Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений
Основная теорема алгебры комплексных чисел (теорема Гаусса, 1799 г.)
Теорема 2.11.1. Если , , то существует корень многочлена f(x), т. е. f(c)=0.
Шаг 1 (существование абсолютного минимума вещественнозначной функции |f(x)| на комплексных числах C ). Напомним, что |z1z2|=|z1|,|z2| и
для .Лемма 2.11.2. Если f(x)=xn+an-1xn-1+...+a1x+a0, , , то найдется радиус такой, что
(это означает, что вне круга радиуса A с центром в 0 значение функции |f(x)| превосходит |f(0)|=|a0| ). и поэтому где Ясно, что , и поэтому для любого C (например, для C=|f(0)|=|a0| ) найдется такое, что для t>A имеем . Итак, если |z|=t>A, тоТак как функция непрерывна как композиция двух непрерывных функций , , , (или если z=u+vi, , то , где и - многочлены с действительными коэффициентами от u, v, и поэтому - непрерывная функция от (u,v) ), то на замкнутом ограниченном множестве (компакте)
непрерывная функция |f(z)| достигает своего минимума в точке . В частности, . Если , т. е. |z|>A, то, как мы видели, Таким образом, в точке z0 достигается абсолютный минимум фу нкции |f(z)| на C.Шаг 2. Мы покажем, что f(z0)=0, т. е. c=z0 является корнем многочлена f(x). Действительно, если , то |f(z0)|>0 и, как показывает следующая лемма Даламбера, это допущение противоречит тому, что z_0 - абсолютный минимум функции |f(x)|.
Лемма 2.11.3 (лемма Даламбера). Пусть , , для . Тогда для любого найдется такой элемент , что и |f(z0+y)|<|f(z0)|.
Доказательство. Если z=z0+y, т. е. y=z-z0, то f(z)=a0+a1z+...+an-1zn-1+zn= =c0+c1y+...+cn-1yn-1+cnyn, где (при y=0 имеем z=z0 ), cn=1 (как коэффициент при yn в (z0+y)n ).
Пусть k>0 - наименьший номер слагаемого, для которого . Итак, f(z)=c0+ckyk+ck+1yk+1+...+cnyn. Основное соображение заключается в том, что в окрестности точки z0 (т. е. y=0 ) поведение многочлена определяется первыми двумя членами c0+ckyk.
Сначала пусть y0 - одно из решений уравнения c0+ckyk=0 (т. е. , y0 - один из k корней из комплексного числа ). Если, далее, , то , и поэтому
Если |c_{k+1}|\,|y_0|^{k+1}+...+|c_n|=M, то Выберем достаточно малым, так что Mt<|c0|, . Тогда , и поэтому Таким образом, y=ty0 удовлетворяет утверждению леммы.Теорема 2.11.4 (о разложении многочлена с комплексными коэффициентами в произведение линейных множителей). Пусть , . Тогда
при этом это разложение единственное (с точностью до порядка сомножителей).Доказательство. В силу теоремы Гаусса найдется такое , что f(c)=0. По теореме Безу
Применим далее теорему Гаусса к q(x), если . Продолжая этот процесс, убеждаемся в существовании разложения на линейные множители.Пусть теперь
Ясно, что a=b. Если для всех j=1,...,n, то Поэтому в оба разложения входит одинаковое множество различных корней. Убедимся в совпадении кратностей вхождения каждого корня в оба разложения. Действительно, если то, сокращая в C[x] на , получаем , и поэтому , что противоречит .Следствие 2.11.5. Если - различные корни многочлена , k1,...,kr - их кратности, , то n=k1+...+kn )таким образом, многочлен степени имеет ровно n корней с учетом их кратности ).
Замечание 2.11.6 (о неприводимых многочленах над полем комплексных чисел). По аналогии с определением простых чисел в кольце целых чисел Z многочлен , , называется неприводимым, если f(x) нельзя представить в виде , , (иными словами, если - делитель многочлена f(x), , то ).
Таким образом, мы установили, что неприводимые многочлены над полем C комплексных чисел - это в точности многочлены первой степени. Из единственности разложения на линейные множители над C получаем существование и единственность разложения на неприводимые многочлены над C.
Лемма 2.11.7.Если K - поле, , , , f(x) и g(x) совпадает в (n+1) -й различных точках , то f(x)=g(x).
Доказательство. Пусть h(x)=f(x)-g(x). Тогда если , то и для i=1,...,n+1. Но это противоречит тому, что число различных корней не превосходит степени многочлена.
Следствие 2.11.8. Если )в частности,для K= Q, R или C ), то формальное и функциональное определение равенства многочленов совпадают.
Замечание 2.11.9. Для конечного поля Z2 разные многочлены x и x2 в точках 0 и 1 принимают одинаковые значения, т. е. равны как функции их Z2 в Z2.
Теорема 2.11.10 (формулы Виета). Если K - поле, ,
тоДоказательство. В силу закона дистрибутивности умножение на сводится к умножениям на x и на . Формулы Виета получаются подсчетом коэффициента при xk (т. е. надо при указанных раскрытиях скобок k раз выбрать x и, следовательно, (n-k) раз корни).
Упражнение 2.11.11. Пусть сумма корней многочлена с комплексными коэффициентами (считая кратность) равна нулю. Докажите, что сумма корней производной этого многочлена также равна нулю.
Упражнение 2.11.11. Пусть x1,...,xn - корни многочлена . Тогда:
- многочлен (1+x)n+1-xn+1 имеет корни ;
- .