Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Разложение многочленов на неприводимые множители по модулю p. Лемма Гензеля
Пример вычисления матрицы Q и нахождения ее нуль- пространства.
Данный пример взят из монографии Кнута [ 9 ] .
Пусть
![u(x) = x^8+ x^6+10x^4+ 10x^3+8x^2+2x+8, \quad
p = 13.](/sites/default/files/tex_cache/c278dab04f83aaf038e0ddcd71f908f1.png)
![НОД(u(x),u'(x))=1.](/sites/default/files/tex_cache/60806342652b72e70a55f51e4fe81579.png)
![u(x)](/sites/default/files/tex_cache/3bcb9e96da63c9cdc1e56647c2071688.png)
![x^0\equiv
1\pmod{u(x)}](/sites/default/files/tex_cache/19530048ffd48ba5505d61df78bc2ad7.png)
![\EuScript Q](/sites/default/files/tex_cache/77ea997c773c8ebf50679b5639234455.png)
![(1, 0,\dots,
0)](/sites/default/files/tex_cache/12a15e6ce03cf8f070b3e43299fa4392.png)
![x^{13}\pmod{u(x)}](/sites/default/files/tex_cache/57447fd3d95a2c5016390a820d0948ad.png)
![\begin{matrix}
k&a_{k,7}&a_{k,6}&a_{k,5}&a_{k,4}&a_{k,3}&a_{k,2}&a_{k,1}&a_{k,0} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\\
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0
\\
3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0
\\
4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\\
5 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\
6 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\
7 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\
8 & 0 & 12 & 0 & 3 & 3 & 5 & 11 & 5
\\
9 & 12 & 0 & 3 & 3 & 5 & 11 & 5 & 0
\\
10 & 0 & 4 & 3 & 2 & 8 & 0 & 2 & 8
\\
11 & 4 & 3 & 2 & 8 & 0 & 2 & 8 & 0
\\
12 & 3 & 11 & 8 & 12 & 1 & 2 & 5 & 7
\\
13 & 11 & 5 & 12 & 10 & 11 & 7 & 1 & 2
\end{matrix}](/sites/default/files/tex_cache/33267df4a0ed46cccf31268938ac5807.png)
Получили вторую строку матрицы , записанную в обратном
порядке. Продолжая подобным образом, получим остальные строки
матрицы
:
![\EuScript Q=\begin{bmatrix}
1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\
2& 1& 7& 11& 10& 12& 5& 11 \\
3& 6& 4& 3& 0& 4& 7& 2 \\
4& 3& 6& 5& 1& 6& 2& 3 \\
2& 11& 8& 8& 3& 1& 3& 11 \\
6& 11& 8& 6& 2& 7& 10& 9 \\
5& 11& 7& 10& 0& 11& 7& 12 \\
3& 3& 12& 5& 0& 11& 9& 12
\end{bmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/5d9391f366bdf6524fb3d75f2a2e23f8.png)
Вычитая единичную матрицу, получим
![\EuScript Q-\EuScript I=\begin{bmatrix}
0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\
2& 0& 7& 11& 10& 12& 5& 11 \\
3& 6& 3& 3& 0& 4& 7& 2 \\
4& 3& 6& 4& 1& 6& 2& 3 \\
2& 11& 8& 8& 2& 1& 3& 11 \\
6& 11& 8& 6& 2& 6& 10& 9 \\
5& 11& 7& 10& 0& 11& 6& 12 \\
3& 3& 12& 5& 0& 11& 9& 11
\end{bmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/a8670e518e71dc4d525fca48f51bcefb.png)
Переходим к нахождению нуль-пространства.
. Первая строка нулевая, таким образом,
получаем собственный вектор
.
. В качестве допустимого значения
можно взять
любое
(напомним, что нумерация
столбцов начинается с 0). Удобно взять
, т.к.
