Обобщенные автоматы без потери информации

Автоматы, рассматриваемые как преобразователи информации, используются в системах передачи сообщений и выполняют различные функции, в том числе кодирования этих сообщений. В последней ситуации принятое получателем закодированное сообщение должно быть однозначно декодировано. В этой главе рассматриваются автоматы, удовлетворяющие этому требованию.

Основополагающие работы в области исследования автоматов, являющихся моделями таких устройств, принадлежат Д. Хаффмену [76] и С. Ивену [74]. В этих работах введены и изучены два класса автоматов, названных соответственно автоматами без потери информации (БПИ-автоматами) и автоматами без потери информации конечного порядка (БПИК-автоматами), которые позволяют однозначно декодировать принятое сообщение. В упомянутых работах исследуемые автоматы предполагались инициальными, т. е. стартующими из известного начального состояния.

В этой лекции предложены обобщения БПИ- и БПИК-автоматов в двух направлениях. Одно из них связано с отказом от предположения об их инициальности, а второе - с исследованием такого рода автоматов со структурированными входными и выходными алфавитами. В последней ситуации восстановление неизвестных входных последовательностей осуществляется не в полном объеме, а на заданном подмножестве компонент структурированного входного символа.

В этом разделе в качестве математической модели ДУ используется слабоинициальный автомат Мили , где - множество его допустимых начальных состояний, причем . Далее предполагается, что входной и выходной алфавиты автомата являются структурированными, т. е. и .

Пусть - последовательность входных символов (входное слово) автомата . Число назовем длиной слова .

Пусть , - натуральные числа, , тогда проекцией по каналам с номерами назовем вектор и будем обозначать ее , а проекцией слова по тем же каналам назовем упорядоченную последовательность и будем обозначать ее .

Рассмотрим следующую задачу. На автомат , находящийся в одном из состояний множества , но неизвестно, в каком именно, подается неизвестное входное слово , и наблюдается реакция автомата на это слово по выходным каналам с номерами , где . Требуется построить эксперимент, проводимый с автоматом после приложения слова , позволяющий распознать проекцию этого слова по каналам с номерами , где .

Автоматы, для которых сформулированная задача может быть решена независимо от входного слова и действительного начального состояния из множества , назовем обобщенными автоматами без потери информации (ОБПИ-автоматами).

Далее, не теряя общности, положим, что и соответственно , т. е. реакция автомата на слово наблюдается по первым выходным каналам, а в каждом символе слова восстановлению подлежат сигналы, поступающие на автомат по первым входным каналам.

Из формулировки задачи следует, что ОБПИ-автоматы должны обладать следующим свойством:

( 3.1)

Отметим, что определенные нами ОБПИ-автоматы в качестве частного случая включают в себя ранее известные БПИ-автоматы, введенные Д. Хаффменом [76], и автоматы существенно без потери информации (СБПИ-автоматы) [9] [43], введенные автором предлагаемой монографии. БПИ-автоматы получаются при , а СБПИ-автоматы получаются при .

Определение 3.1. Пару состояний и автомата назовем состояниями с потерей информации (СПИ-состояниями), если

( 3.2)

Заметим, что если , то приведенное определение совпадает с определением из [76], и в этом случае называется СПИ-состоянием.

Теорема 3.1. Для того чтобы автомат был ОБПИ-автоматом, необходимо и достаточно, чтобы он не имел СПИ-состояний.

Доказательство. Необходимость условий теоремы очевидна, покажем их достаточность.

Пусть условия теоремы выполняются. Предположим, что на вход автомата было подано неизвестное слово , а на первых выходных каналах наблюдалось слово . По таблице переходов-выходов автомата определим пары "состояние - входное слово" , такие, что и , где . Понятно, что среди слов находится и искомое слово.

Пусть . Покажем, что между парами и состояниями существует взаимно однозначное соответствие. Последнее означает, что такое соответствие существует и между и состояниями .

