Квантовая телепортация
Два объекта в идентичном квантовом состоянии физически не отличимы друг от друга. Идея квантовой телепортации состоит в том, чтобы передавать из точки А в точку В не сам объект, а его квантовое состояние. Квантовая телепортация является реальностью, проверенной на практике. Она проверялась в лабораториях, правда только для очень маленьких квантовых систем. В теории возможно телепортировать сколь угодно большую квантовую систему, но пока мы не обладаем технологиями, способными выполнять телепортацию макроскопических объектов.
Нам бы хотелось телепортировать поляризоваиный фотон из точки А в точку В. Фактически, мы понимаем, что речь идет о телепортации состояния фотона. В наивном понимании телепортации нам следует измерить состояние фотона в точке А, а затем создать фотон в точке В, обладающий измеренным состоянием фотона А. Это, однако, сделать невозможно, - с помощью измерения мы не можем определить неизвестное состояние фотона, измерение безвариантно разрушает состояние.
Трюк состоит в том, чтобы телепортировать состояние не определяя, каким же является это состояние.
Как можно это сделать? Представьте себе, что у нас есть фотон в точке А в неизвестном поляризационном состоянии:
![a|0\rangle+b|1\rangle,\; a^2+b^2=1](/sites/default/files/tex_cache/a569388f6fb009850d45cd90efc7b382.png)
Для реализации телепортации нам следует выполнить некоторые предварительные действия. Мы должны сгенерировать запутаиную пару в состоянии и послать первый фотон в точку А, а второй фотон в точку В.
Теперь у нас есть три фотона, их объединенное состояние является 3кубитом, который может быть вычислен как тензорное произведение:
![(a|0\rangle+b|1\rangle) \left ( \frac{1}{\sqrt2}|00\rangle+\frac{1}{\sqrt}|11\rangle \right )\\
=\frac{a}{\sqrt2}|000\rangle+\frac{a}{\sqrt2}|011\rangle+\frac{b}{\sqrt2}|100\rangle+\frac{b}{\sqrt 0}|111\rangle](/sites/default/files/tex_cache/b1e3737b54248c4eaa98bf706093c232.png)
Далее мы собираемся смешать состояния двух фотонов в точке А, выполняя следующие ортогональные трансформации в пространстве 2-кубита:
![|00\rangle \to \frac12 (|00\rangle+|01\rangle+10\rangle+11\rangle),\\
|01 \to \frac 12(|00\rangle-|01\rangle+|10\rangle-|11\rangle),\\
|10\rangle \to \frac 12 (|00\rangle+|01\rangle-|10\rangle-|11\rangle),\\
|11\rangle \to \frac 12 (-|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle-|11\rangle)](/sites/default/files/tex_cache/e516ed049225355aac5b7ca881816b8c.png)
Эта трансформация ортогональна, поскольку она трансформирует каждый базисный вектор в вектор длины 1, и скалярное произведение образов различных базисных векторов друг с другом равно нулю.
Если выполнить эту трансформацию для первых двух фотонов 3-кубита, то получим состояние:
![\frac{a}{2\sqrt2}(|000\rangle+|010\rangle+|100\rangle+|110\rangle)\\
+\frac{a}{2\sqrt2}(|001\rangle-|011\rangle+|101\rangle-|111\rangle)\\
+\frac{b}{2\sqrt2}(|000\rangle+|010\rangle-|100\rangle-|110\rangle)\\
+\frac{b}{2\sqrt2}(-|001\rangle+|011\rangle+|101\rangle-|111\rangle)\\
=\frac{a=b}{2\sqrt2}|000\rangle+\frac{a-b}{2\sqrt2}|001\rangle\\
+\frac{a+b}{2\sqrt2}|010\rangle+\frac{-a+b}{2\sqrt2}|011\rangle\\
+\frac{a-b}{2\sqrt2}|100\rangle+\frac{-a-b}{2\sqrt2}|111\rangle](/sites/default/files/tex_cache/42c42f784188bfc5896d51a257a89aaf.png)
Затем выполиим измерение первых двух фотонов в точке А. Возможны четыре различных результата: 00, 01, 10 и 11. Давайте рассмотрим все четыре случая и посмотрим, что происходит с фотоном в точке В в каждом из четырех случаев.
