Индукция и комбинаторика

Принцип включения и исключения

Во многих ситуациях для подсчета числа объектов, обладающих тем или иным набором свойств, используется следующий принцип включения и исключения.

Пусть имеется N объектов, каждый из которых может обладать или не обладать одним или несколькими свойствами p₁,p₂,... , p_n. Через p_i' будем обозначать свойство, дополнительное к свойству p_i, т.е. , если объект не обладает свойством p_i, то он обладает свойством p_i' . Через при j=1,...,k, обозначим число объектов, обладающих свойствами q₁,...,q_k. Например, N(p₁, p₃', p₄) - это число объектов, обладающих свойствами p₁ и p₄ и не обладающих свойством p₃.

Теорема 2.5. Число объектов, не обладающих ни одним из свойств p₁,... , p_n равно

Доказательство проведем индукцией по числу свойств n.

Базис индукции. При n=1 очевидно, что N(p₁') = N - N(p₁).

Шаг индукции. Предположим, что для k свойств p₁,p₂,... , p_k теорема справедлива, т.е.

Применяя это соотношение ко множеству из N(p_k+1) объектов, обладающих свойством p_k+1, находим

Вычитая последнее равенство из предыдущего, получаем утверждение теоремы при n=k+1 (заметим, что N(p₁', ... , p_k') - N(p₁', ... , p_k',p_{k+1})=N(p₁', ... , p_k',p_k+1') ).

В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Пример 2.2. В студенческой группе 25 студентов. Из них 15 знают язык Паскаль, 10 - язык Си и 14 - язык Бэйсик. Кроме того, 7 студентов знают Паскаль и Си, 10 студентов - Паскаль и Бэйсик, 8 студентов - Си и Бэйсик, а 5 студентов знают все три языка. Сколько студентов не знают ни одного из трех языков программирования?

Обозначив через p₁ - свойство "знать Паскаль", через p₂ - свойство "знать Си" и через p₃ - свойство "знать Бэйсик", мы можем записать данные задачи следующим образом: N = 25, N(p₁)=15, N(p₂) = 10, N(p₃)=14, N(p₁,p₂)=7, N(p₁,p₃)=10, N(p₂,p₃)=8, N(p₁,p₂,p₃)=5. Тогда по формуле включения и исключения число студентов, не знающих ни одного языка программирования, равно N(p₁',p₂',p₃')= 25 -(15 +10 +14) +(7+10+8)-5 = 6.

Задачи

Задача 2.6. Докажите формулу бинома Ньютона, используя метод математической индукции.

Задача 2.7. Доказать тождества:

1. 
2. .

Задача 2.8. Доказать, что

Задача 2.9. Докажите, что число упорядоченных разбиений n -элементного множества на k подмножеств, первое из которых содержит n₁ элементов, второе - n₂ элементов,..., k -ое - n_k элементов, равно

Задача 2.10. Преподаватель рассчитывает читать один и тот же курс в течение 20 лет. Чтобы не наскучить студентам, он решил рассказывать им каждый год 3 анекдота и не повторять никакие два года одни и те же три анекдота. Каково минимальное число анекдотов, которые он должен приготовить?

Задача 2.11. На острове N живет племя туземцев, у которых набор зубов во рту состоит из 30 зубов. При этом на острове нет двух жителей с одинаковыми наборами зубов. Может ли на острове N быть больше жителей чем в

а) Торжке? б) Твери? в) Москве? г) России? д) всем мире?

Задача 2.12. Доказать тождество Коши:

Указание: покажите, что обе части этого равенства задают количество вариантов выбора k человек из группы, состоящей из n женщин и m мужчин.

Задача 2.13. Докажите, что число способов, которыми можно породить k -элементное множество с повторениями, имея n разных элементов, например, 1, 2,..., n, из которых каждый может использоваться произвольное число раз, равно C_n+k-1^k. (Например, при n=5, k=4 множество { 1,2,1,3} равно множеству {3,1,1,2} и не равно множеству {1, 2,2,3} ).

Задача 2.14. В кондитерском магазине продаются 4 сорта пирожных: заварные, песочные, "картошка" и бисквитные. Сколькими способами можно купить 6 пирожных?

Задача 2.15. Назовем два исхода первенства России по футболу совпадающими в главном, если в этих исходах совпадают обладатели золотых, серебренных и бронзовых медалей, а также две команды, покидающие премьер-лигу (т.е. занявшие два последних места). Найдите число различных в главном исходов (напомним, что в первенстве участвуют 16 команд).

Задача 2.16. За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Каждый из них враждует со своими соседями. Нужно выбрать 5 рыцарей, чтобы освободить принцессу. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных рыцарей не оказалось врагов?

Решите эту задачу в случае, когда из n рыцарей за столом нужно выбрать k рыцарей.

Задача 2.17. Установите принцип включения и исключения в теоретико-множественной форме. Пусть A₁,..., A_n - это подмножества некоторого конечного множества X. Тогда

Задача 2.18. Сколько чисел в первой сотне не делится ни на одно из чисел 2, 3, 5? А в первой тысяче чисел?

Задача 2.19. Сколько целочисленных решений имеет система:

Задача 2.20. Найти число перестановок из n -элементов, при которых ни один элемент не остается в первоначальном положении.