Цель лекции: Ознакомиться с основными понятиями нечеткой логики способами ее применения к обработке экспериментальных данных.
Построение моделей приближенных размышлений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.
Для реальных сложных систем характерно наличие одновременно разнородной информации:
Наличие в сложной многоуровневой иерархической системе управления одновременно различных видов неопределенности делает необходимым использование для принятия решений теории нечетких множеств, которая позволяет адекватно учесть имеющиеся виды неопределенности.
Соответственно и вся информация о режимах функционирования подсистем, областях допустимости и эффективности, целевых функциях, предпочтительности одних режимов работы перед другими, о риске работы на каждом из режимов для подсистем и т.д. должна быть преобразована к единой форме и представлена в виде функций принадлежности. Такой подход позволяет свести воедино всю имеющуюся неоднородную информацию: детерминированную, статистическую, лингвистическую и интервальную.
Большая часть существующих методов для облегчения количественного исследования в рамках конкретных задач принятия решений базируется на крайне упрощенных моделях действительности и излишне жестких ограничениях, что уменьшает ценность результатов исследований и часто приводит к неверным решениям.
Применение для оперирования с неопределенными величинами аппарата теории вероятности приводит к тому, что фактически неопределенность, независимо от ее природы, отождествляется со случайностью, между тем как основным источником неопределенности во многих процессах принятия решений является нечеткость или расплывчатость (fuzzines).
В отличие от случайности, которая связана с неопределенностью, касающейся принадлежности или непринадлежности некоторого объекта к не расплывчатому множеству, понятие "нечеткость" относится к классам, в которых могут быть различные градации степени принадлежности, промежуточные между полной принадлежностью и непринадлежностью объектов к данному классу.
Вопрос выбора адекватного формального языка является очень важным, поэтому следует отметить преимущества описания процесса принятия решений в сложной многоуровневой иерархической системе на основе теории нечетких множеств. Этот язык дает возможность адекватно отразить сущность самого процесса принятия решений в нечетких условиях для многоуровневой системы, оперировать с нечеткими ограничениями и целями, а также задавать их с помощью лингвистических переменных.
В классической теории множеств непустое подмножество А из универсального множества Х однозначно определяется характеристическим функционалом [25] $$I_A(x)=\begin{cases} 1, \text{если $x \in A$}\\ 0, \text{если $x \notin A$} \end{cases}$$т.е. подмножество А определяется как совокупность объектов, имеющих некоторое общее свойство, наличие или отсутствие которого у любого элемента х задается характеристическим функционалом. Причем относительно природы объекта не делается никаких предположений.
Задание некоторого множества в этом случае эквивалентно заданию его характеристического функционала, поэтому все операции над множествами можно выразить через действия над их характеристическими функционалами.
Основные операции объединения, пересечения и разности двух подмножеств $$А$$ и $$В$$ из $$Х $$ с характеристическими функционалами $$I_A(x)$$ и $$I_B (x) $$ соответственно определяются следующим образом для каждого $$x \in X $$: $$I_{A \cup B}(x)=I_A(x)+I_B(x)-I_A(x) \cdot I_B(x)\\ I_{A \cap B}(x)=I_A(x)+I_B(x)\\ I_{A / B}(x)=I_A(x)- I_{A \cap B}(x)=I_A(x)(1-I_B(x))\\$$
Операции объединения и пересечения могут быть записаны в несколько ином виде: $$I_{A \cup B}(x)=max(I_A(x),I_B(x))\\ I_{A \cap B}(x)=min(I_A(x),I_B(x))$$
Однако такие понятия, как множество "больших" или "малых величин", уже не являются множествами в классическом смысле, так как не определены границы их степеней малости, которые позволили бы провести классификационную процедуру (12.1) и четко отнести каждый объект к определенному классу. Большинство классов реальных объектов и процессов относятся именно к такому нечетко определенному типу. Поэтому возникает необходимость введения понятия о нечетком подмножестве как о классе с непрерывной градацией степеней принадлежности.
