Цель лекции. Показать построение финансовой модели: как выделить данные и как построить решение. Научить работать с данными и функциями в матричном виде, использовать финансовые функции для индексных переменных. Продемонстрировать представление результатов в виде графиков.
Финансовая математика изучает соотношения между размерами платежей, сроками выплат и процентными ставками, возникающими в коммерческих сделках и финансово-банковских операциях [8,9,10]. Начиная с версии системы Mathcad 2001 PRO/Premium, в программу введен пакет финансовых функций. Любая из финансово-экономических функций предназначена для вычисления значения одного из финансовых параметров -экономических расчетов по заданным значениям других параметров Расчеты будем производить, используя математические формулы и встроенные финансовые функции. Проведем финансовые расчеты с использованием программы Mathcad [11,12].
Простейшей финансовой операцией является предоставление в долг в некоторый начальный момент суммы $$pv$$ с условием, что будет возвращена сумма $$fv$$. Эффективность такой операции определяется процентной ставкой $$r=(fv– pv)/pv$$. Доходность денег зависит от длительности их использования. Время в финансовых вычислениях измеряется в периодах.
Основные финансовые параметры:
В финансовой практике используются различные схемы. Схема простых процентов предполагает начисление процентов к базовому капиталу $$pv $$за срок $$nper $$. Будущая стоимость составляет $$fv=pv\cdot (1+r\cdot nper)$$
Наращенная стоимость является линейной функцией от ставки. Вычисления в схеме простых процентов элементарны. Простые проценты используются при краткосрочных операциях.
Сложные проценты начисляются по ставке $$r$$ на сумму, которая растет. После каждого начисления процентов осуществляется их капитализация, то есть на следующий период проценты начисляются к наращенной сумме. Математические выражения имеют вид степенных функций, вычисления по схеме сложных процентов более сложные. Разработана целая серия финансовых функций. В них заложен алгоритм схемы сложных процентов. Любая из финансово-экономических функций предназначена для вычисления значения одного из финансовых параметров экономических расчетов по заданным значениям других параметров. Некоторые финансовые функции, используемые в задачах, приведены в приложении. Рассмотрим расчеты финансовых параметров для разных видов денежных потоков по схеме сложных процентов.
Элементарный денежный поток - денежный поток без дополнительных или периодических выплат. Рассматриваем схему сложных процентов[[8,9]. Пусть проценты начисляются раз в год. Поскольку начисление процентов идет на наращенную сумму, будущая стоимость за n лет составит.
$$fv=pv(1+r)^n$$
Сумма растет по закону геометрической прогрессии с постоянным знаменателем $$(1+r)$$. Пусть сумма $$pv $$вложена на $$n$$ лет с начислением процентов $$m$$ раз в год. Чем больше количество начислений $$m$$, тем больше наращенная стоимость $$fv$$. Проделав несложные преобразования, получаем выражения для других финансовых величин:
$$fv=pv(1+r/m)^{nm}$$
$$pv=fv/(1+r/m)^{mn}$$
$$r=m[(fv/pv)^{1/mn}-1]$$
$$nper =\ln(fv_n/pv)/\ln(1+r/m)$$
Вычислению каждой финансовой величины соответствует соответствующая финансовая функция.
Годовая ставка, обеспечивающая то же значение наращенной суммы $$fv $$ при одноразовом в течение года начислении процентов, что и $$m$$ - разовое с периодической ставкой r/m называется эффективной ставкой. Вкладывая одну денежную единицу $$pv=1$$ на 1 год ($$n=1$$) при частоте начисления $$m$$ раз в год получаем
$$r=(fv-1)/1=1\cdot(1+r/m)^{1\cdot m}-1=(1+r/m)^m-1=r_{eff}$$
$$r_{eff}=(1+r/m)^m$$
$$r_{eff}$$ - эффективный годовой процент, получаемый при вложении за один год.
С введенной эффективной ставкой формулы ( 2.3-2.6) имеют вид
$$fv=pv(1+r_{eff})^n$$ $$pv=fv_n/(1+r_{eff})^n$$ $$r=m[(fv/pv)^{\frac{1}{mn}}-1]$$ $$n=\log(fv_n/pv)/\log(1+r_{eff})$$Проценты могут начисляться даже чаще, чем один раз в день. При бесконечно частом $$m\to \infty$$) дроблении года на малые процентные периоды, то есть при непрерывном наращении сложных процентов получается показательный закон роста $$fv=pv \lim_{m \to \infty}(1+r/m)^m=pv\cdot e^r$$
Процентную ставку $$r$$, являющуюся показателем степени в формуле множителя непрерывного наращения, называют интенсивностью или силой роста. Она связана с годовой эффективной ставкой процента $$r_{eff}$$ соотношением $$e^r=r_{eff}$$
Проведем ряд финансовых расчетов двумя способами: по математическим формулам, приведенным выше, и с использованием встроенных финансовых функций. Проанализируем, как работают финансовые функции в MathCAD. Если входные величины даны в виде ряда значений, представляем их векторами. Рассчитанные финансовые величины также имеем также в виде векторов. Альтернативно используем встроенные финансовые функции. Результаты демонстрируем в графическом виде.
Задача 2.1.
Облигация номиналом 500 тыс. руб. выпущена на 5 лет при номинальной (годовой) ставке процента 10 %. Держатель облигации будет капитализировать проценты. Определить будущую стоимость при начислении процентов: один раз в год, один раз в полугодие, раз в квартал, ежемесячно. Для каждого варианта определить эффективную ставку процента.
Решение (рис.2.1).
Количество начислений в году m вводим в виде вектора. При расчете используем формулу (2.3) и альтернативно встроенные финансовые функции $$fv(rate, nper, pmt, pv, type)$$ – будущая сумма и $$eff(r,m)$$ эффективная ставка. Рассчитанные финансовые величины $$fv1 $$будущую стоимость и $$reff $$ эффективную ставку также имеем в виде векторов. Все финансовые функции при расчетах учитывают движение денег: если в начале срока сумма $$pv $$ вносится – отрицательна, тогда будущая сумма $$fv$$ после начисления процентов будет получена – положительна.
$$ORIGIN:=1$$
Входные данные:
$$pv:=500$$, $$r:=10%$$, $$n:=5$$, $$m:=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}$$
Количество начислений в году. Решение:
$$i:=1..4$$
$$fvl_i$$ – будущая стоимость, $$reff_i$$ – эффективная ставка для начисления $$m_i$$ раз в год
$$fvl_i:=pv\cdot (1+\frac{r}{m_i})^{n\cdot m_j}$$, $$fv1:=\begin{pmatrix} 805.26 \\ 814.45\\ 819.31 \\ 822.65 \end{pmatrix}$$, $$reff_i:=pv\cdot (1+\frac{r}{m_i})^{m_j}$$, $$reff:=\begin{pmatrix} 0.1 \\ 0.103\\ 0.104 \\ 0.105 \end{pmatrix}$$
Используем встроенные функции $$fv()$$ и $$eff()$$ – эффективная ставка
$$fvfi:=fv(\frac{r}{m_i},n,0,-pv,0)$$, $$reff_i:=eff(r,m_i)$$
$$fvf:=\begin{pmatrix} 0.1 \\ 0.103\\ 0.104 \\ 0.105 \end{pmatrix}$$, $$reff:=\begin{pmatrix} 805.26\\ 638.14\\ 565.7 \\ 521.18 \end{pmatrix}$$
$$m_i$$ – будущая сумма от числа начислений процентов в году, $$reff $$– будущая сумма от эффективной ставки
(рис 2.1) Расчет будущей стоимости и эффективной процентной ставки
Задача 2.2.
Вклад 50000 руб.помещен в банк. За сколько лет будет накоплена сумма в 60000 руб., 100000 руб, 800000 руб., если годовая ставка равна 10%, 12%,15%,20%, 25%. Рассчитать варианты. Проценты начисляются один раз в квартал.
Решение (рис.2.2).
Данные: $$pv$$, процентную ставку $$r$$ вводим как векторы. Количество периодов – $$per_{ij}$$ – матрица: $$i$$—количество накопленных сумм, $$j$$ – количество ставок. Расчет выполнен по формуле (2.12). Выбирая для расчета финансовую функцию, следует сказать, что в Mathcad введены разные функции для расчета элементарного потока и для периодического потока, в отличие от пакета русских функций (например, в пакете MS Excel), в котором функция одна – $$кпер()$$. Функция $$cnper () $$ возвращает число составных периодов, необходимых для получения будущего значения вклада при заданных текущем значении вклада и проценте начислений, при этом $$pv>0$$, $$fv >0$$. Функция $$nper ()$$ возвращает число периодов для вклада или займа, основанных на периодичности, постоянных платежах, использующих фиксированную процентную ставку, и особое текущее значение. Эту функцию рассмотрим позже. В данной задаче выбираем функцию $$cnper(r,pv,fv)$$. На рисунке 2.2 показан графики зависимости срока накопления от будущей суммы и ставки.
Расчет срока накопления.
Входные данные
$$pv:=5000$$, $$r:=\begin{pmatrix} 10\% \\ 12\%\\ 15\% \\ 20\% \\ 23\% \end{pmatrix}$$, $$fv:=\begin{pmatrix} 6000 \\ 10000\\ 80000 \end{pmatrix}$$, $$m:=4$$
Решение:
$$ORIGIN:=1$$, $$i:=1..3$$, $$j:=1..5$$
Срок погашения – количество периодов $$per_{ij}$$ для $$fv_i$$ и $$r_j$$
$$per_{ij}:=\frac{\frac{\ln(\frac{fv_i}{pv})}{\ln(1+\frac{r_j}{m})}}{m}$$
$$r^T=\begin{pmatrix}0.1 0.12 0.15 0.2 0.23 \end{pmatrix}$$
$$per=\begin{pmatrix} 1.8 1.5 1.2 0.9 0.8 \\ 7 5.9 4.7 3.6 3.1 \\ 28.1 23.4 18.8 14.2 12.4 \end{pmatrix}$$
$$fv=\begin{pmatrix} 6000 \\ 10000\\ 80000 \end{pmatrix}$$
Применим финансовую функцию:
$$perf_{i,j}:=\frac{cnper(\frac{r_j}{m},pv,fv_i)}{m}$$
$$perf=\begin{pmatrix} 1.8 1.5 1.2 0.9 0.8 \\ 7 5.9 4.7 3.6 3.1 \\ 28.1 23.4 18.8 14.2 12.4 \end{pmatrix}$$
Простроение графиков срока накопления от будущей стоимости и ставки
Построим график $$W(fv,r):=\frac{\frac{\ln(\frac{fv}{pv})}{\ln(1+\frac{r}{m})}}{m}$$, $$per1_{i,j}:=W(fv_i,r_i)$$
$$M=CreateMesh\begin{pmatrix} W 6000 80000 0.1 0.25\end{pmatrix}$$ - срок накопления от ставки $$r$$ и накопленной суммы $$fv$$
(рис 2.2) Графики срока накопления от будущей стоимости и ставки
Рассмотрим последовательность распределенных во времени выплат и платежей [8,9]. Поток платежей, все составляющие которого положительны и поступают через одинаковые интервалы времени, называется финансовой рентой или аннуитетом. Пусть имеем постоянную финансовую ренту (рента называется постоянной, если все платежи имеют одинаковую величину), периодический платеж $$pmt=const$$.
Рассмотрим будущую стоимость ренты $$fv$$ за $$n$$ лет, для простоты пусть проценты начисляются один раз в год. Наращение стоимости ренты осуществляется за счет поступающих платежей и начисления на них процентов, причем, срок наращения каждого нового платежа на единицу меньше предыдущего. Будущая стоимость ренты имеет вид:
$$fv=\sum_{i=0}^{n-1}pmt\cdot (1+r)^i=pmt+pmt(1+r)+mt(1+r)^2+...+pmt(1+r)^{n-1}$$
Ряд (2.15) представляют собой геометрическую прогрессию. Для $$n$$ членов геометрической прогрессии $$a_0, a_1 , a_2 ,...,a_{n-1}$$ со знаменателем $$\frac{a_k}{a_{k-1}}=q$$ сумма равна
$$S=\frac{a_0(q^n-1)}{q-1}$$
Будущая стоимость ренты (2.15) - геометрическая прогрессия с $$a_0 = pmt$$, $$q=1+r$$. Тогда $$fv=pmt[(1+r)^n-1]/r$$
Размер платежа при наращении ренты можно определить из (2.17)
$$pmt=\frac{fv\cdot r}{(1+r)^n-1}$$
Срок накопления $$n$$ будущей суммы $$fv$$ при заданных процентной ставке $$r$$ и платеже $$pmt $$ из (2.18) может быть определен следующим образом.
$$\frac{fv}{pmt}\cdot r+1=(1+r)^n$$ или $$n=\frac{\ln(\frac{fv}{pmt}\cdot r +1)}{\ln(1+r)}$$
Деньги, полученные в настоящий момент, более предпочтительны, чем деньги, которые будут получены в будущем. Для потока платежей представляет интерес оценка стоимости на начальный момент времени – современная стоимость. Переоценка будущего платежа на более ранний момент времени, называется математическим дисконтированием. Процентная ставка $$r$$, с учетом которой оценивается современная стоимость, называется ставкой дисконтирования. Дисконтирование денежного платежа$$ pmt $$ на $$m$$-м шаге осуществляется путем умножения его значения на коэффициент дисконтирования $$\frac{1}{(1+r)^m}$$, тогда дисконтированная стоимость $$pv$$ потока платежей ренты к начальному моменту по ставке $$r$$ равна:
$$pv=\sum_{i=1}^{n}\frac{pmt}{(1+r)^i}=\frac{pmt}{(1+r)}+\frac{pmt}{(1+r)^2}+...+\frac{pmt}{(1+r)^n}$$
Современная стоимость $$pv$$ - геометрическая прогрессия с $$a_0 = pmt /(1+r)$$, $$ q=1/(1+r)$$, тогда
$$pv=\frac{pmt}{(1+r)}[(1+r)^{-n}-1]/((1+r)^{-1}-1)$$
$$pv=\frac{pmt}{r}[1-(1+r)^{-n}]$$
Размер платежа погашения ренты можно определить из (2.22)
$$pmt=\frac{pv\cdot r}{[1-(1+r)^{-n}]}$$
Срок ренты, соответственно, и количество платежей $$n$$ при современной стоимости ренты $$pv$$ , процентной ставке $$r$$ и платеже $$pmt$$ из (2.23) равен
$$n=-\frac{\ln(1-\frac{pv\cdot r}{pmt})}{\ln(1+r)}$$
Рента пренумерандо - первый платеж поступает в начале первого периода, и рента постнумерандо – платеж поступает в конце периода. Вводится параметр $$t$$ , который учитывает тип ренты. Выражение для $$fv$$ (2.18), где учитывается тип ренты $$t$$, будет иметь вид :
$$pmt=\frac{[(1+r)^{-n}-1]}{r}\cdot (1+t\cdot r)$$
где $$t$$ – тип ренты: $$t=0$$ или опущен - рента постнумерандо, выплата в конце периода, $$t=1$$ – рента пренумерандо, выплата в начале периода. Для $$t=1$$ появляется дополнительный член $$pmt[(1+r)^n-1]$$ . Так учитывается более раннее поступление денег и удлинение на один период срока начисления процентов.
