НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 2: Группы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5319 / 590 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00

ISBN: 978-5-9556-0038-3

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: beta, алгебра, алгоритмы, гомоморфизм групп, гомоморфизм группоидов, группоид, изоморфизм группоидов, инъекция, коэффициентами системы, моноид, полугруппа, расширенная матрица, старший коэффициент, элементы

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Упражнение 1.9.6.

Пусть $c\in R$ , c>0, $G=\{r\in R\mid -c<r<c\}$ (=(-c,c)). Покажите, что (G,*) - группа, где $a*b=\frac{a+b}{1+\frac{ab}{c^2}}$ (сложение скоростей в специальной теории относительности).
Если G - группа, в которой x²=1 для всех $x\in G$ , то G - абелева группа.

Определение 1.9.7. Пусть G - группа, $a\in G$ , $n\in Z$ - целое число. Положим

$a^n= \begin{cases} \underbrace{a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n}\,, & \text{если } n>0,\\[-3pt] e, & \text{если } n=0,\\[6pt] \underbrace{a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot...\cdot a^{-1}}_{m=-n}\,, & \text{если } n<0, \text{ где } m=-n>0. \end{cases}$

Замечание 1.9.8. Если m>0, то (a^-1)^m=(a^m)^-1. Действительно, $(\underbrace{a... a}_m) (\underbrace{a^{-1}... a^{-1}}_m)=e= (\underbrace{a^{-1}... a^{-1}}_m) (\underbrace{a... a}_m)$ .

Теорема 1.9.9. Пусть G - группа, $a\in G$ , $m,n\in Z$ - целые числа. Тогда $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ .

Доказательство. Формально, мы должны рассмотреть $3\times 3=9$ случаев.

Случай 1. m>0, n>0 (следовательно, m+n>0 ). Тогда $a^m\cdot a^n = (\underbrace{a... a}_m)\cdot (\underbrace{a... a}_n)= \underbrace{a... a}_{m+n}= a^{m+n}$ .

Случай 2. m>0, n<0 (поэтому n'=-n>0 ). Тогда $\begin{align*} & a^m\cdot a^n = (\underbrace{a... a}_m)\cdot (\underbrace{a^{-1}... a^{-1}}_{n'=-n})={} \\ & \ \ {}=\! \begin{cases} \underbrace{a\cdot a\cdot...\cdot a}_{m-n'=m+n}\,, & \text{если } m>n'=-n\ (\text{т. е. m+n>0}),\\[4pt] e, & \text{если } m=n'=-n\ (\text{т. е. m+n=0}),\\[4pt] \underbrace{a^{-1}... a^{-1}}_{n'-m=-n-m}\,, & \text{если } m<n'=-n\ (\text{т. е. m+n<0}) \end{cases} ={} \\ & \ \ {}=a^{m+n}. \end{align*}$

Аналогично разбираются остальные случаи: 3) m<0, n>0 ; 4) m<0, n<0 ; 5) m=0, n>0 ; 6) m=0, n=0 ; 7) m=0, n<0 ; 8) m>0, n=0 ; 9) m<0, n=0.

Следствие 1.9.10. (a^m)ⁿ=a^mn для всех $m,n\in Z$ .

Рассмотрим целые степени элемента a группы G ..., a^-3, a^-2, a^-1, a⁰=e, a, a², a³,... Возможны два случая.

Случай 1. Все элементы в этом ряду различны (т. е. $a^k\ne a^l$ для всех целых чисел $k\ne l$ ). В этом случае будем говорить, что порядок элемента a бесконечный (обозначение: $O(a)=\infty$ ).

Случай 2. В этом ряду a^k=a^l для некоторых $k\ne l$ . Пусть k>l. Тогда a^k-1=e, где k-l>0, т. е. встретилась и натуральная степень элемента a, равная e. Рассмотрим множество $T=\{t\in Z\mid t>0,\ a^t=e\}$ . Это непустое подмножество натуральных чисел. Следовательно, в T существует наименьший элемент n, который мы назовем порядком элемента a и обозначим через O(a).

Таким образом:

aⁿ=e, n>0 ;
если a^k=e, k>0, то $k \ge n$ .

Пример 1.9.11. G={1,-1}, a=-1. Тогда a¹=-1, a²=1, т. е. O(a)=2.

Лемма 1.9.12. Если $\O(a)=n<\infty$ , то:

все элементы e=a⁰,a,a²,...,a^n-1 различны;
для любого $k\in Z$ элемент a^k совпадает с одним из e,a,a²,...,a^n-1.

Доказательство.

Следует из определения порядка элемента O(a).
Пусть $k\in Z$ . Тогда k=nq+r, где $0 \le r<n$ . Следовательно, a^k=(aⁿ)^qa^r=ea^r=a^r.

Лемма 1.9.13. Пусть $O(a)=n<\infty$ . Тогда a^k=e в том и только в том случае, когда k=nq.

Доказательство.

Если k=nq, то a^k=(aⁿ)^q=e^q=e.
Допустим противное, т. е. что k=nq+r, где 0<r<n. Тогда $a^k=(a^n)^qa^r=a^r\ne e$ (по лемме 1.9.12). Получили противоречие.

Лемма 1.9.14. Для непустого подмножества H группы G следующие условия эквивалентны:

H является группой относительно исходной операции в группе G ;
подмножество H удовлетворяет следующим двум условиям:
a) если $h_1,h_2\in H$ , то $h_1h_2\in H$ ;

б) если $h\in H$ , то $h^{-1}\in H$ .

Подмножество H группы G, удовлетворяющее эквивалентным условиям 1) и 2), называется подгруппой группы G .

Доказательство.

1) $\implies$ 2). Если $h_1,h_2\in H$ , то, поскольку операция определена на H (т. е. не выводит из H ), имеем $h_1h_2\in H$ , т. е. 2a).

Если e' - нейтральный элемент группы H, то $e'\cdot e'=e'$ . Умножая в группе G обе стороны равенства на (e')^-1, получаем e'=e (здесь e - нейтральный элемент группы G ).

Если h^-1 - обратный элемент для элемента $h\in H$ , то $h^{-1}\cdot h=e'=e=h\cdot h^{-1}$ , т. е. $h^{-1}=h^{-1}\in H$ (условие 2b)).

2) $\implies$ 1). Условие 2a) показывает, что операция определена на множестве H. Конечно, она ассоциативна. Далее, для $h\in H$ в силу 2b) $h^{-1}\in H$ , и поэтому, в силу 2a), $e=h\cdot h^{-1}\in H$ . Ясно, что e - нейтральный элемент в H, а h^-1 - обратный элемент для h в H. Итак, H - группа относительно операции, индуцированной операцией группы G.

Следствие 1.9.15. Если G - группа, $\emptyset\ne F\subset H\subset G$ , H - подгруппа группы G, F - подгруппа группы H, то F - подгруппа группы G.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в алгебру

Группы

Вопросы и ответы