Для нечеткого подмножества, являющегося расширением понятия множества в классическом смысле, на пространстве объектов Х={x} вводится уже не функционал вида (12.1), а характеристическая функция. Она задает для всех элементов степень наличия у них некоторого свойства, по которому они относятся к подмножеству $$А$$. Эта характеристическая функция для нечеткого множества традиционно носит название
Нечеткое подмножество $$А$$ множества $$Х$$ характеризуется функцией принадлежности $$\mu_A : X\rightarrow [0,1]$$, которая ставит в соответствие каждому элементу $$x \in X$$число $$\mu_A(x)$$ из интервала [0,1], характеризующее степень принадлежности элемента $$х$$ подмножеству $$А$$. Причем 0 и 1 представляют собой соответственно низшую и высшую степень принадлежности элемента к определенному подмножеству.
Точкой перехода $$А$$ называется элемент $$х$$ множества $$Х$$, для которого $$ \mu_A(x)=0,5$$.
Если в классической теории множеств понятие характеристического функционала играет второстепенную роль, то для нечетких множеств функция принадлежности становится единственно возможным средством их описания. С формальной точки зрения нет необходимости различать нечеткое множество и его функцию принадлежности. В этом смысле теория нечетких множеств (ТНМ) можно рассматривать как теорию функций специального вида - обобщенных характеристических функций [10] .
Пусть $$E$$ - универсальное множество, $$x$$ - элемент $$E$$, а $$R$$ - определенное свойство. Обычное (четкое) подмножество $$A$$ универсального множества $$E$$, элементы которого удовлетворяют свойство $$R$$, определяется как множество упорядоченной пары $$c$$, где $$\mu_A(x)$$ - характеристическая функция, принимающая значение 1, когда x удовлетворяет свойство $$R$$, и 0 - в другом случае.
Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов $$x$$ из $$E$$ нет однозначного ответа "нет" относительно свойства $$R$$. В связи с этим, нечеткое подмножество $$A$$ универсального множества $$E$$ определяется как множество упорядоченной пары $$ A=\lbrace \mu(x)/x \rbrace$$ где $$\mu_A(x) $$ - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значение в некотором упорядоченном множестве $$M$$ (например, $$M = [0,1] $$).
Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента $$x$$ к подмножеству $$A$$. Множество $$M$$ называют множеством принадлежностей. Если $$M=\lbrace 0,1 \rbrace$$, тогда нечеткое подмножество $$A$$ может рассматриваться как обычное или четкое множество.
Пусть $$M = [0,1] $$ и $$A$$ - нечеткое множество с элементами из универсального множества $$E$$ и множеством принадлежностей $$M$$
Величина $$sup_{x \in E}\mu_A(x)$$ называется высотою нечеткого множества $$A$$. Нечеткое множество $$A$$ является нормальным, если его высота равняется 1, то есть верхняя граница ее функции принадлежности равняется 1 $$ (sup_{x \in E}\mu_A(x))=1$$. При $$\mu_A(x) < 1$$ нечеткое множество называется субнормальным.
Нечеткое множество является пустым, если для каждого $$x \in E$$ $$\mu \cdot A(x)=0$$. Непустое субнормальное множество можно нормализировать по формуле $$\mu_A(x):=\frac {\mu_{\alpha}(x)} {sup\mu_{\alpha}(x)}, x \in E$$
Нечеткое множество является унимодальным, если лишь для одного $$x$$ из $$E$$.
Носителем нечеткого множества $$A$$ является обычное подмножество со свойством $$\mu_A(x) > 0 $$, то есть носитель $$A= \lbrace x/\mu_A(x) > 0 \rbrace $$ для каждого $$x \in E$$.
Элементы $$x \in E$$, для которых $$\mu_A(x)=0,5 $$называются точками перехода множества $$A $$.
Как считают авторы [11,7,9] для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение $$\mu_A(x)$$, на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы $$E $$. Если $$E $$ по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами [14].
Пусть $$A $$ нечеткий интервал между 5 до 8 и $$B $$ нечеткое число около 4 (см.Рисунок 12. 1).
(рис 12.1) Нечеткие числа А и В
Проиллюстрируем нечеткое множество между 5 и 8 И (AND) около 4 (см. Рисунок 12. 2).
