Межотраслевой баланс

Цель лекции. Научить строить модель МОБ. Вводить данные в виде матриц. Производить действия с матрицами: транспонирование, умножение, находить суммы элементов. Рассчитывать матрицы межотраслевого баланса.

3.1. Моделирование межотраслевого баланса

Межотраслевой баланс - инструмент анализа и прогнозирования структурных взаимосвязей в экономике. Метод построения межотраслевого баланса состоит в двойственном рассмотрении различных отраслей и секторов экономики: с одной стороны, как потребляющих продукцию, с другой - как выпускающих те или иные виды товаров и услуг для собственного потребления и нужд других отраслей экономики. Метод "затраты-выпуск",.разработанный Леонтьевым, позволяет анализировать межотраслевые связи первичных затрат выпуска продукции в отдельных отраслях и конечного спроса на них и предоставляет информацию, которую практически невозможно получить, применяя другие методы и модели макроэкономического анализа [15,16,17].

Основу межотраслевого баланса составляет совокупность всех отраслей материального производства. Предположим, что экономическую систему имеет n отраслей, производящих определенные товары и услуги. При производстве товаров и услуг в каждой отрасли расходуются определенные ресурсы, которые производятся как в других отраслях, так и в данной отрасли. Каждая отрасль экономики выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.

Цель балансового анализа - определить, сколько продукции должна произвести каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции [15]. Процесс производства рассматривается за некоторый период времени, например, за год. Часть продукции идет на производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для потребления вне сферы материального производства. В зависимости от того, в каких единицах измерения записываются соотношения баланса, различают натуральный или стоимостной межотраслевые балансы.

Все отрасли производственной сферы экономики представляются в виде таблицы ($$i$$- строки, $$j$$-столбцы). Каждая отрасль будет дважды фигурировать в балансе: как производящая и как потребляющая. Обозначим:

$$x_{ij}$$ – стоимость продукции $$i$$-й отрасли, затраченной $$j$$-й отраслью на производство в течение года;

$$X_i$$ – стоимость валового продукта, потребленного $$i$$-й отраслью в течение года. $$i=1,2,...,n$$; Строка $$X_i$$. – сумма всех поставок $$i$$-й отрасли для производства другим отраслям и конечного продукта $$Y_i$$

$$Y_i$$ — объем продукции $$i$$–й отрасли, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере (объём конечного потребления). В этот объём входят личное потребление граждан, создаваемые хозяйственные запасы, экспорт, инвестиции, обеспечение общественных потребностей. Структура конечного продукта $$Y_i= C_i + I_i + (E_i – M_i)$$ ,где $$С_i$$ - конечное потребление , $$I_i$$ - инвестиции, $$E_i$$ - экспорт и $$M_i$$ – импорт. Сальдо во внешней торговле $$(E_i – M_i)$$.

$$X_j$$– стоимость валового продукта, произведенного $$j$$-й отраслью в течение года, . $$j=1,2,...,n$$;. Столбец $$X_j$$ – сумма затрат $$j$$-й отрасли на производство продукции других отраслей и добавленной стоимости $$V_j$$ ,произведенных $$j$$-й отраслью в течение года.

$$V_j$$ - добавленная стоимость, $$j$$–й отрасли. Структура добавленной стоимости продукта $$V_j$$ $$V_j=P_j+m_j +T_j$$,, где $$P_j$$ оплата труда, $$m_j$$ – чистый доход (прибыль), $$T_j$$,- налоги.

Элементы $$x_{ij}$$ образуют матрицу межотраслевых поставок. Уравнения баланса выражают тот факт, что валовой выпуск $$X_i$$ расходуется на производственное потребление, равное $$х_{i1} + х_{i2} + ... + х_{in}$$ и непроизводственное потребление, равное $$Y_i$$. $$X_J $$ - сумма затрат $$х_{j1} + х_{j2} + ... + х_{jn}$$ на производство продукции других отраслей и добавленной стоимости $$V_j$$ ,произведенных $$j$$-й отраслью в течение года.

$$X_i=\sum_{j=1}^{n}x_{ij}+Y_i, \; i =1,2..n$$

$$X_j=\sum_{i=1}^{n}x_{ij}+V_j, \; j =1,2..n$$

Делается допущение, что материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции.

