую подгруппу H5 = G. Это означает, что группа G — циклическая группа. В этом случае элемент, который генерирует циклическую подгруппу, может также генерировать саму группу. Этот элемент далее именуется "генератор". Если g — генератор, элементы в конечной циклической группе могут быть записаны как

{e,g,g2,….., gn-1}, где gn = e.

Заметим, что циклическая группа может иметь много генераторов.

Пример 5.9

а. Группа G = <Z6, +> — циклическая группа с двумя генераторами, g = 1 и g = 5.

б. Группа {\text{G}} =  < {{\text{Z}}_{{\text{1}}0*}}, \times  > — циклическая группа с двумя генераторами, g = 3 и g = 7.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа показывает отношение между порядком группы к порядку ее подгруппы. Предположим, что G — группа и Hподгруппа G. Если порядок G и H|G| и |H|, соответственно, то согласно этой теореме |H| делит |G|. В примере 5.7 |G| = 6. Порядок подгруппы — |H1| = 1, | H2| = 3, |H3| = 2 и |H4| = 6. Очевидно, все эти порядки есть делители 6.

Теорема Лагранжа имеет очень интересное приложение. Когда дана группа G и ее порядок |G|, могут быть легко определены порядки потенциальных подгрупп, если могут быть найдены делители. Например, порядок группы G = <Z17, +> — это |17|. Делители 17 есть 1 и 17. Это означает, что эта группа может иметь только две подгруппы — нейтральный элемент и H2 = G.

Порядок элемента

Порядок элемента в группе ord (a) (порядок (a)) является наименьшим целым числом n, таким, что a n = e. Иными словами: порядок элемента — порядок группы, которую он генерирует.

Пример 5.10

a. В группе G = <Z6, +>, порядки элементов: порядок ord(0) = 1, порядок ord (1) = 6, порядок ord (2) = 3, порядок ord (3) = 2, порядок ord (4) = 3, порядок ord (5) = 6.

b. В группе G = <Z10, * >, порядки элементов: порядок ord (1) = 1, порядок ord (3) = 4, порядок ord (7) =4, порядок (9) = 2.

Кольцо

Кольцо, обозначенное как R = \<\left\{ {...} \right\}, \bullet , \bot \>, является алгебраической структурой с двумя операциями. Первая операция должна удовлетворять всем пяти свойствам, требуемым для абелевой группы. Вторая операция должна удовлетворять только первым двум свойствам абелевой группы. Кроме того, вторая операция должна быть распределена с помощью первой. Дистрибутивность означает, что для всех a, b и c элементов из R мы имеем a \bot (b \bullet c) = (a \bot b) \bullet (a \bot c) и (a \bullet b) \bot c = (a \bot c) \bullet (b \bot c). Коммутативное кольцо — кольцо, в котором коммутативное свойство удовлетворено и для второй операции. Рисунок 5.4 показывает кольцо и коммутативное кольцо.

Дополнительное замечание

Кольцо включает две операции. Однако вторая операция может не соответствовать третьему и четвертому свойствам. Другими словами, первая операция — фактически операция пары операций, таких как сложение и вычитание; вторая операция может содержать единственную операцию, например умножение, но может не содержать деление.

Пример 5.11

Множество Z с двумя операциями — сложением и умножением — является коммутативным кольцом, которое обозначается R = \<Z, + , \times \>. Сложение удовлетворяет всем пяти свойствам; умножение удовлетворяет только трем свойствам.

 Кольцо

Рис. 5.4. Кольцо

Умножение дистрибутивно с помощью сложения. Например, 5 \times (3 + 2) = (5 \times 3) + (5 \times 2) = 25. Хотя, мы можем выполнить на этом множестве сложение и вычитание и умножение, но не деление. Деление не может применяться в этой структуре, потому что оно приводит к элементу из другого множества. Результат деления 12 на 5 есть 2,4, и он не находится в заданном множестве.

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Евгений Виноградов
Евгений Виноградов

Прошел экстерном экзамен по курсу перепордготовки "Информационная безопасность". Хочу получить диплом, но не вижу где оплатить? Ну и соответственно , как с получением бумажного документа?

Илья Сидоркин
Илья Сидоркин

Добрый день! Подскажите пожалуйста как и когда получить диплом, после сдичи и оплаты?????