Цель лекции. Дать понятие экономико-математической модели и изложить основные этапы моделирования. Показать средства программы Mathcad для проведения наиболее распространенных математических преобразований в процессе решения математических моделей.
Экономико-математическое моделирование - эффективный метод исследования сложных социально-экономических объектов и процессов. Практическими задачами моделирования являются анализ экономических объектов; экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и выработка управленческих решений. на всех уровнях.
Экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии. Объект исследуется и изучается через рассмотрение другого, подобного ему и более доступного объекта, его модели. Модель создается исследователем с целью получения новых знаний об объекте-оригинале и отражает существенные (с точки зрения разработчика) свойства оригинала. Математическая модель – математический образ исследуемой системы, описывающий ее в абстрактной форме и адекватно отражающий структуру, свойства и взаимосвязи. Использование математических моделей позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям. Экономико-математическая модель - это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы. В ней отражаются основные соотношения между экономическими показателями.
Моделирование задачи включает следующие этапы:
Экономико-математическое моделирование требует от исследователя четкости формулировки исследовательской задачи, строгой логичности в построении гипотез и концепций, умения пользоваться инструментарием высшей математики. В процессе построения и решения модели необходимо проводить аналитические математические преобразования в общем виде: исследование функций, дифференцирование и интегрирование, нахождение пределов, решение различного вида уравнений и систем уравнений. Символьный процессор программы Mathcad обеспечивает выполнение сложных математических операций простыми доступными средствами. Методика работы в Mathcad изложена в пособии "Mathcad 14: Основные сервисы и технологии". В этой лекции представлены аналитические методы решения распространенных математических задач в среде с Mathcad 14.
Рассмотрим ряд часто используемых математических операций, которые необходимы в процессе математического моделирования.
Для проведения операции дифференцирования в Mathcad надо ввести функцию под знак $$\frac {d}{d\times}$$. (панель Calculus), щелкнуть оператор символьного вывода (панель Symbolic или Evaluation). В программе можно находить частные производные, производные второго, третьего, высоких порядков.
Дифференциальное исчисление часто применяется в процессе экономического анализа. При построении модели, анализе экономических показателей возникают вопросы: от каких факторов зависят показатели, каковы их оптимальные значения, какова степень зависимости. Задачи на нахождение экстремума, анализ системы на устойчивость, исследование взаимосвязи экономических показателей, скорости изменения решаются с использованием дифференциального исчисления.
Пример 1.1.
Рассмотрим пример исследования эластичности. Коэффициент эластичности $$E$$ показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя Y под действием единичного относительного изменения экономического фактора x, от которого зависит показатель. Функция имеет вид: $$E=\frac {dy}{dx}\frac{x}{Y}$$
где $$Y=F(x)$$. В зависимости от вида функции эластичность по-разному зависит от фактора $$x$$.
Пусть зависимость экономического показателя $$Y$$ от фактора $$x$$ описывается функцией:
Определить вид зависимости коэффициента эластичности.
Решение показано на рисунке 1.1.
(рис 1.1) Листинг решения Примера 1.1. Расчет эластичности для разных функций зависимости экономического показателя от заданного фактора
$$E$$ - коэффициент эластичности $$E=(dY/dxy) x/Y$$
$$a$$ и $$b$$ - параметры
Показательная функция:
$$Y(x,a):=a^X$$
$$E1(x,a):=\frac{d}{dx}(Y(x,a))\cdot \frac{x}{Y(x,a)}\to x\cdot ln(a)$$
Обратная функция:
$$Y(x,a,b):=\frac{1}{a+b\cdot x}$$
$$E2(x,a,b):=\frac{d}{dx}(Y(x,a,b))\cdot \frac{x}{Y(x,a,b)}\to -\frac{b\cdot x}{a+b\cdot x}$$
Линейная функция:
$$Y(x,a,b):=a+b\cdot x$$
$$E3(x,a,b):=\frac{d}{dx}(Y(x,a,b))\cdot \frac{x}{Y(x,a,b)}\to \frac{b\cdot x}{a+b\cdot x}$$
Аналитический способ нахождения интеграла - нахождение первообразной для подынтегральной функции, процедура, обратная дифференцированию. В Mathcad интегрирование производится символьным вычислением. Для проведения операции надо под знак $$\int_{a}^{b}d$$,(панель Calculus), ввести функцию, пределы интегрирования, переменную, щелкнуть оператор символьного вывода (панель Symbolic или Evaluation). Можно решать: неопределённые и определенные, двойные и тройные интегралы.
В процессе решения экономических задач приходится производить вычисление накопительного итога: определение суммарного расходования материалов, энергии, прибыли, затрат и т.д. В статистических задачах операция интегрирования требуется при построении интегральных функций распределения по плотности распределения вероятности, при расчете математического ожидания, дисперсии.
Пример 1.2.
Случайная величина задана плотностью распределения $$fn(x)=e^{-p\cdot x}$$. Определить математическое ожидание и вероятность для случайной величины принять значение от 0,5 до 1.
Математическое ожидание $$M$$ выражается соотношением:
$$M=\int_{t1}^{t2}x\cdot fn(x)dx$$ ,
вероятность $$P$$ для случайной величины принять значение от $$a$$ до $$b$$ имеет вид
$$P=\int_{a}^{b}f(x)dx$$
Расчет математического ожидания и вероятности приведен ниже:
$$p:=1.7$$
$$fn(x):=e^{-p\cdot x}$$ - плотность распределения
$$M(x):=\int_{0}^{\infty}xfn(x)dx$$ - математическое ожидание
$$M(x):=\int_{0}^{\infty}xfn(x)dx\to 0.34602076124567474048$$
$$P(a,b):=\int_{a}^{b}fn(x)dx$$ - вероятность принять значение от $$a$$ до $$b$$
$$P(0.5,1)=0.144$$ - вероятность принять значение от 0.5 до 1
Пример 1.3.