Для любой пары отраслей можно записать $$a_{ij}=\frac{x_{ij}}{X_j}$$, где $$a_{ij}$$ -постоянный коэффициент. Таким образом, имеем

$$x_{ij}=a_{ij}\cdot X_{ij}, \;i =1..n,\; j =1..n$$

Величины $$a_{ij}$$ - коэффициенты прямых затрат - количество продукции $$i$$-ой отрасли, которое расходуется при производстве одной единицы продукции $$j$$-ой отрасли. Эти величины остаются постоянными в течение ряда лет, поскольку технологии производства также остаются постоянными или мало меняются за указанный промежуток времени.

Соотношения баланса, записанные через коэффициенты прямых затрат, имеют вид::

$$X_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot X_{ij}+Y_i, \;i =1,2..n,$$

Уравнения описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в сектор конечного спроса от каждого производственного сектора поступает та часть произведенной продукции, которая остается после того, как обеспечены потребности производящих секторов.

Записывая уравнения в матричной форме получаем

$$X = A X+ Y$$

где $$X = (X_1, X_2, ..., X_n)$$ - вектор валовых выпусков; $$Y = (Y_1, Y_2, ..., Y_n)$$ - вектор конечного продукта; $$A$$ - матрица прямых затрат

$$A=\begin{pmatrix} a_{11} a_{12} ... a_{1n} \\ a_{21} a_{22} ... a_{2n} \\ ... ... ... ... \\ a_{n1} a_{n2} ... a_{nn} \end{pmatrix} $$

Свойства коэффициентов прямых материальных затрат

Обозначая $$E$$ - единичную матрицу, уравнение (3.5) можно записать в виде

$$(E ? A)\cdot X =Y$$

Если существует обратная матрица $$(E ? A)^{?1}$$ , то из (3.6) следует равенство

$$X = (E ? A)^{?1} Y$$

Однако, для того, чтобы решение имело экономический смысл, необходимо, чтобы $$X\ge0$$ при любом задании вектора конечной продукции, т. е. при любых положительных Y>0. С математической точки зрения это означает , что матрица $$A$$ должна быть продуктивна.

Матрица A называется продуктивной, если для любого вектора $$Y \ge 0$$ существует решение $$X\ge0$$ уравнения (3.7). При этом модель Леонтьева называется продуктивной.

Справедливы следующие критерии продуктивности.

Обратную матрицу обозначим через $$B$$. Матрица $$B=(E-A)^{-1}$$ называется матрицей полных затрат. Тогда уравнение (3.7) имеет вид:

$$X =B\cdot Y$$

Элементы матрицы $$B$$ - $$b_{ij}$$ - коэффициенты полных затрат, $$b_{ij}$$ показывает, каков должен быть валовой выпуск $$i$$-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта $$j$$-отрасли.

3.2. Нахождение матрицы межотраслевых поставок и валовой продукции по матрице прямых затрат и вектору конечной продукции

Одна из основных задач межотраслевого баланса - найти при заданной структурной матрице $$А$$ экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск $$X$$, необходимый для удовлетворения заданного спроса $$Y$$.

Задача 3.1.

Рассмотрим - 3 сектора экономики ( промышленность, сельское хозяйство и транспорт).. В таблице приведены коэффициенты прямых затрат $$a_{ij}$$ отчетного межотраслевого баланса и конечной продукции $$Y$$ (цифры условные).

Найти:

Запишем необходимые уравнения:

Решение

Для расчета в Mathcad используем операции с матрицами и с индексными переменными .