Для расчета будущего значения $$fv$$ используется формула (1.28), а для расчета периодического платежа $$pmt$$ выражение
$$pmt=r\cdot \frac{fv}{[(1+r)^n-1]\cdot (1+r\cdot t)}$$
В финансовых функциях тип ренты учитывается параметром $$[type]$$, который равен 0 (постнумерандо) и равен 1 (пренумерандо).
Задача 2.3.
Предприятие предполагает получить кредит в банке 2000 тыс.руб. Кредит будет погашаться равными долями ежегодно, в конце года. Определить ежегодные платежи предприятия, если кредит берется на: 1, 2, 3, 4, 5 лет . Расчет провести для трех значений ставок :5%, 10%, 18%.
Решение (рис.2.3)
Данные вводим в виде векторов $$r_i$$ и $$n_j$$. Годовой платеж $$C_{ij}$$. - матрица. При расчете используем формулу (2.23) и альтернативно финансовую функцию $$pmt (rate, nper, pv, [fv], [type])$$, которая находит периодический постоянный платеж через данное число периодов $$nper $$ по фиксированной процентной ставке $$rate$$, вкладу (заему) $$pv$$, $$fv$$- остаток долга, $$[type]$$ – тип ренты. В квадратных скобках необязательные аргументы. Предполагаются распределенные во времени переходы денежных сумм от одного владельца к другому. Поскольку кредит – положительная величина поступление денежных средств к заемщику в начальный момент $$pv>0$$, выплаты второму участнику операции соответствуют отрицательным платежам $$C < 0$$.
Обозначим $$C$$ – платеж, $$i$$ –номер ставки, $$j$$ – номер года
$$pv:=2000$$, $$r:=\begin{pmatrix} 5\% \\ 10\%\\ 18\% \end{pmatrix}$$, $$n:=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$$
Решение:
$$ORIGIN:=1$$, $$i:=1..3$$, $$j:=1..5$$
Платежи
$$(C_{i,j}):=pv\cdot \frac{r_i}{[1-(1+r_i)^{-n_j}]}$$
$$C=\begin{pmatrix} 1 год 2 года 3 года 4 года 5 лет \\ 2100 1075.61 734.42 564.02 461.95 \\ 2200 1152.38 804.23 630.94 527.59 \\ 2360 1277.43 919.85 743.48 639.56 \end{pmatrix}$$, $$r=\begin{pmatrix} 0.05 \\ 0.1 \\ 0.18 \end{pmatrix}$$
Используем встроенную функцию $$pmt(r,n,pv,fv,t)$$
$$C1_{i,j}:=pmt(r_i,n_i,pv,0,0)$$
$$C1=\begin{pmatrix} -2100 -1075.61 -734.417 -564.024 -467.95 \\ -2200 -1152.381 -804.23 -630.942 -527.595 \\ -2360 -1277.431 -919.858 -743.477 -639.556 \end{pmatrix}$$
Суммарные выплаты для разных сроков
$$S_{i,j}:=C_{i,j}\cdot j$$
$$C=\begin{pmatrix} 1 год 2 года 3 года 4 года 5 лет \\ 2100 2151 2203 2256 2310 \\ 2200 2305 2413 2524 2638 \\ 2360 2555 2760 2974 3198 \end{pmatrix}$$, $$r=\begin{pmatrix} 0.05 \\ 0.1 \\ 0.18 \end{pmatrix}$$
Построим график: платежи и суммарные выплаты от ставки и по годам
$$W(r,n):=pv\cdot \frac{r}{[1-(1+n)^{-n}]}$$
$$M=CreateMesh(W,0.01,0.2,1,5) $$
(рис 2.3) Графики
Задача 2.4.
Проанализировать, сколько лет предприятие будет расплачиваться с кредитом в размере 90 млн.руб, при разных вариантах ежегодных выплат: 30 млн.руб., 60 млн.руб, 80 млн.руб. Выплаты поступают в конце года. Рассматриваются процентные ставки 10%, 12%,15%, 20%,25%. Проценты начисляются раз в год. Каковы суммарные выплаты предприятия для каждого варианта ставки и ежегодного платежа.
Решение. (рис. 2.4)
Данные вводятся в виде векторов: $$pmt $$ и $$r$$. Для расчета срока оплаты кредита $$n_{ij}$$ для разных выплат $$pmt_i$$ и ставки $$r_j$$ используем формулу (2.24). Из финансовых функций выбираем $$nper (rate,pmt, pv, [[fv], [type])$$, которая находит число периодов для вклада (займа) pv, периодичных постоянных платежей $$pmt$$, использующих фиксированную процентную ставку $$rate$$; $$fv$$- остаток долга, $$[type]$$ – тип ренты. В квадратных скобках необязательные аргументы. Финансовая функция $$nper()$$ при расчетах учитывает движение денег: если платежи вносятся – отрицательные, то $$pv$$ сумма кредита получена - величина положительная.
Расчет срока погашения кредита.
Входные данные: Обозначим $$pmt$$ – платеж, $$j$$ – номер ставки, $$i$$ – номер платежа
$$pv:=90$$, $$pmt:=\begin{pmatrix} 30 \\ 60 \\ 80 \end{pmatrix}$$, $$r:=\begin{pmatrix} 10\% \\ 12\% \\ 15\% \\ 20\% \\ 25\% \end{pmatrix}$$
$$ORIGIN:=1$$, $$i:=1..3$$, $$j:=1..5$$
$$n_{i,j}:=\frac{-\ln(1-\frac{pv\cdot r_j}{pmt_i})}{\ln(1+r_j)}$$
$$r^T=\begin{pmatrix} 0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 \end{pmatrix}$$
$$n=\begin{pmatrix} 3.7 3.9 4.3 5 6.2 \\ 1.7 1.8 1.8 2 2.1 \\ 1.3 1.3 1.3 1.4 1.5 \end{pmatrix}$$, $$pmt=\begin{pmatrix} 30\\ 60 \\ 80 \end{pmatrix}$$
Используем встроенную финансовую функцию $$nper(rate,pmt,pv,[fv],[type])$$
$$nf_{i,j}:=nper[r_j,(-pmt),pv,0,0]$$
$$nf=\begin{pmatrix} 3.7 3.9 4.3 5 6.2 \\ 1.7 1.8 1.8 2 2.1 \\ 1.3 1.3 1.3 1.4 1.5 \end{pmatrix}$$
Суммарные выплаты $$S$$ для серии ставок и ежегодных платежей
$$S_{i,j}:=n_{i,j}\cdot pmt_i$$
$$r^T=\begin{pmatrix} 0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 \end{pmatrix}$$
$$S=\begin{pmatrix} 112 118 128 151 186 \\ 102 105 109 117 126 \\ 100 102 106 112 118 \end{pmatrix}$$, $$pmt=\begin{pmatrix} 30\\ 60 \\ 80 \end{pmatrix}$$
(рис 2.4) Графики
Построим график: срок выплаты от ставки и по годам
$$W(r,pmt):=\frac{-\ln(1-\frac{pv\cdot r}{pmt_i})}{\ln(1+r)}$$
$$M=CreateMesh(W,0.1,0.25,30,60) $$
Задача 2.5.
Рассчитать годовую процентную ставку для кредита 180 млн.руб., выданного на срок 5 лет. Оплата кредита производится постоянными ежегодными выплатами. Проанализировать варианты ежегодных выплат: 50 млн.руб., 60 млн.руб., 70 млн.руб., 80 млн.руб.
Решение. (рис.2.5)
Для расчета ставки используем формулу (2.23). Платеж $$pmt$$ представляем в виде ранжированной переменной. Строим функцию
$$f(pmt,r)=pmt-\frac{pv\cdot r}{[1-(1+r)^{-n}]}$$, $$f(pmt,r)=0$$
и решаем уравнение численно относительно $$r$$, используя функцию $$root()$$ для разных платежей.
Из финансовых функций выбираем $$rate(nper,pmt,pv,[fv],[type],[guess] )$$ , где $$guess$$ — начальное значение корня для аппроксимации. Пусть $$guess=0.1(10\%)$$.
Входные данные
Обозначим $$pv$$ – сумма кредита, $$pmt$$ – платежи, $$n$$ –срок, $$r$$ – ставка
$$pv:=180$$, $$n:=5$$, $$m:=1$$, $$pmt:=50, 60..80$$
Решение:
$$f(pmt,r):=[pmt-\frac{pv\cdot r}{[1-(1+r)^{-n}]}]$$
$$r:=0.11$$
$$r1(pmt):=root(f(r,pmt),r)$$
$$r1(pmt):=\begin{array}{|c|} \hline 0.12 \\ \hline 0.2 \\ \hline 0.27 \\ \hline 0.34 \\ \hline \end{array}$$
(рис 2.5) График процентной ставки от платежа
Применим финансовую функцию
$$pmt:=50, 60..80$$
$$rf(pmt):=rate(n,-pmt,pv,0,0,0.1)$$
$$rf(pmt):=\begin{array}{|c|} \hline 0.12 \\ \hline 0.2 \\ \hline 0.27 \\ \hline 0.34 \\ \hline \end{array}$$
Задача 2.6.
Банк планирует ежегодно получать гарантированные денежные поступления в размере 23 млн.руб. в течение 5 лет. Какой кредит должен предоставить банк при годовой процентной ставке 15%, 20%, 22% ?
Решение. (рис.2.6)
Здесь используем формулу (2.22) и альтернативно финансовую функцию $$pv (rate,nper, pmt, [fv], [type])$$, которая находит текущее значение заема, основанное на периодичности и постоянных платежах $$pmt$$, через данное число составных периодов $$nper$$, использующее фиксированную процентную ставку $$rate, [type]$$ – тип ренты. Данные и функции представляем в виде матриц. Поскольку платежи поступают в банк $$pmt>0$$, финансовая функция рассчитает суммы кредита отрицательные.
Входные данные
Обозначим $$pmt$$ – ежегодные денежное поступление, $$n$$ – годы, $$r$$ – процентная ставка, $$pv$$ – кредит
$$pmt:=10\cdot 10^6$$
$$n:=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$$
$$r:=\begin{pmatrix} 0.15 \\ 0.20 \\ 0.22 \end{pmatrix}$$
Решение:
$$ORIGIN:=1$$, $$i:=1..3$$, $$j:=1..4$$
$$pv1_{i,j}:=pmt\cdot \frac{[1-(1+r_i)^{-n_j}]}{r_i}$$
$$pv1=\begin{pmatrix} 8.696\times 10^6 1.626\times 10^7 2.283\times 10^7 3.352\times 10^7 \\ 8.333\times 10^6 1.528\times 10^7 2.106\times 10^7 2.991\times 10^7 \\ 8.197\times 10^6 1.492\times 10^7 2.042\times 10^7 2.864\times 10^7 \end{pmatrix}$$
Используем для рассчета финансовую функцию
$$pvf_{i,j}:=pv(r_i,n_j,pmt)$$
$$pvf=\begin{pmatrix} -8.696\times 10^6 -1.626\times 10^7 -2.283\times 10^7 -3.352\times 10^7 \\ -8.333\times 10^6 -1.528\times 10^7 -2.106\times 10^7 -2.991\times 10^7 \\ -8.197\times 10^6 -1.492\times 10^7 -2.042\times 10^7 -2.864\times 10^7 \end{pmatrix}$$
Построим диаграмму: Размер кредита от ставки по годам
(рис 2.6) Размер кредита от ставки по годам
Рассмотрим нерегулярный денежный поток – поток неравных платежей $$CH_1, CH_2 …CH_n$$ , совершаемых через неравные промежутки времени [1,3]. Процентная ставка r – постоянна, n – число периодов, платежи $$CH_1, CH_2, …$$ различаются по величине и знаку. Положительные $$CH_igt;0$$ – доходы, отрицательные $$CH_i lt;0$$ – вложения (затраты).