Производительность труда от времени $$t$$ характеризуется функцией $$f(t)=\frac{3}{3t^2+1}+4$$
Определить объем продукции $$V$$, произведенной рабочим за первый час и за третий час рабочего дня.
Для $$t >0$$ функция $$f(t)$$ непрерывна. Тогда объем продукции $$V$$, произведенной рабочим за промежуток времени от $$t_1$$ до $$t_2$$ будет иметь вид $$V=\int_{t1}^{t2}f(t)dt$$
На рисунке 1.2 представлено решение в Mathcad.
(рис 1.2) Листинг решения Примера 1.3. Расчет произведенной продукции
$$f(t)=\frac{3}{3t^2+1}+4$$
$$V(t1,t2):=\int_{t1}^{t2}f(t)dt\to4\cdot t2-4\cdot t1-\sqrt{3}\arctg(\sqrt{3}\cdot t1)+\sqrt{3}\arctg(\sqrt{3}\cdot t2)$$
$$V(0,1)=5.814$$ - объем произведенной продукции за первый рабочий час
$$V(2,3)=4.157$$ - объем произведенной продукции за третий рабочий час
Техника символьных вычислений позволяет решать уравнения аналитически (в символьном виде). Применяя ключевое слово Solve панели Simbolyc, можно решать уравнения и системы линейных и нелинейных уравнений. Для этого надо ввести уравнения, с использованием логического равенства $$=$$ с панели Boolean, ключевое слово Solve, переменные, относительно которых решается уравнение.
Решение уравнений – ключевой момент математического моделирования. Особенно ценна возможность аналитического решения, это позволяет выразить одни показатели через другие. Рассмотрим примеры.
Пример 1.4.
Обратимся к финансовым вычислениям, которые подробно будут рассмотрены во 2 лекции. По схеме сложных процентов для элементарного денежного потока выражение для будущей стоимости $$FV$$ от ставки $$R$$ , текущей стоимости $$PV $$, количества лет $$n$$ и количества начислений процентов $$m$$ в течение года имеет вид:
$$FV=PV(1+R/m)^{nm}$$
Для вывода выражений для финансовых параметров $$PV$$, $$R$$, $$n$$ надо это уравнение решить относительно соответствующего параметра . Решение показано ниже:
$$FV=PV(1+\frac{R}{m})^{m\cdot n} solve, R\to\exp{(\frac{\ln{(\frac{FV}{PV})}}{m\cdot n})}\cdot m-m$$
$$FV=PV(1+\frac{R}{m})^{n\cdot m} solve, PV\to\frac{FV}{(\frac{R}{m}+1)^{m\cdot n}}$$
$$FV=PV(1+\frac{R}{m})^{n\cdot m} solve, n\to \frac{\ln{(\frac{FV}{PV})}}{m\cdot \ln{(\frac{R}{m}+1)}}$$
Пример 1.5.
Рассмотрим экономическую задачу изучения спроса и предложения товара на рынке. Спрос на товар $$D$$ (demand) – сложившаяся на данный момент времени зависимость между ценой спроса товара $$P$$ (price) и количеством товара $$q$$ (объемом его покупки). Пусть $$Pd=D(q)$$ – функция спроса, $$Pd$$ -цена товара, по которой покупается количество товара $$q$$. Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности, функция . $$D(q)$$ – функция убывающая. Предложение $$S$$ (supply) определяется ценой, по которой количество товара $$q$$ предлагается на рынке. $$Ps=S(q)$$ - функция предложения, $$Ps $$- цена товара, по которой предлагается на продажу количество товара $$q$$, предложение растет с увеличением цены на товар, $$S(q)$$ – функция возрастающая. Для экономики представляет интерес условие равновесия, когда спрос равен предложению; это условие дается уравнением $$D(q)=S(q)$$.
Пусть функции имеют вид: $$D(q)=10+\frac{20}{q}$$
На рисунке 1.3 представлено решение.
(рис 1.3) Листинг вычислений Примера 1.5. Определение равновесной цены.
$$D(q)$$ – цена, по которой приобретается количество товара $$q$$
$$S(q)$$ – цена, по которой предлагается количество товара $$q$$
$$q$$ - количество товара, приобретенного по цене
$$D(q):=10+\frac{20}{q}$$
$$S(q):=0.1q^2-q+5$$
$$D(q)-S(q)=0 solve, q \to \begin{pmatrix} -2.2133629033866662671-2.99402473169446016791 \\ -2.2133629033866662671+2.99402473169446016791 \\ 14.426725806773332534 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2.213-2.994i \\ -2.213+2.994i \\ 14.427 \end{pmatrix} $$
$$q:=14.427$$
$$D(q)=11.39$$, $$S(q)=11.39$$ – равновесная цена
Следует заметить, Mathcad 14 дат решение уравнения для всей области значений (действительные и комплексные), ключевое слово assume (ограничение для переменной) не работает.
Если имеем систему уравнений, уравнения следует вводить как элементы матрицы.
$$D(q)-S(q)=0 solve, q \to \begin{pmatrix} z+t=16 \\ 2z-t=28.5 \end{pmatrix} \begin{array}{|c} solve,\begin{pmatrix} z \\ t \end{pmatrix} \\ float,3 \end{array} \to(14.8 \; 1.17) = (14.800 \; 1.170) $$
Для нахождения предела функции Mathcad используется панель Calculus. Ввести функцию под знак $$\lim_{a \to b}$$ . Обязательно выделить его (клавиша "пробел"), щелкнуть оператор символьного вывода (панель Symbolic или Evaluation).
