Опубликован: 19.09.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 656 / 70 | Оценка: 4.50 / 5.00 | Длительность: 21:25:00
Лекция 17:

Массивы

< Лекция 16 || Лекция 17 || Лекция 18 >
Аннотация: А в этой лекции мы рассмотрим с вами уже сами массивы. Попробуем создать свой первый массив на Haskell'e и рассмотрим библиотеку Array

module  Array ( 
        module Ix,  - экспортирует весь Ix в целях удобства
        Array, array, listArray, (!), bounds, indices, elems, assocs, 
        accumArray, (//), accum, ixmap ) where

import Ix

infixl 9  !, //

data  (Ix a)    => Array a b = ... - Абстрактный

array           :: (Ix a) => (a,a) -> [(a,b)] -> Array a b
listArray       :: (Ix a) => (a,a) -> [b] -> Array a b
(!)             :: (Ix a) => Array a b -> a -> b
bounds          :: (Ix a) => Array a b -> (a,a)
indices         :: (Ix a) => Array a b -> [a]
elems           :: (Ix a) => Array a b -> [b]
assocs          :: (Ix a) => Array a b -> [(a,b)]
accumArray      :: (Ix a) => (b -> c -> b) -> b -> (a,a) -> [(a,c)]
                             -> Array a b
(//)            :: (Ix a) => Array a b -> [(a,b)] -> Array a b
accum           :: (Ix a) => (b -> c -> b) -> Array a b -> [(a,c)]
                             -> Array a b
ixmap           :: (Ix a, Ix b) => (a,a) -> (a -> b) -> Array b c
                             -> Array a c

instance                            Functor (Array a) where ...
instance  (Ix a, Eq b)           => Eq   (Array a b)  where ...
instance  (Ix a, Ord b)          => Ord  (Array a b)  where ...
instance  (Ix a, Show a, Show b) => Show (Array a b)  where ...
instance  (Ix a, Read a, Read b) => Read (Array a b)  where ...

Haskell обеспечивает индексируемые массивы, которые можно рассматривать как функции, чьи области определения изоморфны соприкасающимся подмножествам целых чисел. Функции, ограниченные таким образом, можно эффективно реализовать; в частности, программист может ожидать разумно быстрого доступа к компонентам. Чтобы гарантировать возможность такой реализации, массивы обрабатываются как данные, а не как обычные функции.

Так как большинство функций массива затрагивают класс Ix, этот модуль экспортируется из Array, чтобы не было необходимости модулям импортировать и Array, и Ix.

16.1. Создание массивов

Если a -- тип индекса, а b -- любой тип, тип массивов с индексами в a и элементами в b записывается так: Array a b. Массив может быть создан с помощью функции array. Первым аргументом array является пара границ, каждая из которых имеет тип индекса массива. Эти границы являются соответственно наименьшим и наибольшим индексами в массиве. Например, вектор с началом в 1 длины 10 имеет границы (1,10), а матрица 10 на 10 с началом в 1 имеет границы ((1,1),(10,10)).

Вторым аргументом array является список ассоциаций вида (индекс, значение). Обычно этот список выражен в виде описания элементов. Ассоциация (i, x) определяет, что значением массива по индексу i является x. Массив не определен (т.е. \perp ), если какой-нибудь индекс в списке находится вне границ. Если какие-нибудь две ассоциации в списке имеют один и тот же индекс, значение по этому индексу не определено (т.е. \perp ). Так как индексы должны быть проверены на наличие этих ошибок, array является строгим по аргументу границ и по индексам списка ассоциаций, но не является строгим по значениям. Таким образом, возможны такие рекуррентные отношения:

a = array (1,100) ((1,1) : [(i, i * a!(i-1)) | i <- [2..100]])

Не каждый индекс в пределах границ массива обязан появиться в списке ассоциаций, но значения, связанные с индексами, которых нет в списке, будут не определены (т.е. \perp ). На примере 16.1 изображены некоторые примеры, которые используют конструктор array.