Для оценки текущей стоимости используется дисконтирование денежных потоков – приведение их разновременных значений к стоимости на определенный момент времени, который называется моментом приведения [8,13,14] . Используется ставка дисконтирования $$r$$, которая отражает стоимость денег с учетом временного фактора. Результат приведения нерегулярного потока к моменту $$i=1$$ поступлений - дисконтированная стоимость потока равная сумме дисконтированных поступлений - $$DCH_i$$ имеет вид:
$$DCH_i=\frac{CH_i}{(1+r)^i}$$
$$диск\_стоимость=\sum_{i=1}^{n}DCH_i=\frac{CH_1}{(1+r)}+ \frac{CH_2}{(1+r)^2}+…+\frac{CH_n}{(1+r)^n}$$
Пусть в начальный момент $$i=0$$ вложена сумма денег - начальная инвестиция $$I$$ , она отрицательна. Для оценки эффективности финансовой операции вложения вводится показатель - чистая современная стоимость $$npv (net present value)$$ (или чистая дисконтированная стоимость, или чистый дисконтированный доход):
$$диск\_стоимость=I+\frac{CH_1}{(1+r)}+ \frac{CH_2}{(1+r)^2}+…+\frac{CH_n}{(1+r)^n}=I+\sum_{i=1}^{n}\frac{CH_i}{(1+r)^i}$$
Чистая дисконтированная стоимость показывает, насколько современная стоимость текущих платежей (доходов и вложений) превышает инвестиционные затраты $$I$$ в начальный момент времени.
Отношение дисконтированного денежного потока к первоначальным инвестициям:
$$PI=\frac{\sum_{i=1}^{n}DCH_i}{I}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{CH_i}{(1+r)^i}}{I}$$
Показатель $$PI$$ также оценивает эффективность вложения инвестиций. Если дисконтированная стоимость превышает инвестиционные затраты $$I$$ в начальный момент времени то $$PIgt;1$$.
Таким образом, $$PIgt;1$$ — вложение инвестиций выгодно, $$PI lt; 1 $$— вложение инвестиций невыгодно, $$PI = 1$$ — ни прибыли, ни убытков.
Представляет интерес определение ставки $$r$$, при которой все дисконтированные положительные выплаты (доходы), начальная инвестиция $$I$$ и дисконтированные отрицательные выплаты (затраты) уравниваются [13,14]. Такое значение $$r$$ называется внутренней нормой доходности – $$irr$$ (internal rate of return). Значение $$irr$$ определяется решением уравнения $$npv=0 $$ относительно $$r$$:
$$I+\sum_{i=1}^{n}\frac{CH_i}{(1+r)^i}=0$$
Внутренняя норма доходности имеет смысл нормы дохода на инвестицию, если имеется одно поступление денег. Действительно, если начальная инвестиция $$CH_0$$, поступает один платеж $$CH_1$$ , имеем
$$-CH_0+CH_1/(1+irr)=0$$, $$irr=(CH_1-CH_0/CH_0$$
Таким образом, чистая дисконтированная стоимость показывает, достигнут ли инвестиции за экономический срок их жизни желаемого уровня отдачи. Различные варианты:
Параметр, определяющий временную характеристику потока - срок окупаемости - минимальный временной период, за который инвестиция и доходы перекрывают все расходы [13,14]. Момент окупаемости - наиболее ранний момент времени в расчетном периоде, в который кумулятивные (накопленные) денежные поступления обращаются в нуль и в дальнейшем остаются неотрицательными. Различают срок окупаемости простого потока (рассчитываются простые поступления) $$pbp $$ (Pay-Back Period) и дисконтированного потока (рассчитываются дисконтированные поступления) – $$dpbp$$ (Discounted Pay-Back Period). Срок окупаемости определяется по следующим уравнениям:
Срок окупаемости рассчитывается в периодах, в которые поступают платежи. Затем можно пересчитать для любых единиц (годы, кварталы и т.д.).
Рассмотрим этапы расчета срока окупаемости.
Пусть платежи поступают по годам.
Схема расчета срока окупаемости $$pbp$$ для простого потока.
Схема расчета срока окупаемости dpbp для дисконтированного потока.
Пример 2.1
Вложена начальная инвестиция 10 млн. руб. В первый год вкладывается еще 1 млн.руб. Предполагаемые денежные доходы в последующие три года: 3 млн, 5 млн, 8 млн. руб. Рассчитать срок окупаемости простого и дисконтированного потока, для ставки дисконтирования 10%.
| Период | Денежные поступления (млн.руб.) | Накопленный денежный поток | Дисконтированные поступления по ставке 10% | Накопленный дисконтированный денежный поток |
| 0 | -11 | -11 | -11 | -11 |
| 1 | -1 | -12 | -0,91 | -11,91 |
| 2 | 8 | -4 | 6,61 | -5,30 |
| 3 | 5 | 1 | 3,76 | -1,54 |
| 4 | 8 | 9 | 5,46 | 3,92 |
Срок окупаемости простого потока.
Простой поток на 2 год еще не окупился (накопленный поток = - 4), но за счет поступления 5 млн. за 3 год уже окупился. Срок окупаемости $$Pbp =2+4/5=2,8$$ года.
Срок окупаемости дисконтированного потока.
Дисконтированный поток на 3 год еще не окупился (накопленный поток = - 1,54 млн), но за счет поступления 5,46 млн. за 4 год уже окупился. Срок окупаемости $$dpbp =3+1,54/5,46=3+0,28 =3,3$$ года.
Задача 2.7.
Имеется поток денежных платежей разной величины и знака. Срок денежного потока 6 лет. В начале срока вложена сумма 850 тыс. руб. В первый и второй год предполагается вложить еще 250 и 100 тыс. руб., соответственно. Предполагаемые дальнейшие денежные поступления: 550, 700, 500 и 220 тыс.руб. (см. таблицу 2.2). Определить финансовые параметры денежного потока: чистую современную стоимость $$npv$$, внутреннюю норму доходности $$irr$$, сроки окупаемости: $$pbp$$ для простого потока и $$dpbp$$ для дисконтированного потока. Построить финансовый профиль денежного потока и график $$NPV (r)$$, демонстрирующий внутреннюю доходность.
| Год | Поступления (тыс.руб) |
| 0 | -850 |
| 1 | -250 |
| 2 | -100 |
| 3 | 550 |
| 4 | 700 |
| 5 | 500 |
| 6 | 220 |
Решение.
Приведено на рисунках 2.7, 2.8 и 2.9. Здесь используем уравнения (2.28), (2.30), (2.32), (2.34), (2.35). Данные вводим в виде векторов: годы поступлений $$t_k $$, в момент $$t_1=0 $$ поступает инвестиция $$CH_1=-850 , CH_k$$ – поступления для $$k=2…6$$. Для расчета дисконтированной стоимости, надо выбрать ставку дисконтирования r. Выбор ставки дисконтирования определяется многими факторами: экономической конъюнктурой, типом осуществляемых инвестиций, степенью риска. Расчет проведен для 6 ставок в диапазоне от 0 до 30%, вектор $$r_j \; j=1…6$$ – ставки дисконтирования. Дисконтированные платежи $$DCH_{k,j}$$ и чистая дисконтированная стоимость $$NPV_{k,j} $$ для моментов времени $$t_k$$ и ставок $$r_j $$ рассчитаны в виде матриц. Найдена внутренняя доходность $$irr = 14\%$$. Для ставок дисконтирования , больших внутренней доходности $$r_j gt;14\% ( jgt;3) NPV$$ отрицательна. Построен финансовый профиль - графическое представление чистых кумулятивных денежных поступлений и чистой дисконтированной стоимости с нарастающим итогом для $$t_k$$ при норме дисконта $$r_j$$. Рассчитаны времена окупаемости для простого потока pbp=3.9 года и дисконтированного потока для $$r_j.lt; 14\%, dpbp_1= 4$$, года ($$r$$ дисконтирования 5%= ) и $$dpbp_2$$=4,9 года ($$r$$ дисконтирования =10% ) . Денежный поток окупается до конечного срока. Для ставок, больших внутренней доходности $$irr $$, денежный поток не окупается.
Финансовые параметры денежного потока неравных платежей
$$ORIGIN:=1$$
Платежи и инвестиции: $$CH:=\begin{pmatrix} -850 \\ -250 \\ -100 \\ 550 \\ 700 \\ 500 \\ 220 \end{pmatrix}$$
Время поступления (годы): $$k:=1..7$$, $$t:=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\\ 6\end{pmatrix}$$
Ставки дисконтирования: $$j:=1..6$$, $$r_j:=0.05\cdot (j-1)$$, $$r:=\begin{pmatrix} 0 \\ 0.05\\ 0.1 \\ 0.15\\ 0.2\\ 0.25 \end{pmatrix}$$
Решение:
Дисконтированные стоимости платежей $$DCH$$ для 6 ставок
$$DCH_{k,j}:=\frac{CH_k}{(1+r_j)^{t_k}}$$
$$DCH=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 \\ \hline 1 -850 -850 -850 -850 -850 -850 \\ \hline 2 -250 -238 -227 -217 -208 -200 \\ \hline 3 -100 -91 -83 -76 -69 -64 \\ \hline 4 550 475 413 362 318 282 \\ \hline 5 700 576 478 400 338 287 \\ \hline 6 500 392 310 249 201 164 \\ \hline 7 220 164 124 95 74 58 \end{array}$$
Чистая дисконтированная стоимость $$NPV$$ для 6 ставок
$$NPV_{k,j}:=(\sum_{i=1}^{k}DCH_{i,j})$$
$$NPV_{k,j}$$ - чистая приведенная стоимость для момента времени $$t_k$$ и ставки дисконтирования $$r_j$$
$$NVP=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 \\ \hline1 -850 -850 -850 -850 -850 -850 \\ \hline2 -1100 -1088 -1077 -1067 -1058 -1050 \\ \hline3 -1200 -1179 -1160 -1143 -1128 -1114 \\ \hline4 -650 -704 -747 -781 -809 -832\\ \hline5 50 -128 -269 -381 -472 -546\\ \hline6 550 264 42 -133 -271 -382\\ \hline7 770 428 166 -37 -197 -324 \\ \hline \end{array}$$
(рис 2.7) NPV для ряда ставок дисконтирования
Определение внутренней доходности
График чистой приведенной стоимости $$NPV$$ всего потока от ставки. Точка пересечения – внутренняя доходность.
(рис 2.8) Определение внутренней доходности
Для определения внутренней доходности используем финансовую функцию $$irr()$$: $$irr(CH)=0.14$$
Внутренняя доходность 14%.
График поступлений и $$NVP$$ от времени – финансовый профиль для разных ставок дисконтирования
Кумулятивный простой поток поступлений – чистые поступления
$$SCH_k:=\sum_{i=1}^{k}CH_i$$
$$SCH:=\begin{pmatrix} -850 \\ -1100 \\ -1200 \\ -650 \\ 50 \\ 550 \\ 770 \end{pmatrix}$$, $$CH:=\begin{pmatrix} -850 \\ -250 \\ -100\\ 550 \\ 700\\ 500\\ 220\end{pmatrix}$$
$$SCH_k:=NVP_{k,i}$$
NVP от времени для разных ставок дисконтирования – $$NVP_{k,j}$$ – кумулятивный дисконтированный поток или NVP с нарастающим итогом по годам $$k$$ для ставки дисконтирвования $$r_j$$
$$NVP=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 \\ \hline1 -850 -850 -850 -850 -850 -850 \\ \hline2 -1100 -1088 -1077 -1067 -1058 -1050 \\ \hline3 -1200 -1179 -1160 -1143 -1128 -1114 \\ \hline4 -650 -704 -747 -781 -809 -832\\ \hline5 50 -128 -269 -381 -472 -546\\ \hline6 550 264 42 -133 -271 -382\\ \hline7 770 428 166 -37 -197 -324 \\ \hline \end{array}$$
$$r:=\begin{pmatrix} 0 \\ 0.05\\ 0.1 \\ 0.15\\ 0.2\\ 0.25 \end{pmatrix}$$
(рис 2.9) Кумулятивные поступления и чистая дисконтированная стоимость от времени для ряда ставок дисконтирования
Определение индекса прибыльности и сроков окупаемости простого и дисконтированного потока.
Индекс рентабельности для разных ставок дисконтирования
$$PI_j:=\frac{\sum_{i=2}^{7}DCH_{i,j}}{(-CH)_1}$$ $$PI:=\begin{pmatrix} 1.91 \\ 1.5 \\ 1.2 \\ 0.96 \\ 0.77 \\ 0.62 \end{pmatrix}$$ $$r:=\begin{pmatrix} 0 \\ 5\% \\ 10\% \\ 15\% \\ 20\% \\ 25\% \end{pmatrix}$$PI в процентах:
$$PI:=\begin{pmatrix} 191\% \\ 150\% \\ 120\% \\ 96\% \\ 77\% \\ 62\% \end{pmatrix}$$Определение срока окупаемости (годы). Срок окупаемости pbp для простого потока:
Кумулятивный простой поток $$SCH$$ в 3 год $$SCH_4=-650$$ и меняет знак на 4 год = 50 засчет поступления $$CH_5=700$$ (тыс).
$$pbp:=3+\frac{(-SCH)_4}{CH_5}$$, $$pbp = 3.9$$
Сроки окупаемости dpbp дисконтированного поток адля разных ставок дисконтирования. Используем дисконтированные стоимости постулений $$DCH$$.