Предел функции в точке $$а$$ – это число $$А$$, к которому сходится последовательность значений функции для любой сходящейся к значению а последовательности значений аргумента. При моделировании поведения экономического показателя определение предела функции при неограниченном росте задаваемого фактора или при его стремлении к определенному значению дает информацию, какое значение может иметь исследуемый показатель.
Пример 1.6.
В теории потребления исследуется распределение доходов населения между разными видами расходов. Функции спроса описывают зависимость спроса на товары определенной категории от размера поучаемого дохода. Известны функции Торнквиста, которые описывают зависимость величины спроса на различные группы товаров в зависимости от их роли в процессе потребления. Пределы функций при неограниченном росте доходов показывают насыщение спроса в каждом случае. Пусть $$Y$$ –спрос, $$x$$ – доход, $$a,b,c $$– фиксированные параметры. Функции Торнквиста:
Примеры вычислений пределов при исследовании спроса на различные виды товаров показаны на рисунке 1.4.
(рис 1.4) Определение пределов функций Торнквиста.
Функции Торнквиста
Спрос на различные виды товаров
$$a:=20$$, $$b:=60$$, $$c:=20$$
Малоценные товары:
$$Y_0=\frac{a\cdot x \cdot (x+c)}{x^2+b}$$
$$\lim_{x \to \infty}Y(x)\to 20$$
Товары первой необходимости
$$Y1(x)=\frac{a\cdot x}{x+с}$$
$$\lim_{x \to \infty}Y1(x)\to 20$$ - При увеличении дохода – насыщение
Товары длительного пользования, спрос возникает лишь с некоторого высокого уровня дохода
$$Y2(x)=\frac{a\cdot (x-b)}{x+c}$$
$$\lim_{x \to \infty}Y2(x)\to 20$$
$$Y2(x)\; solve,x\to 60$$
Товары роскоши. Спрос растет неограниченно
$$Y3(x)=\frac{a\cdot x \cdot (x-b)}{x+c}$$
$$\lim_{x \to \infty}Y3(x)\to \infty $$
$$Y3(x)\; solve, x \to \begin{pmatrix} 60 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Разложение функций в степенной ряд Тейлора широко используется и имеет огромное значение при проведении моделирования и математических расчетов. При вычислении интегралов, решении уравнений, оценки значений в окрестности исследуемой точки непосредственное использование некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Приближенная оценка значений исследуемых сложных функций в окрестности точки, представляющей интерес, может быть сведена к нахождению значений соответствующих им многочленов Тейлора.
В Mathcad задача разложения функции $$f(x)$$ в ряд Тейлора в окрестности точки $$x= x_0$$ решается символьной операцией с использованием ключевого слова series панели Simbolic. После ключевого слова вводится значение точки разложения с логическим равенством и порядок остаточного члена минус единица.
Если функция $$f(x)$$ имеет в точке $$х = x_0 $$ и некоторой ее окрестности производные порядка до $$(n+1)$$ включительно, то функцию можно разложить в ряд Тейлора для любого значения $$х$$ этой окрестности
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}\cdot (x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot (x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n$$
$$(n+1) $$член разложения:
$$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n$$ определяет ошибку и называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Пример. 1.7.
На рисунке 1.5 показан пример разложения функции $$f(x)=e^{-x}\cdot \tg (x)$$ в ряд Тейлора в окрестности точки ($$x=\pi /4$$) с остаточным членом 3, 4 и 5 порядка. Для сравнения рассчитаны значения функции в точке $$x=1$$ по степенным формулам с разным порядком разложения. Точность до второго знака позволяет ограничиться 4 членами разложения.
Следует отметить, запись символьной операции с ключевыми словами $$serias,x=\pi /4$$ (разложить в точке ($$x=\pi /4$$) и $$substitute x=1$$ (подставить $$x=1$$) идет в одну строку и не переносится. Рисунок листинга является демонстрационным.
(рис 1.5) Разложение функции с остаточным членом 3 и 4 и 5 порядка
$$f(x)=e^{-x}\cdot \tg (x)$$
$$f(1)=0.573$$, $$\frac{\pi}{4}=0.785$$
$$f(x)\; series,x=\frac{\pi}{4},3\to e^{-\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})+\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})^2}{2}substitute,x=1\to \frac{e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (\pi^2-16\cdot \pi+80)}{32}=0.564$$
$$f(x)\; series,x=\frac{\pi}{4},4\to e^{-\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})+\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})^2}{2}+\frac{3\cdot e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})^3}{2}substitute,x=1\to \frac{e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (200\cdot \pi-40\cdot \pi^2+3\cdot \pi^3-512)}{128}=0.571$$
$$f(x)\; series,x=\frac{\pi}{4},5\to e^{-\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})+\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})^2}{2}+\frac{3\cdot e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})^3}{2}+\frac{11\cdot e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})^4}{8}substitute,x=1\to \frac{e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (1696\cdot \pi^2-6144\cdot \pi-224\cdot \pi^3+11\pi^4+11008)}{2048}=0.572$$
Построение функциональной зависимости - один из основных математических инструментов моделирования взаимосвязей между различными экономическими характеристиками и показателями, описания и представления исследуемого процесса. Математическое исследование поведения функции, описывающей исследуемый экономический показатель: определение области допустимых значений, точек экстремума, асимптот, точек перегиба, дает необходимую информацию для экономического анализа. Представление графика функции позволяет визуально представить взаимосвязь, проследить ход процесса.
Пример 1.8.
Зависимость исследуемого экономического показателя от устанавливаемого фактора описывается функцией $$y(x)=\sqrt[3]{x^2\cdot(x+4)}$$ . Исследовать свойства показателя при изменении фактора: нулевые значения, экстремальные точки, асимптоты, особые точки.