Если все состояния попарно различны, справедливость сформулированного утверждения очевидна. Предположим, что среди состояний имеется по крайней мере два совпадающих. Без ограничения общности можно считать, что . Из последнего равенства следует, что . По построению пары и различны, что возможно только в следующих трех случаях:

1. 
2. 
3. .

В первом случае состояние является по определению СПИ-состоянием, что противоречит нашему предположению. Во втором случае пара состояний и является по определению СПИ-состояниями, что также противоречит нашему предположению. Таким образом, в действительности может иметь место только третий случай, когда у двух входных слов и их проекции по каналам совпадают. Это и доказывает справедливость утверждения о существовании взаимно однозначного соответствия между и состояниями .

Продолжим доказательство теоремы. Предположим, что среди состояний все попарно различные состояния образуют множество , где . Рассматривая в качестве множества допустимых начальных состояний автомата , построим для него установочную последовательность . Обозначим через состояние, в которое перейдет автомат после подачи слова , а выходную последовательность, которую он выдает при этом, обозначим через . Если пара порождается только из одного состояния множества (этот факт легко установить по таблице переходов-выходов автомата ), тогда, очевидно, существует взаимно однозначное соответствие между заключительным состоянием и состоянием , между и и, наконец, между и . В силу сказанного, знание заключительного состояния позволяет однозначно восстановить проекцию неизвестного входного слова, поданного на автомат , по каналам с номерами .

Если пара порождается из двух различных состояний множества , например и , то им взаимно однозначно соответствуют состояния и , последним - состояния и из множества , а состояниям и , в свою очередь, взаимно однозначно соответствуют входные слова и . В силу выполненных выше построений имеем следующие равенства:

Если входные слова и таковы, что , то искомая проекция восстанавливается однозначно. Если же выписанные только что проекции различны, то это означает, что пара состояний и является СПИ-состояниями. Этот факт противоречит условию теоремы.

Заметим, что аналогичные рассуждения справедливы и для случая, когда пара порождается более чем из двух состояний.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы фактически содержит алгоритм распознавания проекции неизвестного входного слова по заданному множеству каналов, который сформулируем в явном виде.

1. Наблюдаем проекцию выходного слова автомата по каналам , являющуюся реакцией на подачу неизвестного входного слова . По таблице переходов-выходов автомата определяем все пары "состояние - входное слово" , такие, что и , где .
2. Строим установочную последовательность , считая множеством допустимых начальных состояний автомата множество всех попарно различных состояний из совокупности состояний .
3. Подаем на вход автомата слово и наблюдаем выходное слово . По паре определяем заключительное состояние автомата и все те состояния , которые этой парой порождаются.

Из множества пар выделяем все те его элементы, для которых . Если этот элемент один, то проекция второго члена выделенной пары по каналам и есть искомое входное слово. Если число таких элементов больше двух, то у них упомянутые проекции вторых членов пар совпадают и являются искомым входным словом.

Рассмотрим пример. Пусть ОБПИ-автомат задан графом на рис.3.1. Условимся, что для наблюдения реакции выделен 1-й выходной канал автомата (по нему выдается левый символ выходной пары) и проекция неизвестного входного слова восстанавливается по 1-му входному каналу, т. е. . Пусть , на автомат подано неизвестное входное слово длиной 3, а по 1-му выходному каналу при этом наблюдалась реакция 0,1,1. Строим последовательность пар "состояние - входное слово", упомянутую в пункте 1 алгоритма: (1;10,00,10), (1;10,00,11), (1;10,00,00), (1;10,00,11), (1;10,01,10), (1;10,01,11), (1;10,01,00), (1;10,01,10), (1;11,00,10), (1;11,00,11), (1;11,00,00), (1;11,00,10), (1;11,01,10), (1;11,01,11), (1;11,01,00), (1;11,01,10), (2;10,10,10), (2;10,10,11), (2;10,11,10), (2;10,11,11), (2;11,10,10), (2;11,10,11), (2;11,11,10), (2;11,11,11).

Рис. 3.1.