Для ставок дисконтирования $$r=5\%$$ ($$j=2$$) и $$r=10\%$$ ($$j=3$$) NPV меняет знак на 5 год.
$$dpbp_2:=4+\frac{-NVP_{5,2}}{DCH_{6,2}}$$$$r=5\%$$, $$dpbp_2=4.3$$
$$dpbp_3:=4+\frac{-NVP_{5,3}}{DCH_{6,3}}$$$$r=10\%$$, $$dpbp_3=4.9$$
Инвестиционный проект – комплекс действий (работ, услуг, управленческих операций и решений), направленных для осуществления действий, связанных с размещением капитала. Исходное условие инвестирования капитала – получение в будущем прибылей, которые возмещают инвестированные затраты капитала. Для принятия инвестиционных решений необходим экономический подход, учитывающий изменение ценности денег во времени. В основу анализа инвестиционных проектов положен инструмент финансовой математики – дисконтирование денежного потока. Рассмотренные выше финансовые показатели нерегулярного денежного потока являются базовыми показателями инвестиционного проекта. Кроме этого, водятся чисто экономические показатели
Денежный поток проекта — это зависимость от времени денежных поступлений и затрат, порожденных инвестиционным проектом, на протяжении всего периода его реализации.
Финансовыми показателями проекта являются
При анализе проекта $$npv$$ удобно записывать в виде:
$$npv=\sum_{}^{}доходы/(1+r)^n-\sum_{}^{}затраты/(1+r)^n-Инвестиции$$ где $$r$$ – ставка дисконтирования.
В качестве ставки дисконтирования в большинстве случаев выбирается величина средневзвешенной стоимости капитала и может быть скорректирована на показатели возможного риска, связанного с реализацией конкретного проекта и ожидаемого уровня инфляции. В качестве ставки дисконтирования можно выбрать доходность ценных бумаг с риском, аналогичным риску инвестиционного проекта. Иногда в качестве дисконтной ставки используется величина ставки рефинансирования.
Задача 2.8.
Предприятие инвестирует в модернизацию сумму в размере 500000 тыс. руб. Рассматривается проект в течение 1 года. Денежные потоки от операционной деятельности по кварталам в течение года представлены в таблице 2.3. Определить финансовые показатели проекта: чистую дисконтированную стоимость $$NPV$$, внутреннюю доходность проекта, индекс рентабельности, времена окупаемости. Построить финансовый профиль проекта. Провести анализ для разных ставок дисконтирования.
| Кварталы | Выручка (тыс.руб) | Затраты (тыс.руб) | Налоги и сборы (тыс.руб) | Инвестиции (тыс.руб) | Чистый денежный поток(тыс.руб) |
| 0 | -500000 | -500000 | |||
| 1 | 1388000 | 1240761 | 22086 | 125153 | |
| 2 | 1642000 | 1441951 | 30007 | 170042 | |
| 3 | 1833650 | 1557899 | 41363 | 234388 | |
| 4 | 1568000 | 1397181 | 25623 | 145196 |
Решение.
Представлено на рисунках 2.10, 2.11, 2.12. Для решения используем методику оценки денежного потока, приведенную в примере 2.7. Данные вводятся также в виде векторов. Дисконтированные стоимости и чистые дисконтированные стоимости рассчитываются в виде матриц. Инвестиционный анализ проведен для 5 ставок дисконтирования. Годовые ставки дисконтирования выбраны в диапазоне от 0 до 60%, вектор $$r_j$$ $$j=1…5$$. Поскольку денежные суммы поступают по кварталам, при расчетах используется периодическая ставка, равная $$r/4$$. Найденная внутренняя доходность проекта $$irr=50,3\%$$. Поэтому чистая дисконтированная стоимость положительна - $$NPV>0$$ для ставок дисконтирования до 50%, для ставки дисконтирования $$r_5 =60\%$$ $$NPV<0$$. Это демонстрирует финансовый профиль проекта. Индекс рентабельности $$PI>100\%$$ для ставок $$r<60\%$$. Проект окупается до ставок $$r< irr $$. Времена окупаемости определены.
Определение финансовых параметров инвестиционного проекта
$$ORIGIN:=1$$
Время поступления (кварталы): $$t:=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}$$, $$k:=1..5$$
Выручка: $$P:=\begin{pmatrix} 0 \\ 1388000\\ 1642000\\ 1833650\\ 1568000 \end{pmatrix}$$
Затраты: $$Z:=\begin{pmatrix} 0 \\ 1240761\\ 1441951\\ 1557899\\ 1397181\end{pmatrix}$$
Налоги и сборы: $$N:=\begin{pmatrix} 0 \\ 22086\\ 30007\\ 41363\\ 25623\end{pmatrix}$$
Инвестиции: $$I:=\begin{pmatrix} -500000 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$
Чистые поступления с инвестиций: $$CH:=P+I-Z-N$$, $$CH:=\begin{pmatrix} -500000 \\ 125153\\ 170042\\ 234388\\ 145196\end{pmatrix}$$
Ставки дисконтирования: $$j:=1..5$$, $$r_j:=0.15\cdot(j-1)$$, $$CH:=\begin{pmatrix} 0\\ 0.15\\ 0.3\\ 0.45\\ 0.6\end{pmatrix}$$
(рис 2.10) Дисконтированные стоимости и чистые приведенные стоимости проекта
Решение:
Дисконтированные стоимости $$DCH$$ для 5 ставок по кварталам
$$DCH_{k,j}:=\frac{CH_k}{(1+\frac{r_j}{4})^{t_k}}$$
$$DCH:=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 \\ \hline 1 -5\cdot 10^5 -5\cdot 10^5 -5\cdot 10^5 -5\cdot 10^5 -5\cdot 10^5 \\ \hline2 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 \\ \hline3 2\cdot 10^5 2\cdot 10^5 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 \\ \hline4 2\cdot 10^5 2\cdot 10^5 2\cdot 10^5 2\cdot 10^5 2\cdot 10^5 \\ \hline5 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 2\cdot 10^5 9\cdot 10^4 8\cdot 10^4 \\ \hline \end{array}$$
Чистая дисконтированная стоимость $$NPV$$ для 5 ставок
$$NVP_{k,j}:=(\sum_{i=1}^{k}DCH_{i,j})$$
$$NVP_{k,j}$$ – чистая приведенная стоимость для момента времени $$t_k$$ и ставки дисконтирования $$r_j$$
$$NVP:=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 \\ \hline 1 -500000 -500000 -500000 -500000 -500000 \\ \hline2 -374847 -379371 -383579 -387503 -391171 \\ \hline3 -204805 -211399 -236436 -250113 262595 \\ \hline4 29583 -11519 -47763 -79883 -108481 \\ \hline5 174779 113796 60960 14905 -25465 \\ \hline \end{array}$$
Определение внутренней доходности
График чистой приведенной стоимости $$NVP$$ всего потока от ставки дисконтирования. Точка пересечения – внутренняя доходность.
(рис 2.11) Внутренняя доходность проекта
Для определения внутренней доходности использует финансовую функцию $$irr()$$. Учитыываем, что поступления идут по кварталам.
$$irr(CH)\cdot 4=0.503$$. Внутренняя доходность 50,3%.
График поступлений и $$NVP$$ от времени – финансовый профиль для разных ставок дисконтирования
Кумулятивный простой поток постулений – чистые поступления:
$$SCH_k:=\sum_{i=1}^{k}CH_i$$, $$SCH_k:=NVP_{k,1}$$
$$SCH:=\begin{pmatrix} -500000 \\ -374847 \\ -204805\\ -29583\\ 174779\end{pmatrix}$$, $$CH:=\begin{pmatrix} -500000 \\ 125153\\ 170042\\ 234388 \\ 145196\end{pmatrix}$$
$$NVP$$ от времения для разных ставок дисконтирования – $$NVP_{k,j}$$ – кумулятивный дисконтированный поток или $$NVP$$ с нарастающим итогом
$$NVP:=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 \\ \hline 1 -500000 -500000 -500000 -500000 -500000 \\ \hline2 -374847 -379371 -383579 -387503 -391171 \\ \hline3 -204805 -211399 -236436 -250113 262595 \\ \hline4 29583 -11519 -47763 -79883 -108481 \\ \hline5 174779 113796 60960 14905 -25465 \\ \hline \end{array}$$
$$r:=\begin{pmatrix} 0 \\ 0.15\\ 0.3\\ 0.45\\ 0.6\end{pmatrix}$$
(рис 2.12) Финансовый профиль проекта
Индекс рентабельности для разных ставок дисконтирования
$$PI_j:=\frac{\sum_{i=2}^{5}DCH_{i,j}}{(-CH)_I}$$, $$PI:=\begin{pmatrix} 1.35 \\ 1.23\\ 1.12\\ 1.03\\ 0.95\end{pmatrix}$$, $$r:=\begin{pmatrix} 0\% \\ 15\%\\ 30\%\\ 45\%\\ 60\%\end{pmatrix}$$
PI в процентах: $$PI:=\begin{pmatrix} 135\% \\ 123\%\\ 112\%\\ 103\%\\ 95\%\end{pmatrix}$$
Определение срока окупаемости (кварталы, месяцы):
Для простого потока pbp:
Кумулятивный простой поток SCH в 3 квартал меняет знак на 4 год = 50 засчет поступлений 234388.
$$pbp:=2+\frac{(-SCH)_3}{CH_4}$$, $$pbp=2.9$$, $$pbp\cdot 3=8.6$$
Для дисконтированного потока dpbp для разных ставок дисконтирования:
Для ставок дисконтирования $$r=15\%$$ ($$j=2$$) и $$r=30\%$$ ($$j=3$$), $$r=45\%$$ ($$j=4$$) $$NVP$$ меняет знак на 4 квартал, для $$r=60\%$$ $$NVP$$ отрицательная.
$$dpbp_2:=4+\frac{(-NVP)_{4,2}}{DCH_{5,2}}$$, $$dpbp_3:=4+\frac{(-NVP)_{4,3}}{DCH_{5,3}}$$, $$dpbp_4:=4+\frac{(-NVP)_{4,4}}{DCH_{5,4}}$$
$$r=15\%$$ $$dpbp_2=4.1$$ кварталов $$dpbp_2\cdot 3=12.3$$ месяцев
$$r=30\%$$ $$dpbp_3=4.4$$ кварталов $$dpbp_3\cdot 3=13.3$$ месяцев
$$r=45\%$$ $$dpbp_4=4.8$$ кварталов $$dpbp_4\cdot 3=14.5$$ месяцев
Приведены основные финансовые параметры. Изложены схемы простых и сложных процентов. Приведены математические формулы, по которым производится расчет финансовых показателей. В Mathcad проведены расчеты основных финансовых параметров для разных финансовых потоков. Показано построение модели финансовой задачи. Все вычисления представлены в матричном виде. Расчеты проведены по формулам и по финансовым функциям. Построены графики результатов.
Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с финансовыми расчётами. В финансовой математике любой финансовый инструмент рассматривается с точки зрения генерируемого этим инструментом некоторого денежного потока.
Денежный поток - (Cash Flow) - поток наличных денег, важнейшее понятие современного финансового анализа.
Финансовые функции – специальные функции для расчета параметров денежных потоков на основе алгоритма сложных процентов, применяются при планировании и анализе финансово-хозяйственной деятельности предприятия, а также при решении задач, связанных с инвестированием средств.
Будущая стоимость – сумма долга (инвестиции) с начисленными процентами в конце срока.
Текущая стоимость - исходная сумма долга (инвестиции) или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени.
Процентная ставка - относительный показатель эффективности вложений (норма доходности), характеризует темп прироста стоимости за период.
Сложные проценты - схема начисления процентов к исходной сумме долга (инвестиции) с капитализацией процентов, то есть на следующий период проценты начисляются к наращенной сумме.
Элементарный денежный поток - денежный поток без дополнительных или периодических выплат.
Эффективная процентная ставка - ставка, обеспечивающая то же значение наращенной суммы при одноразовом в течение года начислении процентов, как и $$m$$ - разовое с периодической ставкой $$r/m$$
Финансовая рента - поток положительных платежей, через одинаковые интервалы времени, если платежи одинаковые – постоянная рента.
Математическое дисконтирование - переоценка будущего платежа на более ранний момент времени.
Ставка дисконтирования - процентная ставка $$r$$, с учетом которой оценивается современная стоимость.
Чистая дисконтированная стоимость - показывает, насколько современная стоимость текущих платежей (доходов и вложений) превышает инвестиционные затраты $$I$$ в начальный момент времени,
Нерегулярный денежный поток – поток неравных платежей.
Инвестиционный проект – комплекс действий (работ, услуг, управленческих операций и решений), направленных для осуществления действий, связанных с размещением капитала.
Внутренняя норма доходности ставка $$r$$, при которой все дисконтированные положительные выплаты (доходы), начальная инвестиция $$I$$ и дисконтированные отрицательные выплаты (затраты) уравниваются.
