НОУ ИНТУИТ | Исследование операций и модели экономического поведения. Лекция 16: Дележ, отвечающий аксиомам Нэша

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: платный | Студентов: 0 / 0 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00

ISBN: 978-5-9556-0072-7

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Единственность дележа, удовлетворяющего аксиомам Нэша. Сделки с побочными платежами.

Теорема 3.1. Существует единственная функция $\varphi$ из (14.18), определенная для всех задач о сделках, задаваемых тройками (S,u^*,v^*) и удовлетворяющих аксиомам (14.15)-(14.17), (14.19), (14.21), (14.22). При этом предполагается, что хотя бы для одной пары (u,v) из замкнутого, ограниченного и выпуклого множества S, входящего в определение задачи, справедливо (может быть нестрогое) доминирование

$(u,v) \ge (u^\ast, v^\ast).$

( 15.1)

Доказательство теоремы опирается на следующие леммы.

Лемма 3.1. Если множество S содержит точку (u,v), такую, что

$u > u^\ast,\quad v > v^\ast,$

( 15.2)

т.е. если доминирование (15.1) является строгим, то функция

$g(u,v) = (u - u^\ast)(v - v^\ast)$

( 15.3)

достигает максимума на множестве

$S_0 = \{(u,v) \in S\colon u \ge u^\ast\}$

( 15.4)

в единственной точке $(u^\circ, v^\circ)$ .

Доказательство Поскольку функция (15.3) является непрерывной, а непустое множество (15.4) - ограниченным и замкнутым, то существует максимум

$g(u^\circ, v^\circ) = \max \{g(u,v)\colon (u,v) \in S_0\} > 0.$

( 15.5)

Правое неравенство в (15.5) является следствием условий (15.2) и определений (15.3), (15.4).

Допустим, что существует еще одна точка (u',v'), максимизирующая функцию g на S₀. Тогда

$(u' - u^\ast)(v' - v^\ast) = (u^\circ - u^\ast)(v^\circ - v^\ast),$

( 15.6)

откуда, учитывая (15.2), получаем отношение:

$\frac{u^\circ - u^\ast}{u' - u^\ast} = \frac{v' - v^\ast}{v^\circ - v^\ast}.$

Поскольку точки $(u^\circ, v^\circ)$ и (u', v') являются (по предположению) различными, то из (15.6) вытекают следствия:

$\begin{gathered} u' < u^\circ \to v' > v^\circ,\\ u' > u^\circ \to v' < v^\circ. \end{gathered}$

( 15.7)

Из выпуклости множества S₀ следует справедливость включения

$(\tilde{u}, \tilde{v}) = (\frac{1}{2}(u' + u^\circ), \frac{1}{2}(v' + v^\circ))\in S_0.$

Покажем, что для точки $(\tilde{u}, \tilde{v})$ имеет место неравенство

$g(\tilde{u}, \tilde{v}) > g(u^\circ, v^\circ),$

( 15.8)

противоречащее определению точки $(u^\circ, v^\circ)$ из (15.5), что доказывает единственность точки максимума функции g. Действительно,

$\begin{gathered} g(\tilde{u}, \tilde{v}) = \frac{1}{4}\left[(u' - u^\ast) + (u^\circ - u^\ast)\right]\left[(v' - v^\ast) + (v^\circ - v^\ast)\right]=\\ = \frac{1}{2}(u' - u^\ast)(v' - v^\ast) + \frac{1}{2}(u^\circ - u^\ast)(v^\circ - v^\ast) + \frac{1}{4}(u^\circ - u')(v' - v^\circ), \end{gathered}$

откуда, согласно (15.6) и (15.7), следует справедливость утверждения (15.8), противоречащего (15.5).

В дальнейшем мы покажем, что условия (15.5) определяют функцию $\varphi$ из (14.18), и опишем графический прием для определения аргумента $(u^\circ, v^\circ)$ из левой части (15.5).

Лемма 3.2. Пусть выполняются условия (15.2) и точка $(u^\circ, v^\circ)$ удовлетворяет определению (15.5). Тогда множество лежит под прямой линией, определяемой уравнением

$h(u,v) = h(u^\circ,v^\circ),$

( 15.9)

$h(u,v) = (v^\circ - v^\ast)u + (u^\circ - u^\ast)v,$

( 15.10)

и касающейся множества S в точке $(u^\circ, v^\circ)$ , т.е.

$(\forall (u,v) \in S)\ h(u,v) \le h(u^\circ, v^\circ).$

Доказательство. Допустим, что прямая (15.9) не является опорной для множества S в точке $(u^\circ, v^\circ)$ . Тогда существует такая точка $(u', v')\in S$ , что

$h(u', v') > h(u^\circ, v^\circ).$

( 15.11)

Построим выпуклую линейную комбинацию:

$(\tilde{u},\tilde{v}) = \varepsilon(u', v') + (1 - \varepsilon)(u^\circ, v^\circ),\quad 0 \le \varepsilon \le 1,$

которая принадлежит множеству

в силу его выпуклости. Поскольку $(\tilde{u}, \tilde{v}) \to ({u}^\circ, v^\circ)$ при $\varepsilon \to 0$ и, согласно правому неравенству в (15.5), $u^\circ > u^\ast$ , то при достаточно малых значениях $\varepsilon > 0$ справедливо включение $(\tilde{u}, \tilde{v}) \in S_0$ .

Теперь покажем, что при достаточно малых значениях $\varepsilon > 0$ имеет место неравенство $g(\tilde{u}, \tilde{v}) > g(u^\circ, v^\circ)$ , противоречащее определению (15.5). Действительно,

$\begin{multiline*} g(\tilde{u}, \tilde{v}) = [u^\circ + \varepsilon(u' - u^\circ) - u^\ast] [v^\circ + \varepsilon(v' - v^\circ) - v^\ast]) =\\ = (u^\circ - u^\ast)(v^\circ - v^\ast) + \varepsilon^2(u' - u^\circ)(v' - v^\circ) + \\ +\varepsilon[(v^\circ - v^\ast) (u' - u^\circ) + (u^\circ - u^\ast)(v' - v^\circ)], \end{multiline*}$

где, согласно (15.11), коэффициент при $\varepsilon$ является положительным, а член, содержащий $\varepsilon^2$ , - пренебрежимо малым при $\varepsilon \to 0$ . Следовательно, прямая линия (15.9) является опорной к множеству S в точке $(u^\circ, v^\circ)$ .

Дальше >>

Авторизоваться

Исследование операций и модели экономического поведения

Дележ, отвечающий аксиомам Нэша

Вопросы и ответы