(рис 12.2) Операция AND между нечеткими множествами А и В
Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 показано на следующем рисунке (см. Рисунок 12.3).
(рис 12.3) Операция ИЛИ между нечеткими множествами А и В
Следующий рисунок иллюстрирует операцию отрицания нечеткого множества A (см.Рисунок 12.4).
(рис 12.4) Операция Отрицания нечеткого множества А.
На следующем рисунке закрашенная часть соответствует нечеткому множеству A и изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A (см. Рисунок 12. 5).
(рис 12.5) Область значений А и всех нечетких множеств с А
Остальные рисунки изображают соответственно $$\overline A, A \cup \overline A, A \cap \overline A $$ (см. рисунок 12.6.
(рис 12.6) Свойства операций с A
Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства: $$коммутативность - \begin{cases} $A\cap$B= $B\cap$A\\ $A\cup$B= $B\cup$A \end{cases}$$ $$ассоциативность - \begin{cases} ($A\cap$B)\cap$C=$A\cap($B\cap$C)\\ ($A\cup$B)\cup$C=$A\cup($B\cup$C) \end{cases}$$ $$идемпотентность - \begin{cases} $A\cap$A=$A\\ $A\cup$A=$A \end{cases}$$ $$дистрибутивность - \begin{cases} $A\cap($B\cup$C)=($A\cap$B)\cup($A\cap$C)\\ $A\cup($B\cap$C)=($A\cup$B)\cap($A\cup$C) \end{cases}$$ $$A\cup\varnothing=A, \varnothing\text{ - пустое множество, то есть }m\varnothing(x)=0\text{ для каждого }x \in E\\ A\cap\varnothing=\varnothing\\ A\cap E=A, \text{ где E - универсальное множество;}\\ теорема де Моргана - \begin{cases} \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline {B}\\ \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline {B} \end{cases}$$
В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае: $$A \cap\overline A\neq\varnothing\\ A\cup \overline A \neq E $$(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере представления нечетких множеств). $$CON(A) = A2 \text{- операция концентрирования}, \\ DIL(A) = A0,5 \text{- операция размывания} $$
Все это операции нечетких множеств, которые используются при работе с лингвистическими переменными [7,9,22].
(рис 12.7) Нечеткие множества
При описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств используется понятие нечеткой и лингвистической переменных [21].
Нечеткая переменная характеризуется тройкой $$< \alpha, X, A >$$, где
$$\alpha$$ - имя переменной,
$$X$$- универсальное множество (область определения $$\alpha$$
$$A$$- нечеткое множество на $$X$$, описывающее ограничение (то есть $$\mu \text{ }A(x)$$) на значение нечеткой переменной $$\alpha$$.
Лингвистической переменной называется набор $$< \beta, T,X,G,M >$$, где
$$\beta$$- имя лингвистической переменной;
$$T$$ - множество его значений (терм-множество), представляющие имена нечетких переменных, областью определения, которых является множество $$X$$. Множество $$t$$ называется базовым терм - множеством лингвистической переменной;
$$G$$ - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм - множества $$T$$, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество $$T \cap G(T)$$, где $$G(T)$$ - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм - множеством лингвистической переменной;
$$M$$ - семантическая процедура, позволяющая преобразовать новое значение лингвистической переменной, образованной процедурой $$G$$, в нечеткую переменную, то есть сформировать соответствующее нечеткое множество [7].
Пример применения нечеткого множества для нахождения оптимального маршрута передачи данных по сети.
Создадим модель, ориентированную на решение задачи "проникновения" из пункта отправления в пункт назначения кратчайшим или менее загруженным доступным путем, т.е. за минимально возможное время.
Разработаем правила, которые задают связь входных переменных с выходными.