Срок окупаемости минимальный временной период, за который инвестиция и доходы перекрывают все расходы
Цель лекции. Показать построение финансовой модели: как выделить данные и как построить решение. Научить работать с данными и функциями в матричном виде, использовать финансовые функции для индексных переменных. Продемонстрировать представление результатов в виде графиков.
Финансовая математика изучает соотношения между размерами платежей, сроками выплат и процентными ставками, возникающими в коммерческих сделках и финансово-банковских операциях [8,9,10]. Начиная с версии системы Mathcad 2001 PRO/Premium, в программу введен пакет финансовых функций. Любая из финансово-экономических функций предназначена для вычисления значения одного из финансовых параметров -экономических расчетов по заданным значениям других параметров Расчеты будем производить, используя математические формулы и встроенные финансовые функции. Проведем финансовые расчеты с использованием программы Mathcad [11,12].
Простейшей финансовой операцией является предоставление в долг в некоторый начальный момент суммы $$pv$$ с условием, что будет возвращена сумма $$fv$$. Эффективность такой операции определяется процентной ставкой $$r=(fv– pv)/pv$$. Доходность денег зависит от длительности их использования. Время в финансовых вычислениях измеряется в периодах.
Основные финансовые параметры:
В финансовой практике используются различные схемы. Схема простых процентов предполагает начисление процентов к базовому капиталу $$pv $$за срок $$nper $$. Будущая стоимость составляет $$fv=pv\cdot (1+r\cdot nper)$$
Наращенная стоимость является линейной функцией от ставки. Вычисления в схеме простых процентов элементарны. Простые проценты используются при краткосрочных операциях.
Сложные проценты начисляются по ставке $$r$$ на сумму, которая растет. После каждого начисления процентов осуществляется их капитализация, то есть на следующий период проценты начисляются к наращенной сумме. Математические выражения имеют вид степенных функций, вычисления по схеме сложных процентов более сложные. Разработана целая серия финансовых функций. В них заложен алгоритм схемы сложных процентов. Любая из финансово-экономических функций предназначена для вычисления значения одного из финансовых параметров экономических расчетов по заданным значениям других параметров. Некоторые финансовые функции, используемые в задачах, приведены в приложении. Рассмотрим расчеты финансовых параметров для разных видов денежных потоков по схеме сложных процентов.
Элементарный денежный поток - денежный поток без дополнительных или периодических выплат. Рассматриваем схему сложных процентов[[8,9]. Пусть проценты начисляются раз в год. Поскольку начисление процентов идет на наращенную сумму, будущая стоимость за n лет составит.
$$fv=pv(1+r)^n$$
Сумма растет по закону геометрической прогрессии с постоянным знаменателем $$(1+r)$$. Пусть сумма $$pv $$вложена на $$n$$ лет с начислением процентов $$m$$ раз в год. Чем больше количество начислений $$m$$, тем больше наращенная стоимость $$fv$$. Проделав несложные преобразования, получаем выражения для других финансовых величин:
$$fv=pv(1+r/m)^{nm}$$
$$pv=fv/(1+r/m)^{mn}$$
$$r=m[(fv/pv)^{1/mn}-1]$$
$$nper =\ln(fv_n/pv)/\ln(1+r/m)$$
Вычислению каждой финансовой величины соответствует соответствующая финансовая функция.
Годовая ставка, обеспечивающая то же значение наращенной суммы $$fv $$ при одноразовом в течение года начислении процентов, что и $$m$$ - разовое с периодической ставкой r/m называется эффективной ставкой. Вкладывая одну денежную единицу $$pv=1$$ на 1 год ($$n=1$$) при частоте начисления $$m$$ раз в год получаем
$$r=(fv-1)/1=1\cdot(1+r/m)^{1\cdot m}-1=(1+r/m)^m-1=r_{eff}$$
$$r_{eff}=(1+r/m)^m$$
$$r_{eff}$$ - эффективный годовой процент, получаемый при вложении за один год.
С введенной эффективной ставкой формулы ( 2.3-2.6) имеют вид
$$fv=pv(1+r_{eff})^n$$ $$pv=fv_n/(1+r_{eff})^n$$ $$r=m[(fv/pv)^{\frac{1}{mn}}-1]$$ $$n=\log(fv_n/pv)/\log(1+r_{eff})$$Проценты могут начисляться даже чаще, чем один раз в день. При бесконечно частом $$m\to \infty$$) дроблении года на малые процентные периоды, то есть при непрерывном наращении сложных процентов получается показательный закон роста $$fv=pv \lim_{m \to \infty}(1+r/m)^m=pv\cdot e^r$$
Процентную ставку $$r$$, являющуюся показателем степени в формуле множителя непрерывного наращения, называют интенсивностью или силой роста. Она связана с годовой эффективной ставкой процента $$r_{eff}$$ соотношением $$e^r=r_{eff}$$
Проведем ряд финансовых расчетов двумя способами: по математическим формулам, приведенным выше, и с использованием встроенных финансовых функций. Проанализируем, как работают финансовые функции в MathCAD. Если входные величины даны в виде ряда значений, представляем их векторами. Рассчитанные финансовые величины также имеем также в виде векторов. Альтернативно используем встроенные финансовые функции. Результаты демонстрируем в графическом виде.
Задача 2.1.
Облигация номиналом 500 тыс. руб. выпущена на 5 лет при номинальной (годовой) ставке процента 10 %. Держатель облигации будет капитализировать проценты. Определить будущую стоимость при начислении процентов: один раз в год, один раз в полугодие, раз в квартал, ежемесячно. Для каждого варианта определить эффективную ставку процента.
Решение (рис.2.1).
Количество начислений в году m вводим в виде вектора. При расчете используем формулу (2.3) и альтернативно встроенные финансовые функции $$fv(rate, nper, pmt, pv, type)$$ – будущая сумма и $$eff(r,m)$$ эффективная ставка. Рассчитанные финансовые величины $$fv1 $$будущую стоимость и $$reff $$ эффективную ставку также имеем в виде векторов. Все финансовые функции при расчетах учитывают движение денег: если в начале срока сумма $$pv $$ вносится – отрицательна, тогда будущая сумма $$fv$$ после начисления процентов будет получена – положительна.
$$ORIGIN:=1$$
Входные данные:
$$pv:=500$$, $$r:=10%$$, $$n:=5$$, $$m:=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}$$
Количество начислений в году. Решение:
$$i:=1..4$$
$$fvl_i$$ – будущая стоимость, $$reff_i$$ – эффективная ставка для начисления $$m_i$$ раз в год
$$fvl_i:=pv\cdot (1+\frac{r}{m_i})^{n\cdot m_j}$$, $$fv1:=\begin{pmatrix} 805.26 \\ 814.45\\ 819.31 \\ 822.65 \end{pmatrix}$$, $$reff_i:=pv\cdot (1+\frac{r}{m_i})^{m_j}$$, $$reff:=\begin{pmatrix} 0.1 \\ 0.103\\ 0.104 \\ 0.105 \end{pmatrix}$$
Используем встроенные функции $$fv()$$ и $$eff()$$ – эффективная ставка
$$fvfi:=fv(\frac{r}{m_i},n,0,-pv,0)$$, $$reff_i:=eff(r,m_i)$$
$$fvf:=\begin{pmatrix} 0.1 \\ 0.103\\ 0.104 \\ 0.105 \end{pmatrix}$$, $$reff:=\begin{pmatrix} 805.26\\ 638.14\\ 565.7 \\ 521.18 \end{pmatrix}$$
$$m_i$$ – будущая сумма от числа начислений процентов в году, $$reff $$– будущая сумма от эффективной ставки
(рис 2.1) Расчет будущей стоимости и эффективной процентной ставки
Задача 2.2.
Вклад 50000 руб.помещен в банк. За сколько лет будет накоплена сумма в 60000 руб., 100000 руб, 800000 руб., если годовая ставка равна 10%, 12%,15%,20%, 25%. Рассчитать варианты. Проценты начисляются один раз в квартал.
Решение (рис.2.2).
Данные: $$pv$$, процентную ставку $$r$$ вводим как векторы. Количество периодов – $$per_{ij}$$ – матрица: $$i$$—количество накопленных сумм, $$j$$ – количество ставок. Расчет выполнен по формуле (2.12). Выбирая для расчета финансовую функцию, следует сказать, что в Mathcad введены разные функции для расчета элементарного потока и для периодического потока, в отличие от пакета русских функций (например, в пакете MS Excel), в котором функция одна – $$кпер()$$. Функция $$cnper () $$ возвращает число составных периодов, необходимых для получения будущего значения вклада при заданных текущем значении вклада и проценте начислений, при этом $$pv>0$$, $$fv >0$$. Функция $$nper ()$$ возвращает число периодов для вклада или займа, основанных на периодичности, постоянных платежах, использующих фиксированную процентную ставку, и особое текущее значение. Эту функцию рассмотрим позже. В данной задаче выбираем функцию $$cnper(r,pv,fv)$$. На рисунке 2.2 показан графики зависимости срока накопления от будущей суммы и ставки.
Расчет срока накопления.
Входные данные
$$pv:=5000$$, $$r:=\begin{pmatrix} 10\% \\ 12\%\\ 15\% \\ 20\% \\ 23\% \end{pmatrix}$$, $$fv:=\begin{pmatrix} 6000 \\ 10000\\ 80000 \end{pmatrix}$$, $$m:=4$$
Решение:
$$ORIGIN:=1$$, $$i:=1..3$$, $$j:=1..5$$
Срок погашения – количество периодов $$per_{ij}$$ для $$fv_i$$ и $$r_j$$
$$per_{ij}:=\frac{\frac{\ln(\frac{fv_i}{pv})}{\ln(1+\frac{r_j}{m})}}{m}$$
$$r^T=\begin{pmatrix}0.1 0.12 0.15 0.2 0.23 \end{pmatrix}$$
$$per=\begin{pmatrix} 1.8 1.5 1.2 0.9 0.8 \\ 7 5.9 4.7 3.6 3.1 \\ 28.1 23.4 18.8 14.2 12.4 \end{pmatrix}$$
$$fv=\begin{pmatrix} 6000 \\ 10000\\ 80000 \end{pmatrix}$$
Применим финансовую функцию:
$$perf_{i,j}:=\frac{cnper(\frac{r_j}{m},pv,fv_i)}{m}$$
$$perf=\begin{pmatrix} 1.8 1.5 1.2 0.9 0.8 \\ 7 5.9 4.7 3.6 3.1 \\ 28.1 23.4 18.8 14.2 12.4 \end{pmatrix}$$
Простроение графиков срока накопления от будущей стоимости и ставки
Построим график $$W(fv,r):=\frac{\frac{\ln(\frac{fv}{pv})}{\ln(1+\frac{r}{m})}}{m}$$, $$per1_{i,j}:=W(fv_i,r_i)$$
$$M=CreateMesh\begin{pmatrix} W 6000 80000 0.1 0.25\end{pmatrix}$$ - срок накопления от ставки $$r$$ и накопленной суммы $$fv$$
(рис 2.2) Графики срока накопления от будущей стоимости и ставки
Рассмотрим последовательность распределенных во времени выплат и платежей [8,9]. Поток платежей, все составляющие которого положительны и поступают через одинаковые интервалы времени, называется финансовой рентой или аннуитетом. Пусть имеем постоянную финансовую ренту (рента называется постоянной, если все платежи имеют одинаковую величину), периодический платеж $$pmt=const$$.
Рассмотрим будущую стоимость ренты $$fv$$ за $$n$$ лет, для простоты пусть проценты начисляются один раз в год. Наращение стоимости ренты осуществляется за счет поступающих платежей и начисления на них процентов, причем, срок наращения каждого нового платежа на единицу меньше предыдущего. Будущая стоимость ренты имеет вид:
$$fv=\sum_{i=0}^{n-1}pmt\cdot (1+r)^i=pmt+pmt(1+r)+mt(1+r)^2+...+pmt(1+r)^{n-1}$$
Ряд (2.15) представляют собой геометрическую прогрессию. Для $$n$$ членов геометрической прогрессии $$a_0, a_1 , a_2 ,...,a_{n-1}$$ со знаменателем $$\frac{a_k}{a_{k-1}}=q$$ сумма равна
$$S=\frac{a_0(q^n-1)}{q-1}$$
Будущая стоимость ренты (2.15) - геометрическая прогрессия с $$a_0 = pmt$$, $$q=1+r$$. Тогда $$fv=pmt[(1+r)^n-1]/r$$
Размер платежа при наращении ренты можно определить из (2.17)
$$pmt=\frac{fv\cdot r}{(1+r)^n-1}$$
Срок накопления $$n$$ будущей суммы $$fv$$ при заданных процентной ставке $$r$$ и платеже $$pmt $$ из (2.18) может быть определен следующим образом.
$$\frac{fv}{pmt}\cdot r+1=(1+r)^n$$ или $$n=\frac{\ln(\frac{fv}{pmt}\cdot r +1)}{\ln(1+r)}$$
Деньги, полученные в настоящий момент, более предпочтительны, чем деньги, которые будут получены в будущем. Для потока платежей представляет интерес оценка стоимости на начальный момент времени – современная стоимость. Переоценка будущего платежа на более ранний момент времени, называется математическим дисконтированием. Процентная ставка $$r$$, с учетом которой оценивается современная стоимость, называется ставкой дисконтирования. Дисконтирование денежного платежа$$ pmt $$ на $$m$$-м шаге осуществляется путем умножения его значения на коэффициент дисконтирования $$\frac{1}{(1+r)^m}$$, тогда дисконтированная стоимость $$pv$$ потока платежей ренты к начальному моменту по ставке $$r$$ равна:
$$pv=\sum_{i=1}^{n}\frac{pmt}{(1+r)^i}=\frac{pmt}{(1+r)}+\frac{pmt}{(1+r)^2}+...+\frac{pmt}{(1+r)^n}$$
Современная стоимость $$pv$$ - геометрическая прогрессия с $$a_0 = pmt /(1+r)$$, $$ q=1/(1+r)$$, тогда
$$pv=\frac{pmt}{(1+r)}[(1+r)^{-n}-1]/((1+r)^{-1}-1)$$
$$pv=\frac{pmt}{r}[1-(1+r)^{-n}]$$
Размер платежа погашения ренты можно определить из (2.22)
$$pmt=\frac{pv\cdot r}{[1-(1+r)^{-n}]}$$
Срок ренты, соответственно, и количество платежей $$n$$ при современной стоимости ренты $$pv$$ , процентной ставке $$r$$ и платеже $$pmt$$ из (2.23) равен
$$n=-\frac{\ln(1-\frac{pv\cdot r}{pmt})}{\ln(1+r)}$$
Рента пренумерандо - первый платеж поступает в начале первого периода, и рента постнумерандо – платеж поступает в конце периода. Вводится параметр $$t$$ , который учитывает тип ренты. Выражение для $$fv$$ (2.18), где учитывается тип ренты $$t$$, будет иметь вид :
$$pmt=\frac{[(1+r)^{-n}-1]}{r}\cdot (1+t\cdot r)$$
где $$t$$ – тип ренты: $$t=0$$ или опущен - рента постнумерандо, выплата в конце периода, $$t=1$$ – рента пренумерандо, выплата в начале периода. Для $$t=1$$ появляется дополнительный член $$pmt[(1+r)^n-1]$$ . Так учитывается более раннее поступление денег и удлинение на один период срока начисления процентов.
