НОУ ИНТУИТ | Теория экономических механизмов. Лекция 10: Доходы аукционов с зависимыми ценностями

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1544 / 82 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00

ISBN: 978-5-9963-0014-3

Темы: Математика, Экономика

Специальности: Математик, Экономист

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аукцион первой цены

Перейдем теперь к симметричной равновесной стратегии в аукционе первой цены. Сперва, как и ранее, выведем ее эвристически.

Обозначим через $\beta$ искомую равновесную стратегию, а через $G(\cdot|x)$ — распределение Y_1 при условии X_1=x (запомните это обозначение, мы к нему в дальнейшем еще не раз и не два вернемся). Плотность данного распределения будем обозначать, соответственно, как $g(\cdot|x)$ .

Тогда ожидаемый доход агента при его собственном сигнале, равном , и ставке $\beta(x)$ составляет

$\Pi(z,x) = \int_0^z\left(\vphantom{1^2}v(x,y)-\beta(z)\right)g(y|x)dy = \int_0^zv(x,y)g(y|x)dy - \beta(z)G(z|x).$

Поскольку $\beta$ должна быть оптимальной стратегией, получаем следующее дифференциальное уравнение:

$\left(\vphantom{1^2}v(x,z) - \beta(z)\right)g(z|x) - \beta^\prime(z)G(z|x) = 0.$

А при симметричном равновесии z=x , и в итоге получается

$\beta^\prime(x) = \left(\vphantom{1^2}v(x,x) - \beta(x)\right)\frac{g(x|x)}{G(x|x)}.$

Кроме того, есть и начальное условие: $\beta(0)=0$ .

Теорема 10.2. В аукционе первой цены симметричное равновесие достигается при использовании следующей стратегии:

$\beta^I(x)=\int_0^xv(y,y)dL(y|x),$

где

$L(y|x)=e^{-\int_y^x\frac{g(t|t)}{G(t|t)}dt}.$

Доказательство. Во-первых, покажем, что $L(\cdot|x)$ является функцией распределения на интервале [0,x] . По аффилированности, для всех t>0

$\frac{g(t|t)}{G(t|t)}\ge\frac{g(t|0)}{G(t|0)}.$

Таким образом,

$-\int_0^x\frac{g(t|t)}{G(t|t)}dt \le -\int_0^x\frac{g(t|0)}{G(t|0)}dt = -\int_0^x\der{d}t(\ln G(t|0))dt = \\ = \ln G(0|0) - \ln G(x|0) = -\infty.$

Следовательно, L(0|x) = 0 . Кроме того, L(x|x) = 1 , и функция $L(\cdot | x)$ является неубывающей.

Кроме того, из аффилированности сигналов следует, что

$\forall x^\prime>x\quad L(\cdot|x^\prime) \le L(\cdot|x).$

Так как v(y,y) возрастает как функция от , то $\beta=\beta^I$ также возрастает как функция от .

Рассмотрим теперь агента, который делает ставку $\beta(z)$ при скрытом сигнале . Так как $\beta$ возрастает,

$\Pi(z,x) = \int_0^z\left(\vphantom{1^2}v(x,y) - \beta(z)\right)g(y|x)dy.$

Продифференцировав предыдущее выражение по , получаем:

$\frac{\partial \Pi}{\partial z} = \left(\vphantom{1^2}v(x,z) - \beta(z)\right)g(z|x) - \beta^\prime(z)G(z|x) = \\ = G(z|x)\left(\vphantom{1^2}\left(v(x,z)-\beta(z)\right)\frac{g(z|x)}{G(z|x)} - \beta^\prime(z)\right).$

Рассмотрим случай z<x . Так как v(x,z)>v(z,z) и сигналы аффилированы, то, следовательно:

$\frac{g(z|x)}{G(z|x)} > \frac{g(z|z)}{G(z|z)},$

а значит,

$\frac{\partial \Pi}{\partial z} > G(z|x)\left((v(x,z)-\beta(z))\frac{g(z|z)}{G(z|z)} - \beta^\prime(z)\right) = 0.$

А в случае, когда z>x , можно совершенно аналогичным способом показать (проведите это рассуждение самостоятельно), что $\frac{\partial \Pi}{\partial z} < 0$ . Из этого следует, что функция $\Pi(z,x)$ в точке z=x достигает максимума.