Для лингвистической оценки входных и выходных переменных используем следующие терм множества:
Сведем все значения в таблицу 12.1.
| № | x1 | x2 | y |
|---|---|---|---|
| 1 | K | MT | G |
| 2 | KC | T | MG |
| 3 | KC | TC | GC |
| 4 | MK | T | MG |
Применим систему типа Сугэно. Если значение выходной переменной в правиле задано нечетким множеством, тогда правило может быть представлено нечетким отношением. Для нечеткого правила, если значение выходной переменной в правиле задано нечетким множеством, тогда правило может быть представлено нечетким отношением. Для нечеткого правила "Если x есть $$\widetilde A$$ , то y есть $$\widetilde B $$ нечеткое отношение $$\widetilde R $$ задается на декартовом произведении $$U_x \times U_y$$, где $$U_x(U_y)$$ - универсальное множество входной (выходной) переменной. [6] Для расчета нечеткого отношения можно применять нечеткую импликацию и t-норму. При использовании в качестве t-нормы операции нахождения минимума, расчет нечеткого отношения $$\widetilde R $$осуществляется так [5]: $$\mu_{\widetilde R}(x,y)=min(\mu_{\widetilde A}(x),\mu_{\widetilde B}(y)), (x,y) \in U_x \times U_y$$
Согласно этому утверждению разработаем правила, которые будут применяться на основных этапах проектирования систем типа Сугэно на примере создания системы нечеткого логического вывода, моделирующей зависимость.
Проектирование системы нечеткого логического вывода типа Сугэно состоит в выполнении следующей последовательности шагов. Сначала вводим входные переменные $$x_1,x_2$$ и выходную $$y$$. Обозначим термы и введем диапазон изменения переменных согласно выведенным правилам. Каждому терму будет соответствовать три переменные на входе это $$х1 – К, КС, МК, х2 – Т,МТ.ТС, $$ на выходе $$у –M,MG,G$$. Тип функции выберем gaussmf $$(\mu_{(x)}=e^{-\frac {(x-b)^2} {z \cdot c^2} } )$$ симметричная гауссовская функция принадлежности) [25]. Количество точек дискретизации для построения функции принадлежности возьмем равное 181 (Рисунок 12.8).
(рис 12.8) Модель система Сугэно
На следующем этапе прописываются правила (соответствующие комбинации термов, указанные в таблица 12.1). Согласно этим правилам строится модель нечеткой системы.
(рис 12.9) Правила для создания графиков кодирования
Результат моделирования отображается в графическом окне. Входной вектор в каждом из этих вариантов определения исходных данных, задается набором вертикальных линий (см. рис 12.10)
(рис 12.10) Отображение результата нечеткого вывода
Построенная модель прохождения пакетов позволяет сделать выбор маршрута быстро без лишних расчетов, учитывая необходимую стратегию маршрутизации.
В данном случае х1 =3 – это количество переходов, х2 =3,5 Мбит/с – скорость передачи информации, у=0,8 сек – время которое будет затрачено на прохождение по данному маршруту, все это отображено в окне.
В MATLAB имеется встроенный пакет расширения fuzzy, в котором есть компонент моделирования системы Сугэно в виде поверхностей "входов" и "выходов" синтезированной нечеткой системы.
Меню X (input), Y (input), Z (output) позволяют поставить в соответствие осям координат входные и выходные переменные.
Данное средство просмотра правил вывода позволяет наглядно отобразить сам процесс маршрутизации и быстро получить результат поиска, не применяя сложных расчетов.
(рис 12.11) Поверхность «входы» и «выходы» для системы Сугэно, определяющие выбор маршрута в сети в зависимости от входных параметров
На рис 12.11 показана зависимость у (время прохождения пакета по сети) от х1 (количества переходов) и х2 (скорость передачи информации). Значения у соответственно меняются в зависимости от задаваемых входных переменных.
Приведенный пример показывает насколько просто и эффективно можно применить нечеткую логику для обработки экспериментальных данных.
Краткие итоги
В лекции были рассмотрены основные понятия нечеткого множества. Отличия нечеткого подмножества от обычного. Оно отличается тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "нет" относительно свойства R.
Графическое изображение нечеткого подмножества. Приведен пример использования нечеткой логики для обработки данных с применением программы MATLAB. Эта программа имеется встроенный пакет расширения fuzzy, в котором есть компонент моделирования системы Сугэно в виде поверхностей "входов" и "выходов" синтезированной нечеткой системы.