- Масштабирование массива чисел с помощью заданного числа:
scale :: (Num a, Ix b) => a -> Array b a -> Array b a
scale x a = array b [(i, a!i * x) | i <- range b]
    where b = bounds a

- Инвертирование массива, который содержит перестановку своих индексов
invPerm :: (Ix a) => Array a a -> Array a a
invPerm a = array b [(a!i, i) | i <- range b]
    where b = bounds a

- Скалярное произведение двух векторов
inner :: (Ix a, Num b) => Array a b -> Array a b -> b
inner v w = if b == bounds w
then sum [v!i * w!i | i <- range b]
else error "массивы не подходят для скалярного произведения"
    where b = bounds v
Листинг 16.1. Примеры массивов

Оператор (!) обозначает доступ к элементам массива по индексу (операция индексации массива). Функция bounds, будучи примененной к массиву, возвращает его границы. Функции indices, elems и assocs, будучи примененными к массиву, возвращают соответственно списки индексов, элементов или ассоциаций в порядке возрастания их индексов. Массив можно создать из пары границ и списка значений в порядке возрастания их индексов, используя функцию listArray.

Если в каком-либо измерении нижняя граница больше чем верхняя граница, то такой массив допустим, но он пуст. Индексация пустого массива всегда приводит к ошибке выхода за границы массива, но bounds по-прежнему сообщает границы, с которыми массив был создан.

16.1.1. Накопленные массивы

Другая функция создания массива, accumArray, ослабляет ограничение, при котором данный индекс может появляться не более одного раза в списке ассоциаций, используя функцию накопления, которая объединяет значения ассоциаций с одним и тем же индексом. Первым аргументом accumArray является функция накопления; вторым -- начальное значение; оставшиеся два аргумента являются соответственно парой границ и списком ассоциаций, как и для функции array. Например, при заданном списке значений некоторого типа индекса, hist создает гистограмму числа вхождений каждого индекса в пределах указанного диапазона:

hist :: (Ix a, Num b) => (a,a) -> [a] -> Array a b
hist bnds is = accumArray (+) 0 bnds [(i, 1) | i <-is, inRange bnds i]

Если функция накопления является строгой, то accumArray является строгой в отношении значений, также как и в отношении индексов, в списке ассоциаций. Таким образом, в отличие от обычных массивов, накопленные массивы не должны быть в общем случае рекурсивными.

16.2. Добавочные обновления массивов

Оператор (//) принимает в качестве аргументов массив и список пар и возвращает массив, идентичный левому аргументу, за исключением того, что он обновлен ассоциациями из правого аргумента. (Как и с функцией array, индексы в списке ассоциаций должна быть уникальны по отношению к обновляемым элементам, которые определены.) Например, если m -- матрица n на n с началом в 1, то m//[((i,i), 0) | i <- [1..n]] -- та же самая матрица, у которой диагональ заполнена нулями.

accum f принимает в качестве аргументов массив и список ассоциаций и накапливает пары из списка в массив с помощью функции накопления f. Таким образом, accumArray можно определить через accum:

accumArray f z b = accum f (array b [(i, z) | i <- range b])

16.3. Производные массивы

Функции fmap и ixmap получают новые массивы из существующих; их можно рассматривать как обеспечение композиции функций слева и справа соответственно, с отображением, которое реализует исходный массив. Функция fmap преобразовывает значения массива, в то время как ixmap позволяет выполнять преобразования на индексах массива. На примере 16.2 изображены некоторые примеры.

