Линейное пространство строк над полем

Систематическое рассмотрение строки коэффициентов \[ (a_{i1},...,a_{in})\in K^n \] i -го уравнения a_i1x₁+...+a_inx_n=b_i ( i -я строка матрицы A=(a_ij) коэффициентов системы линейных уравнений), строки \[ (a_{i1},...,a_{in},b_i)\in K^{n+1} \] всех коэффициентов i -го уравнения (включая свободный член b_i i -й строки расширенной матрицы A=(a_ij,b_i) системы линейных уравнений), строки \[ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in X\subseteq K^n \] , являющейся решением системы линейных уравнений, с операциями сложения и умножения на элементы из поля K естественно подвело нас к определению линейного пространства строк Kⁿ.

Пусть K - поле (например, K= R - поле действительных чисел). Рассмотрим \[ K^n= \{(\alpha_1,...,\alpha_n)\mid \alpha_i\in K\} \text{ -} \] совокупность всех упорядоченных строк \[ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n) \] длины n элементов \[ \alpha_i \] , i=1,...,n, поля K. На множестве Kⁿ определены следующие операции.

1. Сложение строк (бинарная операция):если \[ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n),\beta=(\beta_1,...,\beta_n)\in K^n, \] то \[ \alpha+\beta=(\alpha_1+\beta_1,...,\alpha_n+\beta_n). \]
2. Для каждого элемента \[ \lambda\in K \] (унарная) операция умножение строк на элемент \[ \lambda\in K \] }: если \[ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n), \] то \[ \lambda\alpha=(\lambda\alpha_1,...,\lambda\alpha_n). \]

Свойства операций

(1.1) Ассоциативность сложения строк: если \[ \alpha,\beta,\gamma\in K^n \] , то \[ (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) \] .

Действительно, на i -м месте в \[ (\alpha+\beta)+\gamma \] и в \[ \alpha+(\beta+\gamma) \] имеем \[ (\alpha_i+\beta_i)+\gamma_i=\alpha_i+(\beta_i+\gamma_i) \] (ассоциативность сложения в поле K ).

(1.2) Коммутативность сложения строк: если \[ \alpha,\beta\in K^n \] , то \[ \alpha+\beta=\beta+\alpha \] .

Действительно, на i -м месте в \[ \alpha+\beta \] и в \[ \beta+\alpha \] имеем \[ \alpha_i+\beta_i=\beta_i+\alpha_i \] (коммутативность сложения в поле K ).

(1.3) Нулевая строка (0,...,0) в Kⁿ является нейтральным элементом для операции сложения в Kⁿ, поскольку \[ (\alpha_1,...,\alpha_n)+(0,...,0)=(\alpha_1,...,\alpha_n) \] для любой строки \[ (\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n \] .

(1.4) Для любой строки \[ \alpha\in K^n \] существует противоположная строка \[ \delta \] такая, что \[ \alpha+\delta=(0,...,0) \] .

Действительно, если \[ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n) \] , то для \[ \delta=(-\alpha_1,...,-\alpha_n) \] ( \[ {}=(-1)\alpha \] ) имеем \[ \alpha+\delta=(0,...,0) \] .

Таким образом, свойства (1.1)-(1.4) означают, что множество строк Kⁿ с операцией сложения строк является коммутативной группой.

(2.1) Если \[ 1\in K \] , \[ \alpha\in K^n \] , то \[ 1\cdot\alpha=\alpha \] .

Действительно, для \[ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n) \] имеем \[ 1\cdot\alpha=(1\alpha_1,...,1\alpha_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)= \alpha \] .

(2.2) Если \[ \lambda_1,\lambda_2\in K \] , \[ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n \] , то \[ \lambda_1(\lambda_2\alpha)=(\lambda_1\lambda_2)\alpha \] .

Действительно, для \[ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n \] на i -м месте в \[ \lambda_1(\lambda_2\alpha) \] и в \[ (\lambda_1\lambda_2)\alpha \] имеем \[ \lambda_1(\lambda_2\alpha_i)=(\lambda_1\lambda_2)\alpha_i \] (ассоциативность умножения в поле K ).

(3.1) Если \[ \lambda\in K \] , \[ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n), \beta=(\beta_1,...,\beta_n)\in K^n \] , то \[ \lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta \] .

Действительно, на i -м месте в \[ \lambda(\alpha+\beta) \] и в \[ \lambda\alpha+\lambda\beta \] имеем \[ \lambda(\alpha_i+\beta_i)=\lambda\alpha_i+\lambda\beta_i \] (дистрибутивность в поле K ).

(3.2) Если \[ \lambda_1,\lambda_2\in K \] , \[ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n \] , то \[ (\lambda_1+\lambda_2)\alpha=\lambda_1\alpha+\lambda_2\alpha \] .

Действительно, на i -м месте в \[ (\lambda_1+\lambda_2)\alpha \] и в \[ \lambda_1\alpha+\lambda_2\alpha \] имеем \[ (\lambda_1+\lambda_2)\alpha_i=\lambda_1\alpha_i+\lambda_2\alpha_i \] (дистрибутивность в поле K ).

Определение 4.1.1. Множество V с операцией сложения и операциями умножения на элементы \[ \lambda \] поля K, удовлетворяющее свойствам (1.1)-(1.4), (2.1), (2.2), (3.1), (3.2), называется линейным пространством над полем K .

Итогом наших проверок является

Теорема 4.1.2. Множество Kⁿ строк длины n элементов поля K с операцией сложения и с операциями умножения на элементы \[ \lambda \] поля K является линейным пространством над полем K.

Определение 4.1.3. Если \[ \alpha_1=(a_{11},...,a_{1n}),...,\alpha_m=(a_{m1},...,a_{mn}) \in K^n, \] то совокупность всех линейных комбинаций строк \[ \alpha_1,...,\alpha_m \] \[ \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle= \biggl\{\,\sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i\mid \lambda_i\in K\biggr\}\subseteq K^n \] называется линейной оболочкой строк \[ \alpha_1,...,\alpha_m \] .

Лемма 4.1.4. Если \[ \alpha_1,...,\alpha_m\in K^n \] , то линейная оболочка \[ \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle \] является линейным пространством (подпространством в линейном пространстве строк Kⁿ ).

Доказательство. Для \[ \lambda_i,\gamma_i\in K \] имеем: \[ \begin{gathe} \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i+ \sum\limits_{i=1}^{m}\gamma_i\alpha_i= \sum\limits_{i=1}^{m}(\lambda_i+\gamma_i)\alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle; \\ 0=\sum\limits_{i=1}^{m}0\cdot \alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle; \\ -\biggl(\,\sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i\biggr)= \sum\limits_{i=1}^{m}(-\lambda_i)\alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle. \end{gathe} \]