Проект "Компилятор формул"

В данном параграфе изучаются простейшие вопросы теории компиляции, рассматриваются языки простейших арифметических формул и стекового калькулятора, а также задача автоматического перевода с первого на второй.

Первым вариантом компилятора — средства для автоматического перевода программ, является рекурсивный компилятор формул — достаточно простой, но обладающий рядом недостатков.

Другой, значительно более общий подход к решению этой задачи, осуществляется во втором программном проекте — стековом компиляторе формул. Этот проект, кроме реализации компилятора, предусматривает также и реализацию интерпретатора арифметических формул. Исходные тексты упомянутых программ в значительной мере оптимизированы, а для облегчения работы над проектами используется утилита make.

Дополнительная информация о различных подходах к реализации компиляторов может быть найдена в книге [9].

Стековый калькулятор

Стековый калькулятор, как это следует из его названия, представляет из себя некоторый объект, использующий хорошо известный нам контейнер — стек. С формальной точки зрения стековый калькулятор — это класс, реализующий следующий интерфейс.

Интерфейс стекового калькулятора

interface StackCalc {
    // Добавить число в стек.
    void    push(int val);
    // Сложить.
    int     add() throws Exception;
    // Вычесть.
    int     sub() throws Exception;
    // Умножить.
    int     mul() throws Exception;
    // Разделить.
    int     div() throws Exception;
    // Показать вершину стека.
    int     top() throws Exception;
}

Методы push и top хорошо известны и комментариев не требуют, а семантика остальных четырех такова: из стека извлекаются (с помощью метода pop ) два верхних числа, над ними выполняется указанная в названии метода арифметическая операция, а результат кладется обратно в стек (с помощью метода push ). При этом в качестве первого аргумента арифметической операции берется тот из двух извлеченных элементов, который был положен в стек раньше другого. Если в момент вызова одного из этих четырех методов глубина стека меньше двух, возникает исключительная ситуация. При реализации данного интерфейса на базе ограниченного вектора выполнение метода push также может привести к исключительной ситуации, связанной с переполнением стека.

Стековый калькулятор можно использовать для вычисления значений различных арифметических выражений типа . Нужно только написать предварительно программу для вычисления значения.

С целью сокращения длины подобной программы будем записывать последовательность вызываемых методов в строку, разделяя их просто пробелом. Названия методов арифметических операций заменим на соответствующие им знаки действий ( +, -, * и / ), вместо вызова метода push с аргументом val будем записывать только его аргумент, а завершающий любую программу вызов метода top вообще включать в такую сокращенную запись программы не будем.

Рис. 12.1. Выполнение программы 5 7 8 + * 25 +

С использованием этих сокращений программа для вычисления выражения примет вид 5 7 8 + * 25 +. Рисунок 12.1 показывает последовательность состояний стека стекового калькулятора при выполнении этой программы.

В рассмотренном примере программа для стекового калькулятора была написана по исходной формуле нами. Основной задачей этого параграфа является реализация компилятора — программы, которая сможет осуществлять преобразование формулы в программу для калькулятора автоматически.

С формальной точки зрения компилятор представляет собой программную реализацию некоторой функции , действующей из множества цепочек одного языка (в рассматриваемом случае это язык арифметических формул) в множество цепочек другого (язык программ стекового калькулятора) таким образом, что семантика цепочек и совпадает. Говоря другими словами, компилятор (часто называемый также транслятором ) реализует перевод с одного языка на другой с сохранением смысла.

Напомним некоторые важнейшие определения, связанные с языками и грамматиками, которые были рассмотрены в "Высказывания и предикаты" .

Пусть — некоторый алфавит, — метаалфавит, т.е. какой-то другой алфавит, не пересекающийся с ( ). Элементы метаалфавита называются метасимволами. Грамматикой называется набор ( ), где — множество символов, — множество метасимволов, — множество правил вывода вида: , где — какой-то метасимвол, — произвольная цепочка над объединением двух алфавитов, и для каждого встречается хотя бы одно правило с в левой части (до стрелочки), а — так называемый стартовый метасимвол.

Содержательно каждое правило грамматики имеет смысл подстановки. Например, строка означает возможность замены метасимвола на цепочку . Начав со стартового символа и пользуясь различными правилами грамматики, мы можем получать различные цепочки из символов, которые называются выводимыми цепочками.

Заметим, что если в цепочке встречается метасимвол, то ее можно преобразовать дальше, применив одно из правил грамматики с этим метасимволом в левой части. Если же метасимволов в цепочке не осталось, то процесс ее преобразования закончен и больше с цепочкой ничего сделать нельзя. По этой причине обычные символы (из алфавита ) часто называют терминалами, а метасимволы (из ) — нетерминалами.

Языком , порожденным грамматикой , называется множество всех терминальных выводимых цепочек.

Для задания грамматики часто используют очень наглядную форму представления, называемую нормальной формой Бэкуса-Наура (НФБН). Набор правил задают при этом в виде совокупности правил со стрелочками, перечисляющими все возможные цепочки, на которые может быть заменен каждый из метасимволов грамматики в процессе вывода, а стартовым метасимволом считается тот, который присутствует в левой части самого первого правила.

Возьмем в качестве алфавита множество, состоящее из четырех знаков арифметических операций ( , , и ) и 26-и идентификаторов от до , которыми будут обозначаться произвольные целые числа: .

Тогда язык будет представлять из себя все возможные программы для стекового калькулятора, включая и неправильные. Например, пустая цепочка означает вызов единственного метода pop, что приведет к возникновению исключительной ситуации. Принадлежащая этому языку цепочка 2 + также соответствует некорректной программе, ибо в момент вызова метода add в стеке будет содержаться только один элемент.

Для описания языка правильных программ для стекового калькулятора можно воспользоваться следующей грамматикой .

Именно язык мы и будем рассматривать, как язык правильных программ для стекового калькулятора.