Входные данные. Расчет валовой продукции.

Матрица прямых затрат: $$A=\begin{pmatrix} 0.1 0.05 0.2 \\ 0.3 0 0.15 \\ 0.2 0.4 0 \end{pmatrix}$$

Вектор конечной продукции: $$Y=\begin{pmatrix} 155 \\ 25 \\ 20 \end{pmatrix}$$

Решение:

$$ORIGIN:=1$$

Вводим единичную матрицу $$identity(3)=\begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{pmatrix}$$

$$E:=identity(3)$$

Матрица полных затрат $$B:=(E-A)^{-1}$$, $$identity(3)=\begin{pmatrix} 1.228 0.17 0.217 \\ 0.431 1.123 0.255 \\ 0.418 0.483 1.156 \end{pmatrix}$$

Вектор объемов валовой продукции: $$X:=B\cdot Y$$, $$X=\begin{pmatrix} 200\\ 100\\ 100\end{pmatrix}$$

Расчет матрицы межотраслевых поставок

Проверка проведенных вычислений. Расчет баланса в таблице МОБ.

Сумма по строкам (потребление отраслей):

$$\sum_{i=1}^{3}x_{i,j}$$

$$\begin{array}{|c|} \hline 120 \\ \hline 45 \\ \hline 35 \\ \hline \end{array}$$

Сумма по столбцам (производящие отрасли):

$$\sum_{j=1}^{3}x_{i,j}$$

$$\begin{array}{|c|} \hline 45 \\ \hline 75 \\ \hline 80 \\ \hline \end{array}$$

Вектор чистой продукции (Добавленная стоимость): $$V_j:=X_j-\sum_{i=1}^{3}x_{i,j}$$, $$V^T=(80\;55\;65)$$

Вектор валовой продукции:

$$Y_j+\sum_{j=1}^{3}x_{i,j}$$

$$\begin{array}{|c|} \hline 200 \\ \hline 100 \\ \hline 100 \\ \hline \end{array}$$

3.3. Нахождение матрицы прямых затрат и конечного продукта по данным межотраслевых поставок и валовой продукции

Рассмотрим другую задачу. По данным межотраслевых поставок и валовой продукции найдем структурную матрицу $$ А$$ и вектор конечного спроса $$Y$$.

Задача 3.2.

Рассмотрим 3 сектора экономики6 промышленность, сельское хозяйство и транспорт. Отчетный межотраслевой баланс этих отраслей: стоимости средств производства, произведенных в каждой отрасли и потребленных другими отраслями и валовая продукция приведены в таблице. (цифры условные).

Найти

Уравнения:

Проверка проведенных вычислений. В таблице МОБ рассчитываем :

Решение. Для расчета в Mathcad используются операции с матрицами и с индексными переменными .

Входные данные

Матрица межотраслевых затрат: $$x:=\begin{pmatrix} 20 5 20 \\ 60 0 15 \\ 40 40 0 \end{pmatrix}$$

Вектор валовой продукции: $$X:=\begin{pmatrix} 200\\ 100\\ 100\end{pmatrix}$$

Решение:

$$ORIGIN:=1$$

Вводим единичную матрицу: $$identity(3)=\begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{pmatrix}$$

$$E:=identity(3)$$

$$i:=1..3, \;j=1..3$$

Матрица прямых затрат: $$A_{i,j}:=\frac{x_{i,j}}{X_j}$$, $$x:=\begin{pmatrix} 0.1 0.05 0.2\\ 0.3 0 0.15 \\ 0.2 0.4 0 \end{pmatrix}$$

Вектор конечной продукции: $$Y:=(E-A)\cdot X$$, $$Y:=\begin{pmatrix} 155\\ 25\\ 20\end{pmatrix}$$