Вопросы для самопроверки
Цель лекции: Ознакомиться с основными понятиями нечеткой логики способами ее применения к обработке экспериментальных данных.
Построение моделей приближенных размышлений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.
Для реальных сложных систем характерно наличие одновременно разнородной информации:
Наличие в сложной многоуровневой иерархической системе управления одновременно различных видов неопределенности делает необходимым использование для принятия решений теории нечетких множеств, которая позволяет адекватно учесть имеющиеся виды неопределенности.
Соответственно и вся информация о режимах функционирования подсистем, областях допустимости и эффективности, целевых функциях, предпочтительности одних режимов работы перед другими, о риске работы на каждом из режимов для подсистем и т.д. должна быть преобразована к единой форме и представлена в виде функций принадлежности. Такой подход позволяет свести воедино всю имеющуюся неоднородную информацию: детерминированную, статистическую, лингвистическую и интервальную.
Большая часть существующих методов для облегчения количественного исследования в рамках конкретных задач принятия решений базируется на крайне упрощенных моделях действительности и излишне жестких ограничениях, что уменьшает ценность результатов исследований и часто приводит к неверным решениям.
Применение для оперирования с неопределенными величинами аппарата теории вероятности приводит к тому, что фактически неопределенность, независимо от ее природы, отождествляется со случайностью, между тем как основным источником неопределенности во многих процессах принятия решений является нечеткость или расплывчатость (fuzzines).
В отличие от случайности, которая связана с неопределенностью, касающейся принадлежности или непринадлежности некоторого объекта к не расплывчатому множеству, понятие "нечеткость" относится к классам, в которых могут быть различные градации степени принадлежности, промежуточные между полной принадлежностью и непринадлежностью объектов к данному классу.
Вопрос выбора адекватного формального языка является очень важным, поэтому следует отметить преимущества описания процесса принятия решений в сложной многоуровневой иерархической системе на основе теории нечетких множеств. Этот язык дает возможность адекватно отразить сущность самого процесса принятия решений в нечетких условиях для многоуровневой системы, оперировать с нечеткими ограничениями и целями, а также задавать их с помощью лингвистических переменных.
В классической теории множеств непустое подмножество А из универсального множества Х однозначно определяется характеристическим функционалом [25] $$I_A(x)=\begin{cases} 1, \text{если $x \in A$}\\ 0, \text{если $x \notin A$} \end{cases}$$т.е. подмножество А определяется как совокупность объектов, имеющих некоторое общее свойство, наличие или отсутствие которого у любого элемента х задается характеристическим функционалом. Причем относительно природы объекта не делается никаких предположений.
Задание некоторого множества в этом случае эквивалентно заданию его характеристического функционала, поэтому все операции над множествами можно выразить через действия над их характеристическими функционалами.
Основные операции объединения, пересечения и разности двух подмножеств $$А$$ и $$В$$ из $$Х $$ с характеристическими функционалами $$I_A(x)$$ и $$I_B (x) $$ соответственно определяются следующим образом для каждого $$x \in X $$: $$I_{A \cup B}(x)=I_A(x)+I_B(x)-I_A(x) \cdot I_B(x)\\ I_{A \cap B}(x)=I_A(x)+I_B(x)\\ I_{A / B}(x)=I_A(x)- I_{A \cap B}(x)=I_A(x)(1-I_B(x))\\$$
Операции объединения и пересечения могут быть записаны в несколько ином виде: $$I_{A \cup B}(x)=max(I_A(x),I_B(x))\\ I_{A \cap B}(x)=min(I_A(x),I_B(x))$$
Однако такие понятия, как множество "больших" или "малых величин", уже не являются множествами в классическом смысле, так как не определены границы их степеней малости, которые позволили бы провести классификационную процедуру (12.1) и четко отнести каждый объект к определенному классу. Большинство классов реальных объектов и процессов относятся именно к такому нечетко определенному типу. Поэтому возникает необходимость введения понятия о нечетком подмножестве как о классе с непрерывной градацией степеней принадлежности.
