Схемы из функциональных элементов

Формулы представляют собой способ записи композиции функций. Например, если мы сначала применяем функцию , а потом функцию , это можно записать формулой . Но есть и другой способ: можно изобразить каждую функцию в виде прямоугольника с "входом"и "выходом"и соединить выход функции со входом функции (рис. 2.1).

Такое представление отнюдь не является чисто теоретическим. В течении нескольких десятков лет электронная промышленность выпускает микросхемы, которые выполняют логические операции. Такая микросхема имеет электрические контакты, напряжение на которых кодирует логические значения И и Л. Конкретное напряжение зависит от типа схемы, но обычно это несколько вольт, и высокий потенциал (относительно заземления) считается единицей, а низкий нулем.

Одной из типичных схем является схема И-НЕ, она имеет два входа и один выход. Сигнал на выходе является отрицанием конъюнкции сигналов на входе. Другими словами, на выходе появляется высокий потенциал (сигнал ) тогда и только тогда, когда на одном из входов потенциал низкий ( ). Из такой схемы легко получить схему НЕ (изменяющую уровень сигнала на противоположный), соединив проводом два входа. При этом на оба входа поступает один и тот же сигнал, и операция И его не меняет ( ), а НЕ меняет на противоположный. Взяв два элемента И-НЕ и используя второй из них в качестве элемента НЕ, инвертирующего сигнал с выхода первого элемента, получаем схему, которая реализует функцию И. А если поставить два элемента НЕ перед каждым из входов элемента И-НЕ, получим схему, реализующую функцию ИЛИ: .

Теорема 3 о полноте системы связок теперь гарантирует, что любую булеву функцию можно реализовать в виде схемы. Надо иметь в виду, однако, что предлагаемая в ее доказательстве конструкция (дизъюнктивная нормальная форма) имеет скорее теоретический интерес, поскольку приводит к схемам очень большого размера даже для простых функций (если число аргументов велико). Например, схема, сравнивающая два -битных числа, должна иметь входа и поэтому в ее реализации с помощью дизъюнктивной нормальной формы будет порядка элементов — что мало реально. (Между тем такую схему можно построить гораздо проще, из нескольких сотен элементов.)

Поэтому вопрос о том, сколько элементов нужно для реализации той или иной функции, представляет большой интерес — как практический, так и философский. (Одна из центральных проблем математики и информатики, так называемая "проблема перебора", может быть сформулирована в этих терминах.)

Мы сейчас дадим более формальное определение схемы и реализуемой ей булевой функции. Но прежде всего ответим на такой вопрос — почему мы вообще говорим о схемах? Ведь можно записать композицию булевых функций в виде формулы, не будет ли это то же самое?

Оказывается, не совсем, и разницу легко увидеть на примере (рис. 2.2).

Здесь один и тот же элемент схемы ( ) приходится указывать в формуле дважды, поскольку его выход используется в качестве входа двух других элементов. Схемы, в которых такого ветвления нет (на практике ветвление вполне возможно, хотя и ограничено "нагрузочной способностью выхода", как говорят инженеры), как раз и соответствуют формулам. Но в общем случае полученная из данной схемы формула может быть длинной, даже если схема содержит небольшое число элементов, поскольку число копий может расти экспоненциально с ростом глубины схемы.

Хотя идея образования схемы из функциональных элементов, реализующих булевы функции, достаточно наглядна, дадим более формальное определение. Фиксируем некоторый набор булевых функций . Пусть имеется булевых (принимающих значения и ) переменных , называемых входами. Пусть также имеется некоторое число булевых переменных , называемых проводниками. Пусть для каждого проводника схемы задана булева функция из , выражающая его значение через другие проводники и входы. При этом требуется, чтобы не было циклов (цикл образуется, когда зависит от , которое зависит от , которое зависит от ). Пусть, кроме того, среди проводников выделен один, называемый выходом. В таком случае говорят, что задана схема из функциональных элементов в базисе с входами. Число называют размером схемы. (С точки зрения инженера размер — это число использованных элементов, а базис — это ассортимент доступных ему элементов.)

Отсутствие циклов гарантирует, что есть проводник, зависящий только от входов (иначе можно было бы найти цикл: возьмем какой-то проводник, затем возьмем тот проводник, от которого он зависит и т. д.). Значение этого проводника, таким образом, однозначно определяется сигналами на входах. Среди оставшихся проводников также нет цикла, поэтому можно найти один из них, зависящий только от уже известных, и определить его значение. Перенумеровав проводники в таком порядке, мы можем записать последовательность присваиваний

в правых частях которых стоят функции из , примененные ко входам и уже найденным значениям. При этом можно считать, что результат схемы есть (все последующие присваивания уже не нужны). Такая программа определяет при известных значениях входов, и тем самым вычисляет некоторую булеву функцию.

Теперь набор булевых функций можно назвать полным, если любая булева функция может быть задана схемой из -элементов (существует программа, ее вычисляющая, при этом в правых частях присваиваний стоят функции из ). Ясно, что это определение полноты равносильно прежнему, то есть возможности записать булеву функцию в виде формулы со связками из (как мы говорили, разница только в том, что один и тот же элемент будет фигурировать в формуле многократно).

Сложностью булевой функции относительно называют минимальный размер схемы из - элементов, вычисляющей функцию . Его обозначают .