- Прямоугольный подмассив
subArray :: (Ix a) => (a,a) -> Array a b -> Array a b
subArray bnds = ixmap bnds (\i->i)

- Строка матрицы
row :: (Ix a, Ix b) => a -> Array (a,b) c -> Array b c
row i x = ixmap (l',u') (\j->(i,j)) x where ((_,l'),(_,u')) = bounds x

- Диагональ матрицы (матрица предполагается квадратная)
diag :: (Ix a) => Array (a,a) b -> Array a b
diag x = ixmap (l,u) (\i->(i,i)) x
       where 
         ((l,_),(u,_)) = bounds x

- Проекция первых компонент массива пар
firstArray :: (Ix a) => Array a (b,c) -> Array a b
firstArray = fmap (\(x,y)->x)
Листинг 16.2. Примеры производных массивов

16.4. Библиотека Array

module  Array ( 
    module Ix,  - экспортировать весь Ix 
    Array, array, listArray, (!), bounds, indices, elems, assocs, 
    accumArray, (//), accum, ixmap ) where

import Ix
import List( (\\) )

infixl 9  !, //

data (Ix a) => Array a b = MkArray (a,a) (a -> b) deriving ()

array       :: (Ix a) => (a,a) -> [(a,b)] -> Array a b
array b ivs =
    if and [inRange b i | (i,_) <- ivs]
        then MkArray b
                     (\j -> case [v | (i,v) <- ivs, i == j] of
                            [v]   -> v
                            []    -> error "Array.!: \
                                           \неопределенный элемент массива"
                            _     -> error "Array.!: \
                                           \множественно определенный элемент массива")
        else error "Array.array: ассоциация массива находится за пределами диапазона"

listArray             :: (Ix a) => (a,a) -> [b] -> Array a b
listArray b vs        =  array b (zipWith (\ a b -> (a,b)) (range b) vs)

(!)                   :: (Ix a) => Array a b -> a -> b
(!) (MkArray _ f)     =  f

bounds                :: (Ix a) => Array a b -> (a,a)
bounds (MkArray b _)  =  b

indices               :: (Ix a) => Array a b -> [a]
indices               =  range . bounds

elems                 :: (Ix a) => Array a b -> [b]
elems a               =  [a!i | i <- indices a]

assocs                :: (Ix a) => Array a b -> [(a,b)]
assocs a              =  [(i, a!i) | i <- indices a]

(//)                  :: (Ix a) => Array a b -> [(a,b)] -> Array a b
a // new_ivs          = array (bounds a) (old_ivs ++ new_ivs)
                      where
                   old_ivs = [(i,a!i) | i <- indices a,
                                             i `notElem` new_is]
                   new_is  = [i | (i,_) <- new_ivs]

accum                 :: (Ix a) => (b -> c -> b) -> Array a b -> [(a,c)]
                                   -> Array a b
accum f               =  foldl (\a (i,v) -> a // [(i,f (a!i) v)])

accumArray            :: (Ix a) => (b -> c -> b) -> b -> (a,a) -> [(a,c)]
                                   -> Array a b
accumArray f z b      =  accum f (array b [(i,z) | i <- range b])

ixmap                 :: (Ix a, Ix b) => (a,a) -> (a -> b) -> Array b c
                                         -> Array a c
ixmap b f a           = array b [(i, a ! f i) | i <- range b]

instance  (Ix a)          => Functor (Array a) where
    fmap fn (MkArray b f) =  MkArray b (fn . f) 

instance  (Ix a, Eq b)  => Eq (Array a b)  where
    a == a' =  assocs a == assocs a'

instance  (Ix a, Ord b) => Ord (Array a b)  where
    a <= a' =  assocs a <= assocs a'

instance  (Ix a, Show a, Show b) => Show (Array a b)  where
    showsPrec p a = showParen (p > arrPrec) (
                    showString "array " .
                    showsPrec (arrPrec+1) (bounds a) . showChar ' ' .
                    showsPrec (arrPrec+1) (assocs a)                  )

instance  (Ix a, Read a, Read b) => Read (Array a b)  where
    readsPrec p = readParen (p > arrPrec)
           (\r -> [ (array b as, u) 
                  | ("array",s) <- lex r,
                    (b,t)       <- readsPrec (arrPrec+1) s,
                    (as,u)      <- readsPrec (arrPrec+1) t ])

- Приоритет функции 'array' -- тот же, что и приоритет самого применения функции
arrPrec = 10
< Лекция 16 || Лекция 17 || Лекция 18 >
Николай Щербаков
Николай Щербаков
Россия, Москва
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига