Введение в алгебру
[+]
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5308 / 589 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Тема: Математика
Специальности: Математик
Теги: beta, алгебра, алгоритмы, гомоморфизм групп, гомоморфизм группоидов, группоид, изоморфизм группоидов, инъекция, коэффициентами системы, моноид, полугруппа, расширенная матрица, старший коэффициент, элементы
Лекция 7:

Системы линейных уравнений
A
|
версия для печати
< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >

Эквивалентные системы линейных уравнений

Две системы линейных уравнений от одного набора x1,..., xn неизвестных и соответственно из m и p уравнений

\begin{alignat*}{2} & (\textbf{I}) && \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ \dotfill\\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m, \end{array} \right.\\[2mm] & (\textbf{II}) &\quad & \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a'_{11}x_1+...+a'_{1n}x_n=b'_1,\\ \dotfill\\ a'_{p1}x_1+...+a'_{pn}x_n=b'_p \end{array} \right. \end{alignat*}
называются эквивалентными, если их множества решений X_{\textbf{I}} и X_{\textbf{II}} совпадают (т. е. подмножества X_{\textbf{I}} и X_{\textbf{II}} в Kn совпадают, X_{\textbf{I}}=X_{\textbf{II}} ). Это означает, что: либо они одновременно являются пустыми подмножествами X_{\textbf{I}}=\varnothing=X_{\textbf{II}} (т. е. обе системы (I) и (II) несовместны), либо они одновременно непустые X_{\textbf{I}} \ne \varnothing, X_{\textbf{II}} \ne \varnothing и X_{\textbf{I}}=X_{\textbf{II}} (т. е. каждое решение системы I является решением системы II и каждое решение системы II является решением системы I).

Пример 3.2.1.

  1. Любые две несовместные системы от неизвестных x1,...,xn эквивалентны (в этом случае X_1=\varnothing=X_2 ).
  2. Системы
    (\textbf{I})\quad \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} x_1+x_2=1,\\ x_1-x_2=0, \end{array} \right. \qquad (\textbf{II})\quad \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} 2x_1=1,\\ 2x_2=1 \end{array} \right.
    эквивалентны (при K= R ), поскольку
    X_{\textbf{I}}=\left\{\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}= X_{\textbf{II}}.

Метод Гаусса

План алгоритма, предложенного Гауссом, был весьма прост:

  1. применять к системе линейных уравнений последовательно преобразования, не меняющие множество решений (таким образом мы сохраняем множество решений исходной системы), и перейти к эквивалентной системе, имеющей "простой вид" (так называемую ступенчатую форму);
  2. для "простого вида" системы (со ступенчатой матрицей) описать множество решений, которое совпадает с множеством решений исходной системы.

Отметим, что близкий метод "фан-чен" был известен уже в древнекитайской математике.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений (строк матриц)

Определение 3.4.1 (элементарное преобразование 1-го типа). При i\ne k к i -му уравнению системы прибавляется k -е уравнение, умноженное на число c \in K (обозначение: (i)'=(i)+c(k) ; т. е. лишь одно i -е уравнение (i) заменяется на новое уравнение (i)'=(i)+c(k) ). Новое i -е уравнение имеет вид (ai1+cak1)x1+...+(ain+cakn)xn=bi+cbk, или, кратко,

\sum_{j=1}^{n}a_{ij}'x_j=\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}+ca_{kj})x_j=b_i+cb_k=b_i',
т. е. в новом i -м уравнении aij'=aij+cakj, bi'=bi+cbk.

Определение 3.4.2 (элементарное преобразование 2-го типа). При i\ne k i -е и k -е уравнение меняются местами, остальные уравнения не изменяются (обозначение: (i)'=(k), (k)'=(i) ; для коэффициентов это означает следующее: для j=1,...,n

a_{ij}'=a_{kj},\quad b_i'=b_k;\qquad a_{kj}'=a_{ij},\quad b_k'=b_i).

Замечание 3.4.3. Для удобства в конкретных вычислениях можно применять элементарное преобразование 3-го типа: i -е уравнение умножается на ненулевое число 0 \ne c \in K, (i)'=c(i).

Предложение 3.4.4. Если от системы I мы перешли к системе II при помощи конечного числа элементарных преобразований 1-го и 2-го типа, то от системы II можно вернуться к системе I также элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа.

Доказательство.

  1. Если i \ne k и (i)'=(i)+c(k), то (k)'=(k), (i)=(i)'-c(k)=(i)'-c(k)'.
  2. Если i \ne k и (i)'=(k), (k)'=(i), то (i)=(k)', (k)=(i)'.

Замечание 3.4.5. Утверждение верно и с включением в число элементарных преобразований элементарного преобразования 3-го типа. Если 0 \ne c \in K и (i)'=c(i), то 0 \ne c^{-1} \in K и (i)=c-1(i)'.

Теорема 3.4.6.После последовательного применения конечного числа элементарных преобразований 1-го или 2-го типа к системе линейных уравнений получается система линейных уравнений, эквивалентная первоначальной.

Доказательство. Заметим, что достаточно рассмотреть случай перехода от системы I к системе II при помощи одного элементарного преобразования и доказать для множеств решений включение X_{\textbf{I}} \subseteq X_{\textbf{II}} (поскольку в силу доказанного предложения от системы II можно вернуться к системе I и поэтому будем иметь включение X_{\textbf{II}} \subseteq X_{\textbf{I}}, т. е. будет доказано равенство X_{\textbf{I}}=X_{\textbf{II}} ).

Случай 1, элементарное преобразование 1-го типа: (i)'=(i)+c(k), i \ne k. Пусть l=(l_1,...,l_n)\in X_{\textbf{I}} - решение первой системы. Проверим, что оно удовлетворяет новому i -му уравнению:

\sum_{j=1}^n(a_{ij}+ca_{kj})l_j=b_i+cb_k.
Действительно,
\sum_{j=1}^n(a_{ij}+ca_{kj})l_j= \sum^n_{j=1}a_{ij}l_j+c\sum^n_{j=1}a_{kj}l_j=b_i+cb_k.

Случай 2, элементарное преобразование 2-го типа: (i)'=(k), (k)'=(i), i \ne k. Утверждение очевидно.

Замечание 3.4.7. Утверждение верно и для элементарного преобразования 3-го типа: (i)'=c(i), c \ne 0. Действительно, подставляя решение (l_1,...,l_n)\in X_{\textbf{I}} в новое i -е уравнение

\sum^n_{j=1}ca_{ij}x_j=cb_i,
получаем
\sum^n_{j=1}ca_{ij}l_j=c\biggl(\sum^n_{j=1}a_{ij}l_j\biggr)=cb_i.

Дальше >>
< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >

Вопросы и ответы

вопросов: 5
Shahzod Vohidov
Shahzod Vohidov
ответить
Акерке Садыкбекова
Акерке Садыкбекова
ответить