Для расчета будущего значения $$fv$$ используется формула (1.28), а для расчета периодического платежа $$pmt$$ выражение
$$pmt=r\cdot \frac{fv}{[(1+r)^n-1]\cdot (1+r\cdot t)}$$
В финансовых функциях тип ренты учитывается параметром $$[type]$$, который равен 0 (постнумерандо) и равен 1 (пренумерандо).
Задача 2.3.
Предприятие предполагает получить кредит в банке 2000 тыс.руб. Кредит будет погашаться равными долями ежегодно, в конце года. Определить ежегодные платежи предприятия, если кредит берется на: 1, 2, 3, 4, 5 лет . Расчет провести для трех значений ставок :5%, 10%, 18%.
Решение (рис.2.3)
Данные вводим в виде векторов $$r_i$$ и $$n_j$$. Годовой платеж $$C_{ij}$$. - матрица. При расчете используем формулу (2.23) и альтернативно финансовую функцию $$pmt (rate, nper, pv, [fv], [type])$$, которая находит периодический постоянный платеж через данное число периодов $$nper $$ по фиксированной процентной ставке $$rate$$, вкладу (заему) $$pv$$, $$fv$$- остаток долга, $$[type]$$ – тип ренты. В квадратных скобках необязательные аргументы. Предполагаются распределенные во времени переходы денежных сумм от одного владельца к другому. Поскольку кредит – положительная величина поступление денежных средств к заемщику в начальный момент $$pv>0$$, выплаты второму участнику операции соответствуют отрицательным платежам $$C < 0$$.
Обозначим $$C$$ – платеж, $$i$$ –номер ставки, $$j$$ – номер года
$$pv:=2000$$, $$r:=\begin{pmatrix} 5\% \\ 10\%\\ 18\% \end{pmatrix}$$, $$n:=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$$
Решение:
$$ORIGIN:=1$$, $$i:=1..3$$, $$j:=1..5$$
Платежи
$$(C_{i,j}):=pv\cdot \frac{r_i}{[1-(1+r_i)^{-n_j}]}$$
$$C=\begin{pmatrix} 1 год 2 года 3 года 4 года 5 лет \\ 2100 1075.61 734.42 564.02 461.95 \\ 2200 1152.38 804.23 630.94 527.59 \\ 2360 1277.43 919.85 743.48 639.56 \end{pmatrix}$$, $$r=\begin{pmatrix} 0.05 \\ 0.1 \\ 0.18 \end{pmatrix}$$
Используем встроенную функцию $$pmt(r,n,pv,fv,t)$$
$$C1_{i,j}:=pmt(r_i,n_i,pv,0,0)$$
$$C1=\begin{pmatrix} -2100 -1075.61 -734.417 -564.024 -467.95 \\ -2200 -1152.381 -804.23 -630.942 -527.595 \\ -2360 -1277.431 -919.858 -743.477 -639.556 \end{pmatrix}$$
Суммарные выплаты для разных сроков
$$S_{i,j}:=C_{i,j}\cdot j$$
$$C=\begin{pmatrix} 1 год 2 года 3 года 4 года 5 лет \\ 2100 2151 2203 2256 2310 \\ 2200 2305 2413 2524 2638 \\ 2360 2555 2760 2974 3198 \end{pmatrix}$$, $$r=\begin{pmatrix} 0.05 \\ 0.1 \\ 0.18 \end{pmatrix}$$
Построим график: платежи и суммарные выплаты от ставки и по годам
$$W(r,n):=pv\cdot \frac{r}{[1-(1+n)^{-n}]}$$
$$M=CreateMesh(W,0.01,0.2,1,5) $$
(рис 2.3) Графики
Задача 2.4.
Проанализировать, сколько лет предприятие будет расплачиваться с кредитом в размере 90 млн.руб, при разных вариантах ежегодных выплат: 30 млн.руб., 60 млн.руб, 80 млн.руб. Выплаты поступают в конце года. Рассматриваются процентные ставки 10%, 12%,15%, 20%,25%. Проценты начисляются раз в год. Каковы суммарные выплаты предприятия для каждого варианта ставки и ежегодного платежа.
Решение. (рис. 2.4)
Данные вводятся в виде векторов: $$pmt $$ и $$r$$. Для расчета срока оплаты кредита $$n_{ij}$$ для разных выплат $$pmt_i$$ и ставки $$r_j$$ используем формулу (2.24). Из финансовых функций выбираем $$nper (rate,pmt, pv, [[fv], [type])$$, которая находит число периодов для вклада (займа) pv, периодичных постоянных платежей $$pmt$$, использующих фиксированную процентную ставку $$rate$$; $$fv$$- остаток долга, $$[type]$$ – тип ренты. В квадратных скобках необязательные аргументы. Финансовая функция $$nper()$$ при расчетах учитывает движение денег: если платежи вносятся – отрицательные, то $$pv$$ сумма кредита получена - величина положительная.
Расчет срока погашения кредита.
Входные данные: Обозначим $$pmt$$ – платеж, $$j$$ – номер ставки, $$i$$ – номер платежа
$$pv:=90$$, $$pmt:=\begin{pmatrix} 30 \\ 60 \\ 80 \end{pmatrix}$$, $$r:=\begin{pmatrix} 10\% \\ 12\% \\ 15\% \\ 20\% \\ 25\% \end{pmatrix}$$
$$ORIGIN:=1$$, $$i:=1..3$$, $$j:=1..5$$
$$n_{i,j}:=\frac{-\ln(1-\frac{pv\cdot r_j}{pmt_i})}{\ln(1+r_j)}$$
$$r^T=\begin{pmatrix} 0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 \end{pmatrix}$$
$$n=\begin{pmatrix} 3.7 3.9 4.3 5 6.2 \\ 1.7 1.8 1.8 2 2.1 \\ 1.3 1.3 1.3 1.4 1.5 \end{pmatrix}$$, $$pmt=\begin{pmatrix} 30\\ 60 \\ 80 \end{pmatrix}$$
Используем встроенную финансовую функцию $$nper(rate,pmt,pv,[fv],[type])$$
$$nf_{i,j}:=nper[r_j,(-pmt),pv,0,0]$$
$$nf=\begin{pmatrix} 3.7 3.9 4.3 5 6.2 \\ 1.7 1.8 1.8 2 2.1 \\ 1.3 1.3 1.3 1.4 1.5 \end{pmatrix}$$
Суммарные выплаты $$S$$ для серии ставок и ежегодных платежей
$$S_{i,j}:=n_{i,j}\cdot pmt_i$$
$$r^T=\begin{pmatrix} 0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 \end{pmatrix}$$
$$S=\begin{pmatrix} 112 118 128 151 186 \\ 102 105 109 117 126 \\ 100 102 106 112 118 \end{pmatrix}$$, $$pmt=\begin{pmatrix} 30\\ 60 \\ 80 \end{pmatrix}$$
(рис 2.4) Графики
Построим график: срок выплаты от ставки и по годам
$$W(r,pmt):=\frac{-\ln(1-\frac{pv\cdot r}{pmt_i})}{\ln(1+r)}$$
$$M=CreateMesh(W,0.1,0.25,30,60) $$
Задача 2.5.
Рассчитать годовую процентную ставку для кредита 180 млн.руб., выданного на срок 5 лет. Оплата кредита производится постоянными ежегодными выплатами. Проанализировать варианты ежегодных выплат: 50 млн.руб., 60 млн.руб., 70 млн.руб., 80 млн.руб.
Решение. (рис.2.5)
Для расчета ставки используем формулу (2.23). Платеж $$pmt$$ представляем в виде ранжированной переменной. Строим функцию
$$f(pmt,r)=pmt-\frac{pv\cdot r}{[1-(1+r)^{-n}]}$$, $$f(pmt,r)=0$$
и решаем уравнение численно относительно $$r$$, используя функцию $$root()$$ для разных платежей.
Из финансовых функций выбираем $$rate(nper,pmt,pv,[fv],[type],[guess] )$$ , где $$guess$$ — начальное значение корня для аппроксимации. Пусть $$guess=0.1(10\%)$$.
Входные данные
Обозначим $$pv$$ – сумма кредита, $$pmt$$ – платежи, $$n$$ –срок, $$r$$ – ставка
$$pv:=180$$, $$n:=5$$, $$m:=1$$, $$pmt:=50, 60..80$$
Решение:
$$f(pmt,r):=[pmt-\frac{pv\cdot r}{[1-(1+r)^{-n}]}]$$
$$r:=0.11$$
$$r1(pmt):=root(f(r,pmt),r)$$
$$r1(pmt):=\begin{array}{|c|} \hline 0.12 \\ \hline 0.2 \\ \hline 0.27 \\ \hline 0.34 \\ \hline \end{array}$$
(рис 2.5) График процентной ставки от платежа
Применим финансовую функцию
$$pmt:=50, 60..80$$
$$rf(pmt):=rate(n,-pmt,pv,0,0,0.1)$$
$$rf(pmt):=\begin{array}{|c|} \hline 0.12 \\ \hline 0.2 \\ \hline 0.27 \\ \hline 0.34 \\ \hline \end{array}$$
Задача 2.6.
Банк планирует ежегодно получать гарантированные денежные поступления в размере 23 млн.руб. в течение 5 лет. Какой кредит должен предоставить банк при годовой процентной ставке 15%, 20%, 22% ?
Решение. (рис.2.6)
Здесь используем формулу (2.22) и альтернативно финансовую функцию $$pv (rate,nper, pmt, [fv], [type])$$, которая находит текущее значение заема, основанное на периодичности и постоянных платежах $$pmt$$, через данное число составных периодов $$nper$$, использующее фиксированную процентную ставку $$rate, [type]$$ – тип ренты. Данные и функции представляем в виде матриц. Поскольку платежи поступают в банк $$pmt>0$$, финансовая функция рассчитает суммы кредита отрицательные.
Входные данные
Обозначим $$pmt$$ – ежегодные денежное поступление, $$n$$ – годы, $$r$$ – процентная ставка, $$pv$$ – кредит
$$pmt:=10\cdot 10^6$$
$$n:=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$$
$$r:=\begin{pmatrix} 0.15 \\ 0.20 \\ 0.22 \end{pmatrix}$$
Решение:
$$ORIGIN:=1$$, $$i:=1..3$$, $$j:=1..4$$
$$pv1_{i,j}:=pmt\cdot \frac{[1-(1+r_i)^{-n_j}]}{r_i}$$
$$pv1=\begin{pmatrix} 8.696\times 10^6 1.626\times 10^7 2.283\times 10^7 3.352\times 10^7 \\ 8.333\times 10^6 1.528\times 10^7 2.106\times 10^7 2.991\times 10^7 \\ 8.197\times 10^6 1.492\times 10^7 2.042\times 10^7 2.864\times 10^7 \end{pmatrix}$$
Используем для рассчета финансовую функцию
$$pvf_{i,j}:=pv(r_i,n_j,pmt)$$
$$pvf=\begin{pmatrix} -8.696\times 10^6 -1.626\times 10^7 -2.283\times 10^7 -3.352\times 10^7 \\ -8.333\times 10^6 -1.528\times 10^7 -2.106\times 10^7 -2.991\times 10^7 \\ -8.197\times 10^6 -1.492\times 10^7 -2.042\times 10^7 -2.864\times 10^7 \end{pmatrix}$$
Построим диаграмму: Размер кредита от ставки по годам
(рис 2.6) Размер кредита от ставки по годам
Рассмотрим нерегулярный денежный поток – поток неравных платежей $$CH_1, CH_2 …CH_n$$ , совершаемых через неравные промежутки времени [1,3]. Процентная ставка r – постоянна, n – число периодов, платежи $$CH_1, CH_2, …$$ различаются по величине и знаку. Положительные $$CH_igt;0$$ – доходы, отрицательные $$CH_i lt;0$$ – вложения (затраты).