Для нечеткого подмножества, являющегося расширением понятия множества в классическом смысле, на пространстве объектов Х={x} вводится уже не функционал вида (12.1), а характеристическая функция. Она задает для всех элементов степень наличия у них некоторого свойства, по которому они относятся к подмножеству $$А$$. Эта характеристическая функция для нечеткого множества традиционно носит название
Нечеткое подмножество $$А$$ множества $$Х$$ характеризуется функцией принадлежности $$\mu_A : X\rightarrow [0,1]$$, которая ставит в соответствие каждому элементу $$x \in X$$число $$\mu_A(x)$$ из интервала [0,1], характеризующее степень принадлежности элемента $$х$$ подмножеству $$А$$. Причем 0 и 1 представляют собой соответственно низшую и высшую степень принадлежности элемента к определенному подмножеству.
Точкой перехода $$А$$ называется элемент $$х$$ множества $$Х$$, для которого $$ \mu_A(x)=0,5$$.
Если в классической теории множеств понятие характеристического функционала играет второстепенную роль, то для нечетких множеств функция принадлежности становится единственно возможным средством их описания. С формальной точки зрения нет необходимости различать нечеткое множество и его функцию принадлежности. В этом смысле теория нечетких множеств (ТНМ) можно рассматривать как теорию функций специального вида - обобщенных характеристических функций [10] .
Пусть $$E$$ - универсальное множество, $$x$$ - элемент $$E$$, а $$R$$ - определенное свойство. Обычное (четкое) подмножество $$A$$ универсального множества $$E$$, элементы которого удовлетворяют свойство $$R$$, определяется как множество упорядоченной пары $$c$$, где $$\mu_A(x)$$ - характеристическая функция, принимающая значение 1, когда x удовлетворяет свойство $$R$$, и 0 - в другом случае.
Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов $$x$$ из $$E$$ нет однозначного ответа "нет" относительно свойства $$R$$. В связи с этим, нечеткое подмножество $$A$$ универсального множества $$E$$ определяется как множество упорядоченной пары $$ A=\lbrace \mu(x)/x \rbrace$$ где $$\mu_A(x) $$ - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значение в некотором упорядоченном множестве $$M$$ (например, $$M = [0,1] $$).
Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента $$x$$ к подмножеству $$A$$. Множество $$M$$ называют множеством принадлежностей. Если $$M=\lbrace 0,1 \rbrace$$, тогда нечеткое подмножество $$A$$ может рассматриваться как обычное или четкое множество.
Пусть $$M = [0,1] $$ и $$A$$ - нечеткое множество с элементами из универсального множества $$E$$ и множеством принадлежностей $$M$$
Величина $$sup_{x \in E}\mu_A(x)$$ называется высотою нечеткого множества $$A$$. Нечеткое множество $$A$$ является нормальным, если его высота равняется 1, то есть верхняя граница ее функции принадлежности равняется 1 $$ (sup_{x \in E}\mu_A(x))=1$$. При $$\mu_A(x) < 1$$ нечеткое множество называется субнормальным.
Нечеткое множество является пустым, если для каждого $$x \in E$$ $$\mu \cdot A(x)=0$$. Непустое субнормальное множество можно нормализировать по формуле $$\mu_A(x):=\frac {\mu_{\alpha}(x)} {sup\mu_{\alpha}(x)}, x \in E$$
Нечеткое множество является унимодальным, если лишь для одного $$x$$ из $$E$$.
Носителем нечеткого множества $$A$$ является обычное подмножество со свойством $$\mu_A(x) > 0 $$, то есть носитель $$A= \lbrace x/\mu_A(x) > 0 \rbrace $$ для каждого $$x \in E$$.
Элементы $$x \in E$$, для которых $$\mu_A(x)=0,5 $$называются точками перехода множества $$A $$.
Как считают авторы [11,7,9] для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение $$\mu_A(x)$$, на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы $$E $$. Если $$E $$ по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами [14].
Пусть $$A $$ нечеткий интервал между 5 до 8 и $$B $$ нечеткое число около 4 (см.Рисунок 12. 1).
(рис 12.1) Нечеткие числа А и В
Проиллюстрируем нечеткое множество между 5 и 8 И (AND) около 4 (см. Рисунок 12. 2).