Проверка проведенных вычислений. Расчет матрицы МОБ,

Добавленная стоимость (чистая продукция): $$x:=\begin{pmatrix} 20 5 20 \\ 60 0 15 \\ 40 40 0 \end{pmatrix}$$

$$\sum_{i=1}^{3}x_{i,j}$$

$$\begin{array}{|c|} \hline 120 \\ \hline 45 \\ \hline 35 \\ \hline \end{array}$$

$$\sum_{j=1}^{3}x_{i,j}$$

$$\begin{array}{|c|} \hline 45 \\ \hline 75 \\ \hline 80 \\ \hline \end{array}$$

Вектор конечной продукции: $$V_j:=X_j-\sum_{i=1}^{3}x_{i,j}$$, $$V^T=(80\;55\;65)$$

$$Y_j=X_i-\sum_{j=1}^{3}x_{i,j}$$, $$Y:=\begin{pmatrix} 155\\ 25\\ 20\end{pmatrix}$$

$$\sum_{j=1}^{3}V_j=200$$

$$\sum_{j=1}^{3}Y_i=200$$

3.4. Составление межотраслевого баланса затрат труда

Рассмотрим задачу межотраслевого баланса затрат труда и использования трудовых ресурсов. Предполагается, что труд выражается в единицах труда одинаковой степени сложности. Обозначим затраты живого труда в производстве $$j$$-го продукта через $$L_j$$, объем выпущенной продукции, как и прежде, $$X_j$$. Тогда коэффициент прямых затрат труда на единицу $$j$$-го продукта составят:

$$t_j=\frac{L_j}{X_j}$$

$$t_j$$ - прямые затраты труда на единицу $$j$$-го продукта;

Полные затраты труда представляют сумму прямых затрат (живого труда) и затрат овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства. Пусть $$T_j$$ - полные затраты труда на единицу $$j$$-го продукта; $$a_{ij}T_i$$ - затраты овеществленного труда, перенесенного на $$j$$-й продукт через $$i$$-е средство производства; тогда

Система (3.10) включает $$п$$ уравнений по всем отраслям-потребителям. Если заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор-строка коэффициентов прямой трудоемкости, то решение системы (3.10) дает коэффициенты полных затрат труда на единицу каждого вида продукции. Перепишем (3.10) в матричном виде:

$$T=T\cdot A+t$$

отсюда, выполняя простые матричные преобразования, получим:

$$T=t\cdot (E-A)^{-1}$$

Поскольку $$B=(E-A)^{-1}$$ матрица полных затрат, получаем формулу расчета матрицы коэффициентов полных затрат труда:

$$T=t\cdot B$$

где $$T=(T_1,T_2,..,T_n)$$ - вектор-строка коэффициентов полных затрат труда;

$$t_j = (t_1, t_2, ..., t_n)$$ - вектор-строка коэффициентов прямых затрат труда.

Умножим обе части уравнения (3.13) на $$Y$$: $$T\cdot Y= t\cdot B\cdot Y$$, поскольку $$B\cdot Y=X$$ (см. уравнение 3.8),

$$T\cdot Y=t\cdot X$$

Уравнение (3.14) - баланс общих затрат труда: затраты в производстве $$= t\cdot X$$, получен конечный продукт : $$T\cdot Y$$.

Задача 3 .3.

Рассмотрим задачу с 3 секторами экономики (промышленность, сельское хозяйство и транспорт). В таблице приведены коэффициенты прямых затрат отчетного межотраслевого баланса, объемы конечной продукции в млн.руб. и затраты живого труда. Составить межотраслевой баланс затрат труда.

Решение.