На рисунке 1.6 показан листинг Mathcad, на котором показано, как рассчитать основные характеристики функции, провести их анализ, сделать выводы о характере зависимости.
(рис 1.6) Пример исследования функции
$$y(x):=\sqrt[3]{x^2\cdot(x+4)}$$
Нули функции: $$y(x)\; solve,x\to \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Пересечение с осью Ox: $$y(-4)=0$$, $$y(0)=0$$
Возможные точки экстремума. Вычислим производную:
$$\frac{d}{dx}y(x)\to \frac{2x(x+4)+x^2}{\frac{2}{3}}\; solve,x\to \begin{pmatrix} -\frac{8}{3} \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2.667 \\ 0 \end{pmatrix}$$
$$3\cdot[x^2\cdot(x+4)]^3$$
В точке $$x=-2.667$$ функция имеет экстремум (максимум, для $$x<0$$): $$y(-2.667)=2.117$$
В точке $$x=0$$ локальный экстремум (минимум): $$y(0)=0$$
Наклонная асимптота $$z(x)$$ определяется уравнением:
$$z=kx+b$$, где $$k=\lim_{x \to \infty}\frac{y(x)}{x}$$, $$b=\lim_{x \to \infty}(y(x)-x)$$
$$k:=\lim_{x \to \infty}\frac{y(x)}{x}\to 1$$, $$b:=\lim_{x \to \infty}(y(x)-x)\to \frac{4}{3}$$
Ассимптота$$z(x):=x+\frac{4}{3}$$
Предел производной в точке x=0 слева и справа:
$$\lim_{x \to 0}-\frac{d}{dx}y(x)\to (-1)^{\frac{1}{3}}\cdot \infty$$
$$\lim_{x \to 0}+\frac{d}{dx}y(x)\to \infty$$
В нуле функция непрерывна, но производная имеет разрыв второго порядка.
При моделировании экономических задач данные часто имеют табличный вид, математическая модель представляет систему уравнений. Для решения таких задач удобно представлять данные в виде матриц и решать задачу в матричном виде. В Mathcad возможны чисто матричные операции: сложения, вычитания и умножения матриц, взятие обратной матрицы, транспонирование матрицы. вычисление определителя квадратной матрицы и т.д. Для этого используется панель Матрица. В первой части были описаны правила работы с матрицами в Mathcad. Дополнительно рассмотрим применение ряда операций для действия над матрицами.
Существует удобная операция векторизации, которая позволяет производить поэлементные вычисления над матрицами, вводится кнопкой палитры или комбинацией клавиш Ctrl - . При её использовании операции производятся над каждым элементом вектора независимо, так например: $$f(M)$$. Стрелка сверху над функцией указывает, что функцию $$f$$ надо вычислять для всех элементов матрицы $$М$$. Пример векторизации приведен ниже:
$$\overrightarrow{\begin{bmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}\end{bmatrix}}=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}$$
В MathCAD имеются встроенные функции для сортировки элементов массива в порядке возрастания или убывания:
Для изменения структуры матриц существует две функции (пример использования функций $$augment()$$ и $$stack() $$ниже).
$$A:=\begin{pmatrix} 1 2 3 0 \\ 4 4 6 7 \\ 1 0 56 4\end{pmatrix}$$
$$B:=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
$$M1:=augment(A,B)$$
$$M1:=\begin{pmatrix} 1 2 3 0 1 \\ 4 4 6 7 1 \\ 1 0 56 4 1\end{pmatrix}$$
$$C:=\begin{pmatrix} 9 9 9 9 \\ 9 9 9 9 \end{pmatrix}$$
$$M2:=\begin{pmatrix} 1 2 3 0 \\ 4 4 6 7 \\ 1 0 56 4 \\ 9 9 9 9 \\ 9 9 9 9\end{pmatrix}$$
Приведены этапы экономико-математического моделирования. Описаны математические операции, необходимые при решении математических моделей, реализуемые техникой символьных вычислений в Mathcad. Приведены примеры: решения уравнений, разложения функции в ряд, интегрирования и дифференцирования, исследования функций.
Математическая модель – математический образ исследуемой системы, описывающий ее в абстрактной форме и адекватно отражающий структуру, свойства и взаимосвязи.
Системный анализ - метод моделирования, представляющий собой последовательность действий по установлению структурных связей между переменными или элементами исследуемой системы.
Системный синтез - процесс создания моделируемой системы на основе структурных свойств, связей при реализации разработанных требований и целей.
Экономико-математическая модель - математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы.
Экономико-математическое моделирование - описание экономических процессов и явлений в виде экономико-математических моделей.
Mathcad - популярный математический пакет из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированный на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, используется для обучения, решения математических, инженерно-технических и научных задач.
Дифференцирование - операция нахождения производной функции, характеризующей скорость ее изменения в данной точке.
Интегрирование - нахождение первообразной $$F(x)$$ для данной функции $$f(x)$$, такой что, $$\frac{dF(x)}{dx}=f(x)$$ . Обозначение: $$F(x)=\int f(x)dx$$
Уравнение – равенство, содержащее одну или несколько переменных.
Ряд Тейлора - степенной ряд, описывающий поведение данной функции f( х) в окрестности заданной точки.
Функция - соответствие между переменными величинами х и у, в результате которого каждому значению величины $$х$$ (независимой переменной, аргументу) сопоставляется одно-единственное значение величины $$у$$ (зависимой переменной).
Матрица - прямоугольная таблица каких- либо элементов (чисел, математических выражений), состоящая из $$m$$ строк и $$n$$ столбцов.
