Основные алгебраические структуры и операции

Обобщенная ассоциативность (применение ассоциативной операции к n сомножителям при n >= 3

Рассмотрим ассоциативную операцию * на множестве M, , для , при этом

Для одного или двух сомножителей нет вопроса о различных расстановках скобок: a, a*b. Для трех сомножителей a, b, c существует всего две расстановки скобок (a*b)*c, a*(b*c), обозначающие применение бинарной операции * (каждый раз применяемой к двум элементам). На множестве из четырех элементов a₁, a₂, a₃, a₄ расстановок скобок уже значительно больше: ((a₁*a₂)*a₃)*a₄ (регулярная слева расстановка), (a₁*a₂)*(a₃*a₄), (a₁*(a₂*a₃))*a₄, a₁*((a₂*a₃)*a₄), a₁*(a₂*(a₃*a₄)) (регулярная справа расстановка).

Задача 1.3.1 (трудная).

Найти число всех различных расстановок скобок для применения бинарной операции на n сомножителях.

Определение ассоциативной бинарной операции ( (a*b)*c=a*(b*c) для всех ) означает, что для трех сомножителей результат применения операции не зависит от расстановки скобок (т. е. порядка ее применения). Наша ближайшая цель - показать, что для ассоциативной бинарной операции это утверждение верно и для n сомножителей a₁,a₂,...,a_n (при всех расстановках скобок после соответствующего применения операции * мы получаем один и тот же элемент, который можно обозначить a₁*a₂*...*a_n, без указания расстановки скобок).

Теорема 1.3.2.

Пусть * - бинарная ассоциативная операция на множестве M , для , и для всех , , . Тогда результат применения операции * к n сомножителям a₁,a₂,...,a_n не зависит от расстановки скобок.

Доказательство проведем индукцией по n по вполне упорядоченному множеству , это означает, что любое непустое подмножество этого множества имеет наименьший элемент.

Начало индукции n=3 обеспечено определением ассоциативной операции.

Допустим, что утверждение верно для всех k, . Рассмотрим произвольную расстановку скобок на n сомножителях a₁,a₂,...,a_n, соответствующую применениям бинарной операции * (каждый раз к двум элементам). Наша цель - доказать, что результат применения операции * для произвольной расстановки скобок совпадает с результатом применения для регулярной слева расстановки скобок (... ((a₁*a₂)*a₃)*...)*a_n. При этом для n=2 имеем a₁*a₂, а для n=1 имеем a₁.

В каждой расстановке скобок есть последнее применение операции * (например: ; ; , здесь обозначает последнее применение операции * в каждой из приведенных расстановок). Таким образом, последнее применение операции * происходит к произведению k сомножителей a₁,a₂,...,a_k с некоторой расстановкой скобок и к произведению (n-k) сомножителей a_k+1,...,a_n с некоторой расстановкой скобок, при этом , . Результат произведения операции * в левом и правом блоке не зависит от расстановки скобок (возможно, k=1 или k=2 ; возможно, n-k=1 или n-k=2 ; если , то в силу индуктивного предположения; если , то также в силу индуктивного предположения). Выберем в левом произведении регулярную слева расстановку скобок, а в правом произведении - регулярную справа расстановку скобок. Тогда имеем, применяя последовательно ассоциативность для трех сомножителей, [(... ((a₁*a₂)*a₃)... a_k-1)*a_k]*[a_k+1*(a_k+2*(... (a_n-1*a_n)... ))]=[((... ((a₁*a₂)*a₃)... a_k-1)*a_k)*a_k+1]*[a_k+2*(... (a_n-1*a_n)... )]=...= ((a₁*a₂)*a₃)... a_n-1)*a_n (в наших обозначениях, если k=1, то [a₁]=a₁ ; аналогично, если n-k=1, то [a_n]=a_n ).

Итак, результат применения операции * в соответствии с исходной (произвольной) расстановкой скобок совпал с результатом применения при регулярной слева расстановке скобок. Таким образом, результат применения ассоциативной операции не зависит от расстановки скобок.