Случай 1. Мы наблюдаем 00 для первых двух фотонов. В этом случае 3-кубит сожмется, переходя в состояние:
![\frac{a+b}{\sqrt2}|000\rangle+\frac{a-b}{\sqrt2}|001\rangle,](/sites/default/files/tex_cache/c9c8d7d06833c1c79a5bc8ded6007990.png)
которое можно рассматривать как множитель в тензорном произведении
![|00\rangle(\frac{a+b}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{a-b}{\sqrt2}|1\rangle),](/sites/default/files/tex_cache/e673ff396ccd3ec6a32dda5bc3ea98bf.png)
Фактически это означает, что фотон в точке В находится в состоянии:
![\rangle(\frac{a+b}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{a-b}{\sqrt2}|1\rangle,](/sites/default/files/tex_cache/b470e8b9795cbc3d4e9e39e23ffbd6f9.png)
Случай 2. Мы наблюдаем 01 для первых двух фотонов. В этом случае фотон в точке В находится в состоянии:
![\rangle(\frac{a+b}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{-a+b}{\sqrt2}|1\rangle,](/sites/default/files/tex_cache/9ad38787a0dd83c94b515427085c3c9d.png)
Случай З. Мы наблюдаем 10 для первых двух фотонов. В этом случае фотон в точке В находится в состоянии:
![\rangle(\frac{a-b}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{a+b}{\sqrt2}|1\rangle,](/sites/default/files/tex_cache/60032ade61855491245b7995207bb4be.png)
Случай 4. Мы наблюдаем 11 для первых двух фотонов. В этом случае фотон в точке В находится в состоянии:
![\rangle(\frac{a-b}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{-a-b}{\sqrt2}|1\rangle,](/sites/default/files/tex_cache/2958f05e1ff943264f3f89b0cfa7d36b.png)
В финале выполним ортогональную трансформацию для фотона в точке В. Тин трансформации зависит от результата наблюдения в точке А.
Случай 1. Если мы наблюдали 00 для первых двух фотонов, то выполним следующую трансформацию фотона в точке В:
![|0\rangle \to \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle,\\
|1\rangle \to \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle](/sites/default/files/tex_cache/7a9436c2c494187474166ec4523fc776.png)
Случай 2. Если мы наблюдали 01 для первых двух фотонов, то выполним следующую трансформацию фотона в точке В:
![|0\rangle \to \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle,\\
|1\rangle \to -\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle](/sites/default/files/tex_cache/9553b1d6d24755a84a1f7e92f8a4c1c0.png)
Случай З. Если мы наблюдали 10 для первых двух фотонов, то выполним следующую трансформацию фотона в точке В:
![|0\rangle \to \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle,\\
|1\rangle \to \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle](/sites/default/files/tex_cache/794bbfb78cfeae3520e8798c53de2554.png)
Случай 4. Если мы наблюдали 11 для первых двух фотонов, то выполним следующую трансформацию фотона в точке В:
![|0\rangle \to \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle,\\
|1\rangle \to -\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle](/sites/default/files/tex_cache/a2c811041f9f1831caed18c9899b5ba6.png)
Нетрудно проверить, что во всех случаях результат трансформации будет один и тот же - фотон в точке В будет находиться в состоянии исходного фотона в точке А. Давайте для случая 1 проведем вычисления:
![\frac{a+b}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{a-b}{\sqrt2}|1\rangle \to \frac{a+b}{2}|0\rangle +\frac{a+b}{2}|1\rangle -\frac{a-b}{2}|0\rangle -\frac{a-b}{2}|1\rangle = a|0\rangle+b|1\rangle](/sites/default/files/tex_cache/ed612aa2f2ab66bf2d8d10769a69278a.png)
Достигнут успех - состояние в точке А телепортировано в точку В. Заметьте, ин одна из наших трансформаций не зависит от значений а и b. Трансформации, выполняемые в точке В, зависят от результатов наблюдений в А, но не от значений коэффициентов а и b, которые остаются неопределенными в течение всего процесса.
Мы показали, что телепортация состояния требует передачи материальных сущностей - двух частей запутанного кубита, которые должны быть доставлены соответственно в точки А и В. Однако это может быть сделано заранее.
Заметим также, что скорость телепортации не превышает скорости света, так что эта процедура не нарушает принципов теории относительности. В самом деле, заключительная трансформация в точке В зависит от результатов наблюдений в А. Эти результаты должны быть переданы из А в точку В, а скорость передачи этой информации ограничена скоростью света. Мы особо подчеркиваем, что передаваемая информация является классической информацией - это просто два бита, значение которых показывает, какой из четырех возможных случаев имел место. Эта информация может передаваться по обычному каналу связи.
В заключение отметим, что оригинальное квантовое состояние в точке А было разрушено. Фактически имеет место теорема, которая говорит, что неизвестное квантовое состояние нельзя дублировать, так что телепортация состояния из А в В с необходимостью требует разрушения оригинального квантового состояния в А.