Цель лекции. Дать понятие экономико-математической модели и изложить основные этапы моделирования. Показать средства программы Mathcad для проведения наиболее распространенных математических преобразований в процессе решения математических моделей.
Экономико-математическое моделирование - эффективный метод исследования сложных социально-экономических объектов и процессов. Практическими задачами моделирования являются анализ экономических объектов; экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и выработка управленческих решений. на всех уровнях.
Экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии. Объект исследуется и изучается через рассмотрение другого, подобного ему и более доступного объекта, его модели. Модель создается исследователем с целью получения новых знаний об объекте-оригинале и отражает существенные (с точки зрения разработчика) свойства оригинала. Математическая модель – математический образ исследуемой системы, описывающий ее в абстрактной форме и адекватно отражающий структуру, свойства и взаимосвязи. Использование математических моделей позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям. Экономико-математическая модель - это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы. В ней отражаются основные соотношения между экономическими показателями.
Моделирование задачи включает следующие этапы:
Экономико-математическое моделирование требует от исследователя четкости формулировки исследовательской задачи, строгой логичности в построении гипотез и концепций, умения пользоваться инструментарием высшей математики. В процессе построения и решения модели необходимо проводить аналитические математические преобразования в общем виде: исследование функций, дифференцирование и интегрирование, нахождение пределов, решение различного вида уравнений и систем уравнений. Символьный процессор программы Mathcad обеспечивает выполнение сложных математических операций простыми доступными средствами. Методика работы в Mathcad изложена в пособии "Mathcad 14: Основные сервисы и технологии". В этой лекции представлены аналитические методы решения распространенных математических задач в среде с Mathcad 14.
Рассмотрим ряд часто используемых математических операций, которые необходимы в процессе математического моделирования.
Для проведения операции дифференцирования в Mathcad надо ввести функцию под знак $$\frac {d}{d\times}$$. (панель Calculus), щелкнуть оператор символьного вывода (панель Symbolic или Evaluation). В программе можно находить частные производные, производные второго, третьего, высоких порядков.
Дифференциальное исчисление часто применяется в процессе экономического анализа. При построении модели, анализе экономических показателей возникают вопросы: от каких факторов зависят показатели, каковы их оптимальные значения, какова степень зависимости. Задачи на нахождение экстремума, анализ системы на устойчивость, исследование взаимосвязи экономических показателей, скорости изменения решаются с использованием дифференциального исчисления.
Пример 1.1.
Рассмотрим пример исследования эластичности. Коэффициент эластичности $$E$$ показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя Y под действием единичного относительного изменения экономического фактора x, от которого зависит показатель. Функция имеет вид: $$E=\frac {dy}{dx}\frac{x}{Y}$$
где $$Y=F(x)$$. В зависимости от вида функции эластичность по-разному зависит от фактора $$x$$.
Пусть зависимость экономического показателя $$Y$$ от фактора $$x$$ описывается функцией:
Определить вид зависимости коэффициента эластичности.
Решение показано на рисунке 1.1.
(рис 1.1) Листинг решения Примера 1.1. Расчет эластичности для разных функций зависимости экономического показателя от заданного фактора
$$E$$ - коэффициент эластичности $$E=(dY/dxy) x/Y$$
$$a$$ и $$b$$ - параметры
Показательная функция:
$$Y(x,a):=a^X$$
$$E1(x,a):=\frac{d}{dx}(Y(x,a))\cdot \frac{x}{Y(x,a)}\to x\cdot ln(a)$$
Обратная функция:
$$Y(x,a,b):=\frac{1}{a+b\cdot x}$$
$$E2(x,a,b):=\frac{d}{dx}(Y(x,a,b))\cdot \frac{x}{Y(x,a,b)}\to -\frac{b\cdot x}{a+b\cdot x}$$
Линейная функция:
$$Y(x,a,b):=a+b\cdot x$$
$$E3(x,a,b):=\frac{d}{dx}(Y(x,a,b))\cdot \frac{x}{Y(x,a,b)}\to \frac{b\cdot x}{a+b\cdot x}$$
Аналитический способ нахождения интеграла - нахождение первообразной для подынтегральной функции, процедура, обратная дифференцированию. В Mathcad интегрирование производится символьным вычислением. Для проведения операции надо под знак $$\int_{a}^{b}d$$,(панель Calculus), ввести функцию, пределы интегрирования, переменную, щелкнуть оператор символьного вывода (панель Symbolic или Evaluation). Можно решать: неопределённые и определенные, двойные и тройные интегралы.
В процессе решения экономических задач приходится производить вычисление накопительного итога: определение суммарного расходования материалов, энергии, прибыли, затрат и т.д. В статистических задачах операция интегрирования требуется при построении интегральных функций распределения по плотности распределения вероятности, при расчете математического ожидания, дисперсии.
Пример 1.2.
Случайная величина задана плотностью распределения $$fn(x)=e^{-p\cdot x}$$. Определить математическое ожидание и вероятность для случайной величины принять значение от 0,5 до 1.
Математическое ожидание $$M$$ выражается соотношением:
$$M=\int_{t1}^{t2}x\cdot fn(x)dx$$ ,
вероятность $$P$$ для случайной величины принять значение от $$a$$ до $$b$$ имеет вид
$$P=\int_{a}^{b}f(x)dx$$
Расчет математического ожидания и вероятности приведен ниже:
$$p:=1.7$$
$$fn(x):=e^{-p\cdot x}$$ - плотность распределения
$$M(x):=\int_{0}^{\infty}xfn(x)dx$$ - математическое ожидание
$$M(x):=\int_{0}^{\infty}xfn(x)dx\to 0.34602076124567474048$$
$$P(a,b):=\int_{a}^{b}fn(x)dx$$ - вероятность принять значение от $$a$$ до $$b$$
$$P(0.5,1)=0.144$$ - вероятность принять значение от 0.5 до 1
Пример 1.3.