Для оценки текущей стоимости используется дисконтирование денежных потоков – приведение их разновременных значений к стоимости на определенный момент времени, который называется моментом приведения [8,13,14] . Используется ставка дисконтирования $$r$$, которая отражает стоимость денег с учетом временного фактора. Результат приведения нерегулярного потока к моменту $$i=1$$ поступлений - дисконтированная стоимость потока равная сумме дисконтированных поступлений - $$DCH_i$$ имеет вид:
$$DCH_i=\frac{CH_i}{(1+r)^i}$$
$$диск\_стоимость=\sum_{i=1}^{n}DCH_i=\frac{CH_1}{(1+r)}+ \frac{CH_2}{(1+r)^2}+…+\frac{CH_n}{(1+r)^n}$$
Пусть в начальный момент $$i=0$$ вложена сумма денег - начальная инвестиция $$I$$ , она отрицательна. Для оценки эффективности финансовой операции вложения вводится показатель - чистая современная стоимость $$npv (net present value)$$ (или чистая дисконтированная стоимость, или чистый дисконтированный доход):
$$диск\_стоимость=I+\frac{CH_1}{(1+r)}+ \frac{CH_2}{(1+r)^2}+…+\frac{CH_n}{(1+r)^n}=I+\sum_{i=1}^{n}\frac{CH_i}{(1+r)^i}$$
Чистая дисконтированная стоимость показывает, насколько современная стоимость текущих платежей (доходов и вложений) превышает инвестиционные затраты $$I$$ в начальный момент времени.
Отношение дисконтированного денежного потока к первоначальным инвестициям:
$$PI=\frac{\sum_{i=1}^{n}DCH_i}{I}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{CH_i}{(1+r)^i}}{I}$$
Показатель $$PI$$ также оценивает эффективность вложения инвестиций. Если дисконтированная стоимость превышает инвестиционные затраты $$I$$ в начальный момент времени то $$PIgt;1$$.
Таким образом, $$PIgt;1$$ — вложение инвестиций выгодно, $$PI lt; 1 $$— вложение инвестиций невыгодно, $$PI = 1$$ — ни прибыли, ни убытков.
Представляет интерес определение ставки $$r$$, при которой все дисконтированные положительные выплаты (доходы), начальная инвестиция $$I$$ и дисконтированные отрицательные выплаты (затраты) уравниваются [13,14]. Такое значение $$r$$ называется внутренней нормой доходности – $$irr$$ (internal rate of return). Значение $$irr$$ определяется решением уравнения $$npv=0 $$ относительно $$r$$:
$$I+\sum_{i=1}^{n}\frac{CH_i}{(1+r)^i}=0$$
Внутренняя норма доходности имеет смысл нормы дохода на инвестицию, если имеется одно поступление денег. Действительно, если начальная инвестиция $$CH_0$$, поступает один платеж $$CH_1$$ , имеем
$$-CH_0+CH_1/(1+irr)=0$$, $$irr=(CH_1-CH_0/CH_0$$
Таким образом, чистая дисконтированная стоимость показывает, достигнут ли инвестиции за экономический срок их жизни желаемого уровня отдачи. Различные варианты:
Параметр, определяющий временную характеристику потока - срок окупаемости - минимальный временной период, за который инвестиция и доходы перекрывают все расходы [13,14]. Момент окупаемости - наиболее ранний момент времени в расчетном периоде, в который кумулятивные (накопленные) денежные поступления обращаются в нуль и в дальнейшем остаются неотрицательными. Различают срок окупаемости простого потока (рассчитываются простые поступления) $$pbp $$ (Pay-Back Period) и дисконтированного потока (рассчитываются дисконтированные поступления) – $$dpbp$$ (Discounted Pay-Back Period). Срок окупаемости определяется по следующим уравнениям:
Срок окупаемости рассчитывается в периодах, в которые поступают платежи. Затем можно пересчитать для любых единиц (годы, кварталы и т.д.).
Рассмотрим этапы расчета срока окупаемости.
Пусть платежи поступают по годам.
Схема расчета срока окупаемости $$pbp$$ для простого потока.
Схема расчета срока окупаемости dpbp для дисконтированного потока.
Пример 2.1
Вложена начальная инвестиция 10 млн. руб. В первый год вкладывается еще 1 млн.руб. Предполагаемые денежные доходы в последующие три года: 3 млн, 5 млн, 8 млн. руб. Рассчитать срок окупаемости простого и дисконтированного потока, для ставки дисконтирования 10%.
| Период | Денежные поступления (млн.руб.) | Накопленный денежный поток | Дисконтированные поступления по ставке 10% | Накопленный дисконтированный денежный поток |
| 0 | -11 | -11 | -11 | -11 |
| 1 | -1 | -12 | -0,91 | -11,91 |
| 2 | 8 | -4 | 6,61 | -5,30 |
| 3 | 5 | 1 | 3,76 | -1,54 |
| 4 | 8 | 9 | 5,46 | 3,92 |
Срок окупаемости простого потока.
Простой поток на 2 год еще не окупился (накопленный поток = - 4), но за счет поступления 5 млн. за 3 год уже окупился. Срок окупаемости $$Pbp =2+4/5=2,8$$ года.
Срок окупаемости дисконтированного потока.
Дисконтированный поток на 3 год еще не окупился (накопленный поток = - 1,54 млн), но за счет поступления 5,46 млн. за 4 год уже окупился. Срок окупаемости $$dpbp =3+1,54/5,46=3+0,28 =3,3$$ года.
Задача 2.7.
Имеется поток денежных платежей разной величины и знака. Срок денежного потока 6 лет. В начале срока вложена сумма 850 тыс. руб. В первый и второй год предполагается вложить еще 250 и 100 тыс. руб., соответственно. Предполагаемые дальнейшие денежные поступления: 550, 700, 500 и 220 тыс.руб. (см. таблицу 2.2). Определить финансовые параметры денежного потока: чистую современную стоимость $$npv$$, внутреннюю норму доходности $$irr$$, сроки окупаемости: $$pbp$$ для простого потока и $$dpbp$$ для дисконтированного потока. Построить финансовый профиль денежного потока и график $$NPV (r)$$, демонстрирующий внутреннюю доходность.
| Год | Поступления (тыс.руб) |
| 0 | -850 |
| 1 | -250 |
| 2 | -100 |
| 3 | 550 |
| 4 | 700 |
| 5 | 500 |
| 6 | 220 |
Решение.
Приведено на рисунках 2.7, 2.8 и 2.9. Здесь используем уравнения (2.28), (2.30), (2.32), (2.34), (2.35). Данные вводим в виде векторов: годы поступлений $$t_k $$, в момент $$t_1=0 $$ поступает инвестиция $$CH_1=-850 , CH_k$$ – поступления для $$k=2…6$$. Для расчета дисконтированной стоимости, надо выбрать ставку дисконтирования r. Выбор ставки дисконтирования определяется многими факторами: экономической конъюнктурой, типом осуществляемых инвестиций, степенью риска. Расчет проведен для 6 ставок в диапазоне от 0 до 30%, вектор $$r_j \; j=1…6$$ – ставки дисконтирования. Дисконтированные платежи $$DCH_{k,j}$$ и чистая дисконтированная стоимость $$NPV_{k,j} $$ для моментов времени $$t_k$$ и ставок $$r_j $$ рассчитаны в виде матриц. Найдена внутренняя доходность $$irr = 14\%$$. Для ставок дисконтирования , больших внутренней доходности $$r_j gt;14\% ( jgt;3) NPV$$ отрицательна. Построен финансовый профиль - графическое представление чистых кумулятивных денежных поступлений и чистой дисконтированной стоимости с нарастающим итогом для $$t_k$$ при норме дисконта $$r_j$$. Рассчитаны времена окупаемости для простого потока pbp=3.9 года и дисконтированного потока для $$r_j.lt; 14\%, dpbp_1= 4$$, года ($$r$$ дисконтирования 5%= ) и $$dpbp_2$$=4,9 года ($$r$$ дисконтирования =10% ) . Денежный поток окупается до конечного срока. Для ставок, больших внутренней доходности $$irr $$, денежный поток не окупается.
Финансовые параметры денежного потока неравных платежей
$$ORIGIN:=1$$
Платежи и инвестиции: $$CH:=\begin{pmatrix} -850 \\ -250 \\ -100 \\ 550 \\ 700 \\ 500 \\ 220 \end{pmatrix}$$
Время поступления (годы): $$k:=1..7$$, $$t:=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\\ 6\end{pmatrix}$$
Ставки дисконтирования: $$j:=1..6$$, $$r_j:=0.05\cdot (j-1)$$, $$r:=\begin{pmatrix} 0 \\ 0.05\\ 0.1 \\ 0.15\\ 0.2\\ 0.25 \end{pmatrix}$$
Решение:
Дисконтированные стоимости платежей $$DCH$$ для 6 ставок
$$DCH_{k,j}:=\frac{CH_k}{(1+r_j)^{t_k}}$$
$$DCH=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 \\ \hline 1 -850 -850 -850 -850 -850 -850 \\ \hline 2 -250 -238 -227 -217 -208 -200 \\ \hline 3 -100 -91 -83 -76 -69 -64 \\ \hline 4 550 475 413 362 318 282 \\ \hline 5 700 576 478 400 338 287 \\ \hline 6 500 392 310 249 201 164 \\ \hline 7 220 164 124 95 74 58 \end{array}$$
Чистая дисконтированная стоимость $$NPV$$ для 6 ставок
$$NPV_{k,j}:=(\sum_{i=1}^{k}DCH_{i,j})$$
$$NPV_{k,j}$$ - чистая приведенная стоимость для момента времени $$t_k$$ и ставки дисконтирования $$r_j$$
$$NVP=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 \\ \hline1 -850 -850 -850 -850 -850 -850 \\ \hline2 -1100 -1088 -1077 -1067 -1058 -1050 \\ \hline3 -1200 -1179 -1160 -1143 -1128 -1114 \\ \hline4 -650 -704 -747 -781 -809 -832\\ \hline5 50 -128 -269 -381 -472 -546\\ \hline6 550 264 42 -133 -271 -382\\ \hline7 770 428 166 -37 -197 -324 \\ \hline \end{array}$$
(рис 2.7) NPV для ряда ставок дисконтирования
Определение внутренней доходности
График чистой приведенной стоимости $$NPV$$ всего потока от ставки. Точка пересечения – внутренняя доходность.
(рис 2.8) Определение внутренней доходности
Для определения внутренней доходности используем финансовую функцию $$irr()$$: $$irr(CH)=0.14$$
Внутренняя доходность 14%.
График поступлений и $$NVP$$ от времени – финансовый профиль для разных ставок дисконтирования
Кумулятивный простой поток поступлений – чистые поступления
$$SCH_k:=\sum_{i=1}^{k}CH_i$$
$$SCH:=\begin{pmatrix} -850 \\ -1100 \\ -1200 \\ -650 \\ 50 \\ 550 \\ 770 \end{pmatrix}$$, $$CH:=\begin{pmatrix} -850 \\ -250 \\ -100\\ 550 \\ 700\\ 500\\ 220\end{pmatrix}$$
$$SCH_k:=NVP_{k,i}$$
NVP от времени для разных ставок дисконтирования – $$NVP_{k,j}$$ – кумулятивный дисконтированный поток или NVP с нарастающим итогом по годам $$k$$ для ставки дисконтирвования $$r_j$$
$$NVP=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 6 \\ \hline1 -850 -850 -850 -850 -850 -850 \\ \hline2 -1100 -1088 -1077 -1067 -1058 -1050 \\ \hline3 -1200 -1179 -1160 -1143 -1128 -1114 \\ \hline4 -650 -704 -747 -781 -809 -832\\ \hline5 50 -128 -269 -381 -472 -546\\ \hline6 550 264 42 -133 -271 -382\\ \hline7 770 428 166 -37 -197 -324 \\ \hline \end{array}$$
$$r:=\begin{pmatrix} 0 \\ 0.05\\ 0.1 \\ 0.15\\ 0.2\\ 0.25 \end{pmatrix}$$
(рис 2.9) Кумулятивные поступления и чистая дисконтированная стоимость от времени для ряда ставок дисконтирования
Определение индекса прибыльности и сроков окупаемости простого и дисконтированного потока.
Индекс рентабельности для разных ставок дисконтирования
$$PI_j:=\frac{\sum_{i=2}^{7}DCH_{i,j}}{(-CH)_1}$$ $$PI:=\begin{pmatrix} 1.91 \\ 1.5 \\ 1.2 \\ 0.96 \\ 0.77 \\ 0.62 \end{pmatrix}$$ $$r:=\begin{pmatrix} 0 \\ 5\% \\ 10\% \\ 15\% \\ 20\% \\ 25\% \end{pmatrix}$$PI в процентах:
$$PI:=\begin{pmatrix} 191\% \\ 150\% \\ 120\% \\ 96\% \\ 77\% \\ 62\% \end{pmatrix}$$Определение срока окупаемости (годы). Срок окупаемости pbp для простого потока:
Кумулятивный простой поток $$SCH$$ в 3 год $$SCH_4=-650$$ и меняет знак на 4 год = 50 засчет поступления $$CH_5=700$$ (тыс).
$$pbp:=3+\frac{(-SCH)_4}{CH_5}$$, $$pbp = 3.9$$
Сроки окупаемости dpbp дисконтированного поток адля разных ставок дисконтирования. Используем дисконтированные стоимости постулений $$DCH$$.