Для составления межотраслевого баланса затрат труда необходимо найти следующие показатели

Выполняем проверку проведенных вычислений. В таблице МОБ рассчитываем баланс:

Входные данные

Матрица прямых затрат: $$A:=\begin{pmatrix} 0.2 0.3 0.2\\ 0.4 0.1 0.3\\ 0.3 0.5 0.1 \end{pmatrix}$$

Вектор конечной продукции: $$Y:=\begin{pmatrix} 160 \\ 443 \\ 466 \end{pmatrix}$$

Затраты живого труда: $$L:=(910\; 719 \; 637)$$, $$L^T:=\begin{pmatrix} 910\\ 719\\ 637\end{pmatrix}$$

Решение:

$$ORIGIN:=1$$

Вводим единичную матрицу: $$identity(3)=\begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{pmatrix}$$

$$E:=identity(3)$$

Матрица полных затрат: $$B:=(E-A)^{-1}$$, $$B:=\begin{pmatrix} 2.21 1.24 0.9\\ 1.51 2.21 1.07\\ 1.57 1.64 2.01 \end{pmatrix}$$

Вектор объемов валовой продукции: $$X:=B\cdot Y$$, $$X:=\begin{pmatrix} 1322\\ 1717\\ 1913\end{pmatrix}$$

Матрица межотраслевых поставок: $$i:=1..3, \; j:=1..3$$

$$x_{i,j}=A_{i,j}\cdot X_j$$, $$x:=\begin{pmatrix} 264 515 383\\ 529 172 574\\ 397 859 191 \end{pmatrix}$$

Коэффициенты прямой трудоемкости: $$t_i:=\frac{(L^T)_i}{X_i}$$, $$t:=\begin{pmatrix} 0.688\\ 0.419\\ 0.333\end{pmatrix}$$, $$t^T:=\begin{pmatrix} 0.688 0.419 0.333 \end{pmatrix}$$

Затраты живого труда на конечную продукцию: $$Yt_i:=Y_i \cdot t_i$$, $$Y_t:=\begin{pmatrix} 110.122\\ 185.466\\ 155.203\end{pmatrix}$$

Межотраслевые затраты труда: $$xt_{i,j}:=x_{i,j}\cdot t_i$$, $$xt=\begin{pmatrix} 182 355 263 \\ 221 72 240 \\ 132 286 64 \end{pmatrix}$$

Рассчитываем баланс. Сумма межотраслевых затрат труда и затрат труда на конечную продукцию равна затратам живого труда $$L$$

$$\sum_{j=1}^{3}xt_{i,j}=\sum_{j=1}^{3}xt_{i,j}+Yt_i$$

$$\begin{array}{|c|} \hline 799.878 \\ \hline 533.534\\ \hline 481.797\\ \hline \end{array}$$, $$\begin{array}{|c|} \hline 910 \\ \hline 719\\ \hline 637\\ \hline \end{array}$$, $$L^T=\begin{pmatrix} 910 \\ 719 \\ 637 \end{pmatrix}$$

$$t\cdot X=2.266\times 10^3$$ - затраты труда в производстве

$$T\cdot Y=2.266\times 10^3$$ - полные затраты труда при получении конечного продукта

Основные итоги

Приведены основные параметры и уравнения МОБ. Показано, как построить модель задачи МОБ, как выделить блок данных и блок решения. Продемонстрированы методы работы с матрицами и матричными уравнениями.

Ключевые термины

Межотраслевой баланс - инструмент анализа и прогнозирования структурных взаимосвязей в экономике.

Валовый продукт отрасли - суммарный объем продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта.

Конечный продукт - объем продукции отрасли, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере (объём конечного потребления).

Матрица межотраслевых поставок -$$x{j}$$ - матрица элементов, каждый определяет, сколько продукции $$i$$-й отрасли было использовано в процессе материального производства $$j$$-й отрасли.

Коэффициент прямых затрат - количество продукции $$i$$-ой отрасли, которое расходуется при производстве одной единицы продукции $$j$$-ой отрасли.

Коэффициент полных затрат - объем продукции $$i$$-й отрасли, расходуемый на производство единицы конечной продукции $$j$$-й отрасли,

Коэффициент полных затрат труда - затраты живого и овеществленного труда на производство единицы конечной продукции,

Коэффициент прямых затрат труда - затраты живого труда на производство единицы общего объема произведенной продукции.