Производительность труда от времени $$t$$ характеризуется функцией $$f(t)=\frac{3}{3t^2+1}+4$$
Определить объем продукции $$V$$, произведенной рабочим за первый час и за третий час рабочего дня.
Для $$t >0$$ функция $$f(t)$$ непрерывна. Тогда объем продукции $$V$$, произведенной рабочим за промежуток времени от $$t_1$$ до $$t_2$$ будет иметь вид $$V=\int_{t1}^{t2}f(t)dt$$
На рисунке 1.2 представлено решение в Mathcad.
(рис 1.2) Листинг решения Примера 1.3. Расчет произведенной продукции
$$f(t)=\frac{3}{3t^2+1}+4$$
$$V(t1,t2):=\int_{t1}^{t2}f(t)dt\to4\cdot t2-4\cdot t1-\sqrt{3}\arctg(\sqrt{3}\cdot t1)+\sqrt{3}\arctg(\sqrt{3}\cdot t2)$$
$$V(0,1)=5.814$$ - объем произведенной продукции за первый рабочий час
$$V(2,3)=4.157$$ - объем произведенной продукции за третий рабочий час
Техника символьных вычислений позволяет решать уравнения аналитически (в символьном виде). Применяя ключевое слово Solve панели Simbolyc, можно решать уравнения и системы линейных и нелинейных уравнений. Для этого надо ввести уравнения, с использованием логического равенства $$=$$ с панели Boolean, ключевое слово Solve, переменные, относительно которых решается уравнение.
Решение уравнений – ключевой момент математического моделирования. Особенно ценна возможность аналитического решения, это позволяет выразить одни показатели через другие. Рассмотрим примеры.
Пример 1.4.
Обратимся к финансовым вычислениям, которые подробно будут рассмотрены во 2 лекции. По схеме сложных процентов для элементарного денежного потока выражение для будущей стоимости $$FV$$ от ставки $$R$$ , текущей стоимости $$PV $$, количества лет $$n$$ и количества начислений процентов $$m$$ в течение года имеет вид:
$$FV=PV(1+R/m)^{nm}$$
Для вывода выражений для финансовых параметров $$PV$$, $$R$$, $$n$$ надо это уравнение решить относительно соответствующего параметра . Решение показано ниже:
$$FV=PV(1+\frac{R}{m})^{m\cdot n} solve, R\to\exp{(\frac{\ln{(\frac{FV}{PV})}}{m\cdot n})}\cdot m-m$$
$$FV=PV(1+\frac{R}{m})^{n\cdot m} solve, PV\to\frac{FV}{(\frac{R}{m}+1)^{m\cdot n}}$$
$$FV=PV(1+\frac{R}{m})^{n\cdot m} solve, n\to \frac{\ln{(\frac{FV}{PV})}}{m\cdot \ln{(\frac{R}{m}+1)}}$$
Пример 1.5.
Рассмотрим экономическую задачу изучения спроса и предложения товара на рынке. Спрос на товар $$D$$ (demand) – сложившаяся на данный момент времени зависимость между ценой спроса товара $$P$$ (price) и количеством товара $$q$$ (объемом его покупки). Пусть $$Pd=D(q)$$ – функция спроса, $$Pd$$ -цена товара, по которой покупается количество товара $$q$$. Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности, функция . $$D(q)$$ – функция убывающая. Предложение $$S$$ (supply) определяется ценой, по которой количество товара $$q$$ предлагается на рынке. $$Ps=S(q)$$ - функция предложения, $$Ps $$- цена товара, по которой предлагается на продажу количество товара $$q$$, предложение растет с увеличением цены на товар, $$S(q)$$ – функция возрастающая. Для экономики представляет интерес условие равновесия, когда спрос равен предложению; это условие дается уравнением $$D(q)=S(q)$$.
Пусть функции имеют вид: $$D(q)=10+\frac{20}{q}$$
На рисунке 1.3 представлено решение.
(рис 1.3) Листинг вычислений Примера 1.5. Определение равновесной цены.
$$D(q)$$ – цена, по которой приобретается количество товара $$q$$
$$S(q)$$ – цена, по которой предлагается количество товара $$q$$
$$q$$ - количество товара, приобретенного по цене
$$D(q):=10+\frac{20}{q}$$
$$S(q):=0.1q^2-q+5$$
$$D(q)-S(q)=0 solve, q \to \begin{pmatrix} -2.2133629033866662671-2.99402473169446016791 \\ -2.2133629033866662671+2.99402473169446016791 \\ 14.426725806773332534 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2.213-2.994i \\ -2.213+2.994i \\ 14.427 \end{pmatrix} $$
$$q:=14.427$$
$$D(q)=11.39$$, $$S(q)=11.39$$ – равновесная цена
Следует заметить, Mathcad 14 дат решение уравнения для всей области значений (действительные и комплексные), ключевое слово assume (ограничение для переменной) не работает.
Если имеем систему уравнений, уравнения следует вводить как элементы матрицы.
$$D(q)-S(q)=0 solve, q \to \begin{pmatrix} z+t=16 \\ 2z-t=28.5 \end{pmatrix} \begin{array}{|c} solve,\begin{pmatrix} z \\ t \end{pmatrix} \\ float,3 \end{array} \to(14.8 \; 1.17) = (14.800 \; 1.170) $$
Для нахождения предела функции Mathcad используется панель Calculus. Ввести функцию под знак $$\lim_{a \to b}$$ . Обязательно выделить его (клавиша "пробел"), щелкнуть оператор символьного вывода (панель Symbolic или Evaluation).