. Прибавляя к
-му
столбцу
-ый столбец, умноженный на
,
,
получим
![\vad \begin{bmatrix}
0& 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0& 0& 0 & 0 & 0 &12 & 0 & 0 \\
11& 6& 5 & 8 & 1 & 4 & 1 & 7 \\
3& 3& 9 & 5 & 9 & 6 & 6 & 4 \\
4& 11& 2 & 6 &12 & 1 & 8 & 9 \\
5& 11& 11 & 7 &10 & 6 & 1 &10 \\
1& 11& 6 & 1 & 6 &11 & 9 & 3 \\
12& 3& 11 & 9 & 6 &11 &12 & 2
\end{bmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/e7b405dcf119ad223164feb65e4b9c01.png)
Продолжая таким же образом, получим
,
![\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\
0 & 0 & 0& 0& 0& 12& 0& 0 \\
0 & 0 & 0& 0& 12& 0& 0& 0 \\
8 & 1 & 3& 11& 4& 9& 10& 6 \\
2 & 4 & 7& 1& 1& 5& 9& 3 \\
12 & 3 & 0& 5& 3& 5& 4& 5 \\
0 & 1 & 2& 5& 7& 0& 3& 0 \\
11 & 6 & 7& 0& 7& 0& 6& 12
\end{bmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/1ca63e5984d2ac7ff83a39a859c2afcd.png)
,
![\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 12 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
9 & 9 & 8 & 9 & 11 & 8 & 8 & 5 \\
1 & 10 & 4 & 11 & 4 & 4 & 0 & 0 \\
5 & 12 & 12 & 7 & 3 & 4 & 6 & 7 \\
2 & 7 & 2 & 12 & 9 & 11 & 11 & 2
\end{bmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/068b76e4b4f8fbca0a33f08fa84e40d5.png)
,
![\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 12 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 \\
1 & 10 & 4 & 11 & 4 & 4 & 0 & 0 \\
8 & 2 & 6 & 10 & 11 & 11 & 0 & 9 \\
1 & 6 & 4 & 11 & 2 & 0 & 0 & 10
\end{bmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/0b53ac5afdd06d7a07de0f939b9af00f.png)
,
![\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 12 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 \\
12 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
5 & 0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 0 & 9 \\
12 & 9 & 0 & 0 & 11 & 9 & 0 & 10
\end{bmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/a5ad640a38599d52d7a27364635a4155.png)
Таким образом, матрица приведена к ступенчатому виду. Для нахождения
собственных векторов
в качестве свободных параметров выбираем последние две координаты. При этом
получаются векторы и
.
Им соответствуют многочлены
![\begin{align*}
v[2](x) &= x^6+5x^5+9x^4+5x^2+5x, \\
v[3](x) &=x^7+12x^5+10x^4+9x^3+11x^2+9x.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/632ae0af6dc150d14a7d6d9a578f9ee7.png)
Находим . Получаем
![\begin{align*}
НОД(u(x), v[2](x) - 0) &=x^5+5x^4+9x^3+5x+5, \\
НОД(u(x), v[2](x) - 2) &=x^3+8x^2+4x+12.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/f99c5f381e906e517c12736e7e093e8c.png)
![s](/sites/default/files/tex_cache/03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png)
![НОД(u(x),v[2](x)-s) = 1](/sites/default/files/tex_cache/be925b80767d027246bc4084e99c54a4.png)
![\EuScript Q](/sites/default/files/tex_cache/77ea997c773c8ebf50679b5639234455.png)
![r = 3](/sites/default/files/tex_cache/c694e69deebb12a1552579e198a38664.png)
![s = 6](/sites/default/files/tex_cache/e786072b2ec7a22389598b021a092b57.png)
![НОД (v[3](x) - s, x^5+5x^4+9x^3+5x+5)
=x^4+2x^3+3x^2+4x+6,](/sites/default/files/tex_cache/664791156ed33c19fe5578cff9e409a7.png)
![НОД(v[3](x)-s, x^5+5x^4+9x^3+5x+5) = x + 3,](/sites/default/files/tex_cache/55e2444b8550384403e43bb0fea4f178.png)
![s](/sites/default/files/tex_cache/03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png)
![НОД](/sites/default/files/tex_cache/48cc36a88a4d84d82843f6c64fbd7ba0.png)
Таким образом, мы нашли все три неприводимых сомножителя, на которые
исходный многочлен разлагается в поле вычетов по модулю 13.