(рис 12.2) Операция AND между нечеткими множествами А и В
Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 показано на следующем рисунке (см. Рисунок 12.3).
(рис 12.3) Операция ИЛИ между нечеткими множествами А и В
Следующий рисунок иллюстрирует операцию отрицания нечеткого множества A (см.Рисунок 12.4).
(рис 12.4) Операция Отрицания нечеткого множества А.
На следующем рисунке закрашенная часть соответствует нечеткому множеству A и изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A (см. Рисунок 12. 5).
(рис 12.5) Область значений А и всех нечетких множеств с А
Остальные рисунки изображают соответственно $$\overline A, A \cup \overline A, A \cap \overline A $$ (см. рисунок 12.6.
(рис 12.6) Свойства операций с A
Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства: $$коммутативность - \begin{cases} $A\cap$B= $B\cap$A\\ $A\cup$B= $B\cup$A \end{cases}$$ $$ассоциативность - \begin{cases} ($A\cap$B)\cap$C=$A\cap($B\cap$C)\\ ($A\cup$B)\cup$C=$A\cup($B\cup$C) \end{cases}$$ $$идемпотентность - \begin{cases} $A\cap$A=$A\\ $A\cup$A=$A \end{cases}$$ $$дистрибутивность - \begin{cases} $A\cap($B\cup$C)=($A\cap$B)\cup($A\cap$C)\\ $A\cup($B\cap$C)=($A\cup$B)\cap($A\cup$C) \end{cases}$$ $$A\cup\varnothing=A, \varnothing\text{ - пустое множество, то есть }m\varnothing(x)=0\text{ для каждого }x \in E\\ A\cap\varnothing=\varnothing\\ A\cap E=A, \text{ где E - универсальное множество;}\\ теорема де Моргана - \begin{cases} \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline {B}\\ \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline {B} \end{cases}$$
В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае: $$A \cap\overline A\neq\varnothing\\ A\cup \overline A \neq E $$(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере представления нечетких множеств). $$CON(A) = A2 \text{- операция концентрирования}, \\ DIL(A) = A0,5 \text{- операция размывания} $$
Все это операции нечетких множеств, которые используются при работе с лингвистическими переменными [7,9,22].
(рис 12.7) Нечеткие множества
При описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств используется понятие нечеткой и лингвистической переменных [21].
Нечеткая переменная характеризуется тройкой $$< \alpha, X, A >$$, где
$$\alpha$$ - имя переменной,
$$X$$- универсальное множество (область определения $$\alpha$$
$$A$$- нечеткое множество на $$X$$, описывающее ограничение (то есть $$\mu \text{ }A(x)$$) на значение нечеткой переменной $$\alpha$$.
Лингвистической переменной называется набор $$< \beta, T,X,G,M >$$, где
$$\beta$$- имя лингвистической переменной;
$$T$$ - множество его значений (терм-множество), представляющие имена нечетких переменных, областью определения, которых является множество $$X$$. Множество $$t$$ называется базовым терм - множеством лингвистической переменной;
$$G$$ - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм - множества $$T$$, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество $$T \cap G(T)$$, где $$G(T)$$ - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм - множеством лингвистической переменной;
$$M$$ - семантическая процедура, позволяющая преобразовать новое значение лингвистической переменной, образованной процедурой $$G$$, в нечеткую переменную, то есть сформировать соответствующее нечеткое множество [7].
Пример применения нечеткого множества для нахождения оптимального маршрута передачи данных по сети.
Создадим модель, ориентированную на решение задачи "проникновения" из пункта отправления в пункт назначения кратчайшим или менее загруженным доступным путем, т.е. за минимально возможное время.
Разработаем правила, которые задают связь входных переменных с выходными.