Предел функции в точке $$а$$ – это число $$А$$, к которому сходится последовательность значений функции для любой сходящейся к значению а последовательности значений аргумента. При моделировании поведения экономического показателя определение предела функции при неограниченном росте задаваемого фактора или при его стремлении к определенному значению дает информацию, какое значение может иметь исследуемый показатель.
Пример 1.6.
В теории потребления исследуется распределение доходов населения между разными видами расходов. Функции спроса описывают зависимость спроса на товары определенной категории от размера поучаемого дохода. Известны функции Торнквиста, которые описывают зависимость величины спроса на различные группы товаров в зависимости от их роли в процессе потребления. Пределы функций при неограниченном росте доходов показывают насыщение спроса в каждом случае. Пусть $$Y$$ –спрос, $$x$$ – доход, $$a,b,c $$– фиксированные параметры. Функции Торнквиста:
Примеры вычислений пределов при исследовании спроса на различные виды товаров показаны на рисунке 1.4.
(рис 1.4) Определение пределов функций Торнквиста.
Функции Торнквиста
Спрос на различные виды товаров
$$a:=20$$, $$b:=60$$, $$c:=20$$
Малоценные товары:
$$Y_0=\frac{a\cdot x \cdot (x+c)}{x^2+b}$$
$$\lim_{x \to \infty}Y(x)\to 20$$
Товары первой необходимости
$$Y1(x)=\frac{a\cdot x}{x+с}$$
$$\lim_{x \to \infty}Y1(x)\to 20$$ - При увеличении дохода – насыщение
Товары длительного пользования, спрос возникает лишь с некоторого высокого уровня дохода
$$Y2(x)=\frac{a\cdot (x-b)}{x+c}$$
$$\lim_{x \to \infty}Y2(x)\to 20$$
$$Y2(x)\; solve,x\to 60$$
Товары роскоши. Спрос растет неограниченно
$$Y3(x)=\frac{a\cdot x \cdot (x-b)}{x+c}$$
$$\lim_{x \to \infty}Y3(x)\to \infty $$
$$Y3(x)\; solve, x \to \begin{pmatrix} 60 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Разложение функций в степенной ряд Тейлора широко используется и имеет огромное значение при проведении моделирования и математических расчетов. При вычислении интегралов, решении уравнений, оценки значений в окрестности исследуемой точки непосредственное использование некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Приближенная оценка значений исследуемых сложных функций в окрестности точки, представляющей интерес, может быть сведена к нахождению значений соответствующих им многочленов Тейлора.
В Mathcad задача разложения функции $$f(x)$$ в ряд Тейлора в окрестности точки $$x= x_0$$ решается символьной операцией с использованием ключевого слова series панели Simbolic. После ключевого слова вводится значение точки разложения с логическим равенством и порядок остаточного члена минус единица.
Если функция $$f(x)$$ имеет в точке $$х = x_0 $$ и некоторой ее окрестности производные порядка до $$(n+1)$$ включительно, то функцию можно разложить в ряд Тейлора для любого значения $$х$$ этой окрестности
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}\cdot (x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot (x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n$$
$$(n+1) $$член разложения:
$$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n$$ определяет ошибку и называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Пример. 1.7.
На рисунке 1.5 показан пример разложения функции $$f(x)=e^{-x}\cdot \tg (x)$$ в ряд Тейлора в окрестности точки ($$x=\pi /4$$) с остаточным членом 3, 4 и 5 порядка. Для сравнения рассчитаны значения функции в точке $$x=1$$ по степенным формулам с разным порядком разложения. Точность до второго знака позволяет ограничиться 4 членами разложения.
Следует отметить, запись символьной операции с ключевыми словами $$serias,x=\pi /4$$ (разложить в точке ($$x=\pi /4$$) и $$substitute x=1$$ (подставить $$x=1$$) идет в одну строку и не переносится. Рисунок листинга является демонстрационным.
(рис 1.5) Разложение функции с остаточным членом 3 и 4 и 5 порядка
$$f(x)=e^{-x}\cdot \tg (x)$$
$$f(1)=0.573$$, $$\frac{\pi}{4}=0.785$$
$$f(x)\; series,x=\frac{\pi}{4},3\to e^{-\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})+\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})^2}{2}substitute,x=1\to \frac{e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (\pi^2-16\cdot \pi+80)}{32}=0.564$$
$$f(x)\; series,x=\frac{\pi}{4},4\to e^{-\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})+\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})^2}{2}+\frac{3\cdot e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})^3}{2}substitute,x=1\to \frac{e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (200\cdot \pi-40\cdot \pi^2+3\cdot \pi^3-512)}{128}=0.571$$
$$f(x)\; series,x=\frac{\pi}{4},5\to e^{-\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})+\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})^2}{2}+\frac{3\cdot e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})^3}{2}+\frac{11\cdot e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (x-\frac{\pi}{4})^4}{8}substitute,x=1\to \frac{e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot (1696\cdot \pi^2-6144\cdot \pi-224\cdot \pi^3+11\pi^4+11008)}{2048}=0.572$$
Построение функциональной зависимости - один из основных математических инструментов моделирования взаимосвязей между различными экономическими характеристиками и показателями, описания и представления исследуемого процесса. Математическое исследование поведения функции, описывающей исследуемый экономический показатель: определение области допустимых значений, точек экстремума, асимптот, точек перегиба, дает необходимую информацию для экономического анализа. Представление графика функции позволяет визуально представить взаимосвязь, проследить ход процесса.
Пример 1.8.
Зависимость исследуемого экономического показателя от устанавливаемого фактора описывается функцией $$y(x)=\sqrt[3]{x^2\cdot(x+4)}$$ . Исследовать свойства показателя при изменении фактора: нулевые значения, экстремальные точки, асимптоты, особые точки.