Для ставок дисконтирования $$r=5\%$$ ($$j=2$$) и $$r=10\%$$ ($$j=3$$) NPV меняет знак на 5 год.
$$dpbp_2:=4+\frac{-NVP_{5,2}}{DCH_{6,2}}$$$$r=5\%$$, $$dpbp_2=4.3$$
$$dpbp_3:=4+\frac{-NVP_{5,3}}{DCH_{6,3}}$$$$r=10\%$$, $$dpbp_3=4.9$$
Инвестиционный проект – комплекс действий (работ, услуг, управленческих операций и решений), направленных для осуществления действий, связанных с размещением капитала. Исходное условие инвестирования капитала – получение в будущем прибылей, которые возмещают инвестированные затраты капитала. Для принятия инвестиционных решений необходим экономический подход, учитывающий изменение ценности денег во времени. В основу анализа инвестиционных проектов положен инструмент финансовой математики – дисконтирование денежного потока. Рассмотренные выше финансовые показатели нерегулярного денежного потока являются базовыми показателями инвестиционного проекта. Кроме этого, водятся чисто экономические показатели
Денежный поток проекта — это зависимость от времени денежных поступлений и затрат, порожденных инвестиционным проектом, на протяжении всего периода его реализации.
Финансовыми показателями проекта являются
При анализе проекта $$npv$$ удобно записывать в виде:
$$npv=\sum_{}^{}доходы/(1+r)^n-\sum_{}^{}затраты/(1+r)^n-Инвестиции$$ где $$r$$ – ставка дисконтирования.
В качестве ставки дисконтирования в большинстве случаев выбирается величина средневзвешенной стоимости капитала и может быть скорректирована на показатели возможного риска, связанного с реализацией конкретного проекта и ожидаемого уровня инфляции. В качестве ставки дисконтирования можно выбрать доходность ценных бумаг с риском, аналогичным риску инвестиционного проекта. Иногда в качестве дисконтной ставки используется величина ставки рефинансирования.
Задача 2.8.
Предприятие инвестирует в модернизацию сумму в размере 500000 тыс. руб. Рассматривается проект в течение 1 года. Денежные потоки от операционной деятельности по кварталам в течение года представлены в таблице 2.3. Определить финансовые показатели проекта: чистую дисконтированную стоимость $$NPV$$, внутреннюю доходность проекта, индекс рентабельности, времена окупаемости. Построить финансовый профиль проекта. Провести анализ для разных ставок дисконтирования.
| Кварталы | Выручка (тыс.руб) | Затраты (тыс.руб) | Налоги и сборы (тыс.руб) | Инвестиции (тыс.руб) | Чистый денежный поток(тыс.руб) |
| 0 | -500000 | -500000 | |||
| 1 | 1388000 | 1240761 | 22086 | 125153 | |
| 2 | 1642000 | 1441951 | 30007 | 170042 | |
| 3 | 1833650 | 1557899 | 41363 | 234388 | |
| 4 | 1568000 | 1397181 | 25623 | 145196 |
Решение.
Представлено на рисунках 2.10, 2.11, 2.12. Для решения используем методику оценки денежного потока, приведенную в примере 2.7. Данные вводятся также в виде векторов. Дисконтированные стоимости и чистые дисконтированные стоимости рассчитываются в виде матриц. Инвестиционный анализ проведен для 5 ставок дисконтирования. Годовые ставки дисконтирования выбраны в диапазоне от 0 до 60%, вектор $$r_j$$ $$j=1…5$$. Поскольку денежные суммы поступают по кварталам, при расчетах используется периодическая ставка, равная $$r/4$$. Найденная внутренняя доходность проекта $$irr=50,3\%$$. Поэтому чистая дисконтированная стоимость положительна - $$NPV>0$$ для ставок дисконтирования до 50%, для ставки дисконтирования $$r_5 =60\%$$ $$NPV<0$$. Это демонстрирует финансовый профиль проекта. Индекс рентабельности $$PI>100\%$$ для ставок $$r<60\%$$. Проект окупается до ставок $$r< irr $$. Времена окупаемости определены.
Определение финансовых параметров инвестиционного проекта
$$ORIGIN:=1$$
Время поступления (кварталы): $$t:=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}$$, $$k:=1..5$$
Выручка: $$P:=\begin{pmatrix} 0 \\ 1388000\\ 1642000\\ 1833650\\ 1568000 \end{pmatrix}$$
Затраты: $$Z:=\begin{pmatrix} 0 \\ 1240761\\ 1441951\\ 1557899\\ 1397181\end{pmatrix}$$
Налоги и сборы: $$N:=\begin{pmatrix} 0 \\ 22086\\ 30007\\ 41363\\ 25623\end{pmatrix}$$
Инвестиции: $$I:=\begin{pmatrix} -500000 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$
Чистые поступления с инвестиций: $$CH:=P+I-Z-N$$, $$CH:=\begin{pmatrix} -500000 \\ 125153\\ 170042\\ 234388\\ 145196\end{pmatrix}$$
Ставки дисконтирования: $$j:=1..5$$, $$r_j:=0.15\cdot(j-1)$$, $$CH:=\begin{pmatrix} 0\\ 0.15\\ 0.3\\ 0.45\\ 0.6\end{pmatrix}$$
(рис 2.10) Дисконтированные стоимости и чистые приведенные стоимости проекта
Решение:
Дисконтированные стоимости $$DCH$$ для 5 ставок по кварталам
$$DCH_{k,j}:=\frac{CH_k}{(1+\frac{r_j}{4})^{t_k}}$$
$$DCH:=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 \\ \hline 1 -5\cdot 10^5 -5\cdot 10^5 -5\cdot 10^5 -5\cdot 10^5 -5\cdot 10^5 \\ \hline2 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 \\ \hline3 2\cdot 10^5 2\cdot 10^5 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 \\ \hline4 2\cdot 10^5 2\cdot 10^5 2\cdot 10^5 2\cdot 10^5 2\cdot 10^5 \\ \hline5 1\cdot 10^5 1\cdot 10^5 2\cdot 10^5 9\cdot 10^4 8\cdot 10^4 \\ \hline \end{array}$$
Чистая дисконтированная стоимость $$NPV$$ для 5 ставок
$$NVP_{k,j}:=(\sum_{i=1}^{k}DCH_{i,j})$$
$$NVP_{k,j}$$ – чистая приведенная стоимость для момента времени $$t_k$$ и ставки дисконтирования $$r_j$$
$$NVP:=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 \\ \hline 1 -500000 -500000 -500000 -500000 -500000 \\ \hline2 -374847 -379371 -383579 -387503 -391171 \\ \hline3 -204805 -211399 -236436 -250113 262595 \\ \hline4 29583 -11519 -47763 -79883 -108481 \\ \hline5 174779 113796 60960 14905 -25465 \\ \hline \end{array}$$
Определение внутренней доходности
График чистой приведенной стоимости $$NVP$$ всего потока от ставки дисконтирования. Точка пересечения – внутренняя доходность.
(рис 2.11) Внутренняя доходность проекта
Для определения внутренней доходности использует финансовую функцию $$irr()$$. Учитыываем, что поступления идут по кварталам.
$$irr(CH)\cdot 4=0.503$$. Внутренняя доходность 50,3%.
График поступлений и $$NVP$$ от времени – финансовый профиль для разных ставок дисконтирования
Кумулятивный простой поток постулений – чистые поступления:
$$SCH_k:=\sum_{i=1}^{k}CH_i$$, $$SCH_k:=NVP_{k,1}$$
$$SCH:=\begin{pmatrix} -500000 \\ -374847 \\ -204805\\ -29583\\ 174779\end{pmatrix}$$, $$CH:=\begin{pmatrix} -500000 \\ 125153\\ 170042\\ 234388 \\ 145196\end{pmatrix}$$
$$NVP$$ от времения для разных ставок дисконтирования – $$NVP_{k,j}$$ – кумулятивный дисконтированный поток или $$NVP$$ с нарастающим итогом
$$NVP:=\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 2 3 4 5 \\ \hline 1 -500000 -500000 -500000 -500000 -500000 \\ \hline2 -374847 -379371 -383579 -387503 -391171 \\ \hline3 -204805 -211399 -236436 -250113 262595 \\ \hline4 29583 -11519 -47763 -79883 -108481 \\ \hline5 174779 113796 60960 14905 -25465 \\ \hline \end{array}$$
$$r:=\begin{pmatrix} 0 \\ 0.15\\ 0.3\\ 0.45\\ 0.6\end{pmatrix}$$
(рис 2.12) Финансовый профиль проекта
Индекс рентабельности для разных ставок дисконтирования
$$PI_j:=\frac{\sum_{i=2}^{5}DCH_{i,j}}{(-CH)_I}$$, $$PI:=\begin{pmatrix} 1.35 \\ 1.23\\ 1.12\\ 1.03\\ 0.95\end{pmatrix}$$, $$r:=\begin{pmatrix} 0\% \\ 15\%\\ 30\%\\ 45\%\\ 60\%\end{pmatrix}$$
PI в процентах: $$PI:=\begin{pmatrix} 135\% \\ 123\%\\ 112\%\\ 103\%\\ 95\%\end{pmatrix}$$
Определение срока окупаемости (кварталы, месяцы):
Для простого потока pbp:
Кумулятивный простой поток SCH в 3 квартал меняет знак на 4 год = 50 засчет поступлений 234388.
$$pbp:=2+\frac{(-SCH)_3}{CH_4}$$, $$pbp=2.9$$, $$pbp\cdot 3=8.6$$
Для дисконтированного потока dpbp для разных ставок дисконтирования:
Для ставок дисконтирования $$r=15\%$$ ($$j=2$$) и $$r=30\%$$ ($$j=3$$), $$r=45\%$$ ($$j=4$$) $$NVP$$ меняет знак на 4 квартал, для $$r=60\%$$ $$NVP$$ отрицательная.
$$dpbp_2:=4+\frac{(-NVP)_{4,2}}{DCH_{5,2}}$$, $$dpbp_3:=4+\frac{(-NVP)_{4,3}}{DCH_{5,3}}$$, $$dpbp_4:=4+\frac{(-NVP)_{4,4}}{DCH_{5,4}}$$
$$r=15\%$$ $$dpbp_2=4.1$$ кварталов $$dpbp_2\cdot 3=12.3$$ месяцев
$$r=30\%$$ $$dpbp_3=4.4$$ кварталов $$dpbp_3\cdot 3=13.3$$ месяцев
$$r=45\%$$ $$dpbp_4=4.8$$ кварталов $$dpbp_4\cdot 3=14.5$$ месяцев
Приведены основные финансовые параметры. Изложены схемы простых и сложных процентов. Приведены математические формулы, по которым производится расчет финансовых показателей. В Mathcad проведены расчеты основных финансовых параметров для разных финансовых потоков. Показано построение модели финансовой задачи. Все вычисления представлены в матричном виде. Расчеты проведены по формулам и по финансовым функциям. Построены графики результатов.
Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с финансовыми расчётами. В финансовой математике любой финансовый инструмент рассматривается с точки зрения генерируемого этим инструментом некоторого денежного потока.
Денежный поток - (Cash Flow) - поток наличных денег, важнейшее понятие современного финансового анализа.
Финансовые функции – специальные функции для расчета параметров денежных потоков на основе алгоритма сложных процентов, применяются при планировании и анализе финансово-хозяйственной деятельности предприятия, а также при решении задач, связанных с инвестированием средств.
Будущая стоимость – сумма долга (инвестиции) с начисленными процентами в конце срока.
Текущая стоимость - исходная сумма долга (инвестиции) или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени.
Процентная ставка - относительный показатель эффективности вложений (норма доходности), характеризует темп прироста стоимости за период.
Сложные проценты - схема начисления процентов к исходной сумме долга (инвестиции) с капитализацией процентов, то есть на следующий период проценты начисляются к наращенной сумме.
Элементарный денежный поток - денежный поток без дополнительных или периодических выплат.
Эффективная процентная ставка - ставка, обеспечивающая то же значение наращенной суммы при одноразовом в течение года начислении процентов, как и $$m$$ - разовое с периодической ставкой $$r/m$$
Финансовая рента - поток положительных платежей, через одинаковые интервалы времени, если платежи одинаковые – постоянная рента.
Математическое дисконтирование - переоценка будущего платежа на более ранний момент времени.
Ставка дисконтирования - процентная ставка $$r$$, с учетом которой оценивается современная стоимость.
Чистая дисконтированная стоимость - показывает, насколько современная стоимость текущих платежей (доходов и вложений) превышает инвестиционные затраты $$I$$ в начальный момент времени,
Нерегулярный денежный поток – поток неравных платежей.
Инвестиционный проект – комплекс действий (работ, услуг, управленческих операций и решений), направленных для осуществления действий, связанных с размещением капитала.
Внутренняя норма доходности ставка $$r$$, при которой все дисконтированные положительные выплаты (доходы), начальная инвестиция $$I$$ и дисконтированные отрицательные выплаты (затраты) уравниваются.
Срок окупаемости минимальный временной период, за который инвестиция и доходы перекрывают все расходы
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.