Для лингвистической оценки входных и выходных переменных используем следующие терм множества:
Сведем все значения в таблицу 12.1.
| № | x1 | x2 | y |
|---|---|---|---|
| 1 | K | MT | G |
| 2 | KC | T | MG |
| 3 | KC | TC | GC |
| 4 | MK | T | MG |
Применим систему типа Сугэно. Если значение выходной переменной в правиле задано нечетким множеством, тогда правило может быть представлено нечетким отношением. Для нечеткого правила, если значение выходной переменной в правиле задано нечетким множеством, тогда правило может быть представлено нечетким отношением. Для нечеткого правила "Если x есть $$\widetilde A$$ , то y есть $$\widetilde B $$ нечеткое отношение $$\widetilde R $$ задается на декартовом произведении $$U_x \times U_y$$, где $$U_x(U_y)$$ - универсальное множество входной (выходной) переменной. [6] Для расчета нечеткого отношения можно применять нечеткую импликацию и t-норму. При использовании в качестве t-нормы операции нахождения минимума, расчет нечеткого отношения $$\widetilde R $$осуществляется так [5]: $$\mu_{\widetilde R}(x,y)=min(\mu_{\widetilde A}(x),\mu_{\widetilde B}(y)), (x,y) \in U_x \times U_y$$
Согласно этому утверждению разработаем правила, которые будут применяться на основных этапах проектирования систем типа Сугэно на примере создания системы нечеткого логического вывода, моделирующей зависимость.
Проектирование системы нечеткого логического вывода типа Сугэно состоит в выполнении следующей последовательности шагов. Сначала вводим входные переменные $$x_1,x_2$$ и выходную $$y$$. Обозначим термы и введем диапазон изменения переменных согласно выведенным правилам. Каждому терму будет соответствовать три переменные на входе это $$х1 – К, КС, МК, х2 – Т,МТ.ТС, $$ на выходе $$у –M,MG,G$$. Тип функции выберем gaussmf $$(\mu_{(x)}=e^{-\frac {(x-b)^2} {z \cdot c^2} } )$$ симметричная гауссовская функция принадлежности) [25]. Количество точек дискретизации для построения функции принадлежности возьмем равное 181 (Рисунок 12.8).
(рис 12.8) Модель система Сугэно
На следующем этапе прописываются правила (соответствующие комбинации термов, указанные в таблица 12.1). Согласно этим правилам строится модель нечеткой системы.
(рис 12.9) Правила для создания графиков кодирования
Результат моделирования отображается в графическом окне. Входной вектор в каждом из этих вариантов определения исходных данных, задается набором вертикальных линий (см. рис 12.10)
(рис 12.10) Отображение результата нечеткого вывода
Построенная модель прохождения пакетов позволяет сделать выбор маршрута быстро без лишних расчетов, учитывая необходимую стратегию маршрутизации.
В данном случае х1 =3 – это количество переходов, х2 =3,5 Мбит/с – скорость передачи информации, у=0,8 сек – время которое будет затрачено на прохождение по данному маршруту, все это отображено в окне.
В MATLAB имеется встроенный пакет расширения fuzzy, в котором есть компонент моделирования системы Сугэно в виде поверхностей "входов" и "выходов" синтезированной нечеткой системы.
Меню X (input), Y (input), Z (output) позволяют поставить в соответствие осям координат входные и выходные переменные.
Данное средство просмотра правил вывода позволяет наглядно отобразить сам процесс маршрутизации и быстро получить результат поиска, не применяя сложных расчетов.
(рис 12.11) Поверхность «входы» и «выходы» для системы Сугэно, определяющие выбор маршрута в сети в зависимости от входных параметров
На рис 12.11 показана зависимость у (время прохождения пакета по сети) от х1 (количества переходов) и х2 (скорость передачи информации). Значения у соответственно меняются в зависимости от задаваемых входных переменных.
Приведенный пример показывает насколько просто и эффективно можно применить нечеткую логику для обработки экспериментальных данных.
Краткие итоги
В лекции были рассмотрены основные понятия нечеткого множества. Отличия нечеткого подмножества от обычного. Оно отличается тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "нет" относительно свойства R.
Графическое изображение нечеткого подмножества. Приведен пример использования нечеткой логики для обработки данных с применением программы MATLAB. Эта программа имеется встроенный пакет расширения fuzzy, в котором есть компонент моделирования системы Сугэно в виде поверхностей "входов" и "выходов" синтезированной нечеткой системы.
Вопросы для самопроверки
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.