На рисунке 1.6 показан листинг Mathcad, на котором показано, как рассчитать основные характеристики функции, провести их анализ, сделать выводы о характере зависимости.
(рис 1.6) Пример исследования функции
$$y(x):=\sqrt[3]{x^2\cdot(x+4)}$$
Нули функции: $$y(x)\; solve,x\to \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Пересечение с осью Ox: $$y(-4)=0$$, $$y(0)=0$$
Возможные точки экстремума. Вычислим производную:
$$\frac{d}{dx}y(x)\to \frac{2x(x+4)+x^2}{\frac{2}{3}}\; solve,x\to \begin{pmatrix} -\frac{8}{3} \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2.667 \\ 0 \end{pmatrix}$$
$$3\cdot[x^2\cdot(x+4)]^3$$
В точке $$x=-2.667$$ функция имеет экстремум (максимум, для $$x<0$$): $$y(-2.667)=2.117$$
В точке $$x=0$$ локальный экстремум (минимум): $$y(0)=0$$
Наклонная асимптота $$z(x)$$ определяется уравнением:
$$z=kx+b$$, где $$k=\lim_{x \to \infty}\frac{y(x)}{x}$$, $$b=\lim_{x \to \infty}(y(x)-x)$$
$$k:=\lim_{x \to \infty}\frac{y(x)}{x}\to 1$$, $$b:=\lim_{x \to \infty}(y(x)-x)\to \frac{4}{3}$$
Ассимптота$$z(x):=x+\frac{4}{3}$$
Предел производной в точке x=0 слева и справа:
$$\lim_{x \to 0}-\frac{d}{dx}y(x)\to (-1)^{\frac{1}{3}}\cdot \infty$$
$$\lim_{x \to 0}+\frac{d}{dx}y(x)\to \infty$$
В нуле функция непрерывна, но производная имеет разрыв второго порядка.
При моделировании экономических задач данные часто имеют табличный вид, математическая модель представляет систему уравнений. Для решения таких задач удобно представлять данные в виде матриц и решать задачу в матричном виде. В Mathcad возможны чисто матричные операции: сложения, вычитания и умножения матриц, взятие обратной матрицы, транспонирование матрицы. вычисление определителя квадратной матрицы и т.д. Для этого используется панель Матрица. В первой части были описаны правила работы с матрицами в Mathcad. Дополнительно рассмотрим применение ряда операций для действия над матрицами.
Существует удобная операция векторизации, которая позволяет производить поэлементные вычисления над матрицами, вводится кнопкой палитры или комбинацией клавиш Ctrl - . При её использовании операции производятся над каждым элементом вектора независимо, так например: $$f(M)$$. Стрелка сверху над функцией указывает, что функцию $$f$$ надо вычислять для всех элементов матрицы $$М$$. Пример векторизации приведен ниже:
$$\overrightarrow{\begin{bmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}\end{bmatrix}}=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}$$
В MathCAD имеются встроенные функции для сортировки элементов массива в порядке возрастания или убывания:
Для изменения структуры матриц существует две функции (пример использования функций $$augment()$$ и $$stack() $$ниже).
$$A:=\begin{pmatrix} 1 2 3 0 \\ 4 4 6 7 \\ 1 0 56 4\end{pmatrix}$$
$$B:=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
$$M1:=augment(A,B)$$
$$M1:=\begin{pmatrix} 1 2 3 0 1 \\ 4 4 6 7 1 \\ 1 0 56 4 1\end{pmatrix}$$
$$C:=\begin{pmatrix} 9 9 9 9 \\ 9 9 9 9 \end{pmatrix}$$
$$M2:=\begin{pmatrix} 1 2 3 0 \\ 4 4 6 7 \\ 1 0 56 4 \\ 9 9 9 9 \\ 9 9 9 9\end{pmatrix}$$
Приведены этапы экономико-математического моделирования. Описаны математические операции, необходимые при решении математических моделей, реализуемые техникой символьных вычислений в Mathcad. Приведены примеры: решения уравнений, разложения функции в ряд, интегрирования и дифференцирования, исследования функций.
Математическая модель – математический образ исследуемой системы, описывающий ее в абстрактной форме и адекватно отражающий структуру, свойства и взаимосвязи.
Системный анализ - метод моделирования, представляющий собой последовательность действий по установлению структурных связей между переменными или элементами исследуемой системы.
Системный синтез - процесс создания моделируемой системы на основе структурных свойств, связей при реализации разработанных требований и целей.
Экономико-математическая модель - математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы.
Экономико-математическое моделирование - описание экономических процессов и явлений в виде экономико-математических моделей.
Mathcad - популярный математический пакет из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированный на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, используется для обучения, решения математических, инженерно-технических и научных задач.
Дифференцирование - операция нахождения производной функции, характеризующей скорость ее изменения в данной точке.
Интегрирование - нахождение первообразной $$F(x)$$ для данной функции $$f(x)$$, такой что, $$\frac{dF(x)}{dx}=f(x)$$ . Обозначение: $$F(x)=\int f(x)dx$$
Уравнение – равенство, содержащее одну или несколько переменных.
Ряд Тейлора - степенной ряд, описывающий поведение данной функции f( х) в окрестности заданной точки.
Функция - соответствие между переменными величинами х и у, в результате которого каждому значению величины $$х$$ (независимой переменной, аргументу) сопоставляется одно-единственное значение величины $$у$$ (зависимой переменной).
Матрица - прямоугольная таблица каких- либо элементов (чисел, математических выражений), состоящая из $$m$$ строк и $$n$$ столбцов.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.