Умножение разреженных матриц

Результаты экспериментов

В качестве вычислительного примера рассмотрим разложение некоторых матриц, доступных в коллекции университета Флориды (http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/matrices/). Ниже приведено описание выбранных матриц: указан размер n, число ненулевых элементов нижнего треугольника nz, портрет матрицы. Все выбранные матрицы являются симметричными положительно определенными.

Рис. 7.21. Матрица shallow_water2, n=81 920, nz=204 800

Рис. 7.22. Матрица parabolic_fem, n=525 825, nz=2 100 225

Рис. 7.23. Матрица pwtk, n=217 918, nz=5 871 175

Рис. 7.24. Матрица cfd2, n=123 440, nz=1 604 423

Следует отметить, что при практической реализации метод минимальной степени в его исходном виде не используется в силу его значительной трудоемкости. Широко известны две модификации метода – приближенный метод минимальной степени (Approximate Minimum Degree, AMD), и множественный метод минимальной степени (Multiple Minimum Degree, MMD). Идея метода AMD состоит в вычислении приближенной степени вершины с помощью следующего эвристического правила: степень вершины не превосходит сумму степеней ее соседей. Метод MMD использует следующую модификацию: если на некотором шаге алгоритма нашлось несколько вершин с минимальной степенью, то можно одновременно удалить все из них, не являющиеся соседями.

Метод MMD реализован в библиотеке Intel MKL, и приведенные ниже результаты экспериментов получены с помощью данной библиотеки. Для каждой из наших тестовых матриц была получена перестановка методом MMD, портреты матриц после применения перестановки приведены ниже.

Рис. 7.25. Матрица shallow_water2, n=81 920, nz=204 800

Рис. 7.26. Матрица parabolic_fem, n=525 825, nz=2 100 225

Рис. 7.27. Матрица parabolic_fem, n=525 825, nz=2 100 225

Рис. 7.28. Матрица cfd2, n=123 440, nz=1 604 423

Кажущаяся "плотность" полученных портретов объясняется масштабированием, ниже приведены портрет правого нижнего угла одной из матриц в высоком разрешении.

Рис. 7.29. Матрица parabolic_fem, правый нижний угол.

Для каждой из матриц был вычислен коэффициент заполнения при факторизации в исходном виде (обозначим такой фактор L), и при факторизации после применения перестановки, найденной методом минимальной степени (обозначим полученный фактор ).

Рис. 7.30. Фактор для shallow_water2, n=81 920, nz=2 525 184

Рис. 7.31. Фактор для parabolic_fem, n=525 825, nz = 23 582 508

Рис. 7.32. Фактор для pwtk, n=217 918, nz= 60 711 075

Рис. 7.33. Фактор для cfd2, n=123 440, nz= 66 828 397

Здесь также присутствует эффект масштабирования, ниже приведен портрет правого нижнего угла одного из факторов в высоком разрешении

Рис. 7.34. Фактор для parabolic_fem, правый нижний угол.

Портреты матриц после разложения в целом имеют ту же структуру, что и портреты переупорядоченных матриц – существенного заполнения не произошло. Числовые значения коэффициентов заполнения исходной матрицы A, и ее факторов L и приведены в табл. 3.12.

Таблица 7.12. Коэффициенты заполнения матрицы до и после разложения

Матрица	A	L
shallow_water2	4,88281E-05	0,00687	0,00075
pwtk	0,00024268	0,00803	0,00256
parabolic_fem	1,32902E-05	0,16134	0,00017
cfd2	0,000202489	0,02049	0,00877

Сравнение коэффициентов заполнения факторов L и очевидным образом демонстрирует преимущества использования метода минимальной степени.