Полученный результат является обобщением предыдущих результатов. Так, при частных значениях v(y,y) = y , а при независимых сигналах $G(\cdot|x) = G(\cdot)$ , и, следовательно,

$L(y|x)=e^{-\int_y^x\frac{g(t)}{G(t)}}dt = \frac1{G(x)}G(y).$

Пример 10.1. Рассмотрим случайные величины S_1,S_2,T , равномерные и независимые на интервале [0,1] . Пусть в аукционе участвуют два агента с неточными сигналами X_1 = S_1+T и X_2 = S_2 + T , а общая ценность лота вычисляется следующим образом: $V = \frac12(X_1 + X_2)$ .

Наличие обеспечивает аффилированность сигналов X_1 и X_2 . Так как участника всего два, то Y_1 = X_2 .

Совместная плотность X_1 и Y_1 вычисляется отдельно на разных треугольных участках.

Путем несложных вычислений можно показать, что для всех из интервала [0,2]

$\frac{g(x|x)}{G(x|x)} = \frac{2}{x},$

а для всех $y\in[0,x]$

$L(y|x) = \frac{y^2}{x^2}.$

Тогда теорема 10.2 утверждает, что оптимальная равновесная стратегия в данном случае имеет следующий вид:

$\beta^I(x) = \int_0^xv(y,y)dL(y|x) = \frac23x,$

так как $v(x,y) = \frac12(x+y)$ .

Конец примера 10.1.

Английский аукцион против аукциона второй цены

В этом и следующем разделах мы будем сравнивать доходность трех описанных типов аукционов в случае, когда агенты действуют в рамках симметричной равновесной стратегии. При наличии аффилированных сигналов и зависимых ценностей уже не действует принцип эквивалентности доходности. Далее будет показано, что английский аукцион превосходит по доходности аукцион второй цены, который, в свою очередь, превосходит аукцион первой цены.

Начнем со сравнения английского аукциона и аукциона второй цены.

Теорема 10.3. Ожидаемый доход от аукциона второй цены не превосходит ожидаемый доход от английского аукциона.

Доказательство. В аукционе второй цены равновесие достигается при использовании стратегии $\beta^{II}(x) = v(x,x)$ , где

$v(x,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}V_1|X_1=x,Y_1=y\right].$

Таким образом, если x>y , то

$v(y,y) = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(X_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})|X_1=y,Y_1=y\right] = \\ = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(Y_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})|X_1=y,Y_1=y\right] \le \\ \le \mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(X_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})|X_1=x,Y_1=y\right].$

Последнее неравенство следует из того, что возрастает, а сигналы аффилированы.

Доход в данном случае вычисляется следующим образом:

$\mathbf E\left[R^{II}\right] = \mathbf E\left[\beta^{II}(Y_1) | X_1 > Y_1\right] = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}v(Y_1,Y_1) | X_1 > Y_1\right] \le \\ \le \mathbf E\left[\mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(X_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})|X_1=x,Y_1=y\right] | X_1 > Y_1\right] = \\ = \mathbf E\left[\vphantom{1^2}u(X_1,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1}) | X_1 > Y_1\right] = \\ = \mathbf E\left[\beta^{\mathrm{Eng}2}(Y_1,Y_2,\ldots,Y_{N-1})\right] = \mathbf E\left[R^{\mathrm{Eng}}\right].$

Здесь через $\beta^{\mathrm{Eng}2}$ обозначена стратегия для английского аукциона в случае, когда в игре остаются всего два агента. Цена, на которой предпоследний агент в английском аукционе выходит из игры, — это и есть цена, которую заплатит победитель.

Замечание. Английский аукцион дает строго большую доходность, чем аукцион второй цены, только в том случае, когда одновременно присутствуют и зависимость значений, и аффилированность сигналов. Для независимых сигналов или индивидуальных значений эти два аукциона эквивалентны.

Дальше >>

Авторизоваться

Теория экономических механизмов

Доходы аукционов с зависимыми ценностями

Аукцион первой цены

Английский аукцион против аукциона второй цены

Вопросы и ответы