Ложная регрессия, коинтеграция и модели корректировки ошибок

12.1. Проблема обнаружения ложной корреляции в данных

Тренды в данных могут привести к ложным корреляциям, следствием которых являются ложные связи между переменными в регрессионном уравнении. Однако в действительности между собой коррелируют только временные тренды.

Временной тренд может быть исключен из результирующей переменной путем построения регрессии этой переменной по времени и перехода к остаткам, которые образуют новую стационарную переменную, уже свободную от тренда. Или этот тренд может быть сразу включен в модель путем введения времени в качестве одной из переменных-регрессоров. При этом используются регрессионные модели, основанные на стандартных $$t$$- и $$F$$-тестах и оперирующие со стационарными временными рядами, имеющими постоянные средние и дисперсии.

При построении регрессии нестационарной переменной на детерминированную переменную времени остатки обычно не дают в результате стационарную переменную.

Рассмотрим, например, два процесса случайного блуждания

где

Оба процесса представляют некоррелированные нестационарные переменные. Поэтому, если оценивается регрессионная модель

то естественно за нулевую гипотезу $$H_{0}$$ принять, что $$H_{0} : \beta _{1} = 0$$, и ожидать, что коэффициент детерминации $$R^{2}$$ будет близок к нулю. Однако нестационарная природа данных влечет нестационарность $$\varepsilon _{t}$$. Таким образом, любая тенденция к росту в обоих рядах ведет к появлению корреляции, которая и будет отражена в регрессионный модели. Хотя каждый ряд растет по совершенно разным причинам с некоррелированными уровнями роста, а значит, что в уравнении $$\Delta y_{t} = \alpha _{0} + \alpha _{1}\Delta x_{t} + \eta _{t}$$ коэффициент $$\alpha _{1}$$ сходится по вероятности к нулю. Итак, корреляция между нестационарными рядами еще не означает наличие существенных (причинных) связей между ними, как это выводится в случае стационарных рядов.

Кроме того, проблема ложной (кажущейся) корреляции, выражающаяся в ненулевой оценке коэффициента $$\beta _{1}$$, осложняется тем, что обычные выборочные $$t$$- и $$F$$-статистики не имеют стандартных распределений, как в случае стационарных рядов. Существует явная тенденция к отрицанию гипотезы $$H_{0} : \beta _{1} = 0$$, которая возрастает по мере увеличения объема выборки. Были проведены по методу Монте-Карло следующие эксперименты. Уравнение (12.3) было оценено 10 000 раз, при этом $$y_{t}$$ и $$x_{t}$$ определялись по уравнениям (12.1) и (12.2). В результате оценок среднее значение $$\beta 1$$ оказалось равным $$-0,012$$ и соответствующая стандартная ошибка равна $$0,006$$ (при размере выборки$$ Т = 100$$). Это дает отрицание нулевой гипотезы. Основываясь на 10 000 повторений, вероятность отрицания $$H_{0}$$ при уровне значимости 0,05 равна 0,753, т.е. для 75,3% регрессий были получены значения $$t$$-статистики с $$|t| > 1,96$$. Это объясняется тем, что средняя $$t$$-статистика, полученная в эксперименте, равна -0,12 с соответствующим стандартным отклонением 7,3. Нестандартное распределение $$t$$-статистики привело к очень высокой вероятности отрицания гипотезы $$H_{0}$$.

Это позволяет сделать вывод, что проблема ошибочного обнаружения связей часто возникает в не связанных между собой нестационарных временных рядах. Данная проблема возрастает с ростом выборки и не может быть разрешена путем выделения трендов в изучаемых рядах, как для стационарных рядов с временным трендом.

Возникает вопрос: когда можно делать вывод о причинной долговременной связи между нестационарными рядами, основываясь на регрессионном уравнении (12.3)? Решение этой проблемы лежит в области коинтеграции нестационарных временных рядов.

Говорят, что ряд содержит единичные корни и интегрируем с порядком $$d$$, т.е. принадлежит классу $$I(d)$$, если он становится стационарным после взятия $$d$$ раз операций вычисления разности от временного ряда. В общем случае любая линейная комбинация рядов класса $$I(d)$$ должна также принадлежать $$I(d)$$. Однако если существует такой вектор $$\beta$$, при котором вектор возмущений $$ut = yt - \beta xt$$ имеет меньший порядок интеграции $$I(d - b)$$, где $$\beta > 0$$, то, по определению Р. Энгла и К. Грангера, $$y_{t}$$ и $$x_{t}$$ коинтегрированы с порядком $$(d, b)$$. Если $$y_{t} \hat{I} I(1)$$ и $$x_{t} \hat{I} I(1)$$, а $$u_{t} \hat{I} I(0)$$, то оба ряда коинтегрированы с порядком CI(1, 1).

С экономической точки зрения, если два или более ряда коинтегрированы, то между ними существует равновесная устойчивая долговременная связь, хотя сами ряды содержат стохастические тренды, т.е. не стационарны. Концепция коинтеграции может быть интерпретирована как существование долговременного устойчивого равновесного соотношения между параметрами экономической системы, а $$\varepsilon _{t}$$ (см. (12.3)) - как расстояние (ошибка) от равновесного направления в пространстве состояний $$(y_{t}, x_{t})$$.

12.2. Краткосрочные модели, коинтеграция и механизм корректировки ошибок

Даже если возможно прямо получить долгосрочную модель, имеет смысл рассмотреть краткосрочную эволюцию переменных при стремлении к долгосрочному состоянию. Это становится необходимым, если не удается обнаружить долгосрочные связи между переменными. В краткосрочных моделях можно использовать экономическую информацию, полученную в результате корректировки, регулирования процесса в целях улучшения прогноза в желаемом направлении.

Связи не всегда находятся в точке равновесия. Основная причина этого состоит в том, что экономические агенты не могут мгновенно приспособиться к новой информации. Часто текущее значение зависимой переменной $$Y$$ определяется не только текущим значением объясняющей переменной $$X$$, но и ее прошлыми значениями. В динамическую модель могут входить также прошлые значения самой зависимой переменной $$Y$$, что упрощает форму динамической модели. В противном случае в модель пришлось бы вводить большое число сильно коррелированных прошлых (с лагом) значений $$X$$.

Одной из простых динамических краткосрочных моделей является уравнение

Понятно, что параметр $$\gamma_{0}$$ отражает краткосрочную реакцию $$y_{t }$$на изменение $$x_{t}$$, но не долгосрочный эффект, который присутствует в модели, находящейся в состоянии равновесия

Поэтому в долгосрочной модели эластичность между $$Y$$ и $$X$$ равна $$\beta _{1} = (\gamma_{0} + \gamma_{1})/(1 - a_{1})$$ в предположении, что $$a_{1} < 1$$. (Это условие необходимо, если краткосрочная модель сходится к долгосрочной.)

Динамическая модель (12.4) может быть легко усложнена (и часто она при этом становится более реалистичной), если увеличить число запаздываний по $$y$$, т.е. параметр $$p$$ и число запаздываний по $$x$$, а значит, параметр $$q$$. Однако при работе с моделями такого вида возникает ряд трудностей. Прежде всего, как было отмечено, существует опасность высокой корреляции между текущими и прошлыми значениями переменных, которая создает проблему мультиколлинеарности (высокий $$R^{2}$$, но неточная оценка параметров и малые значения $$t$$-статистик в модели при том, что форма и число переменных в модели могут быть определены правильно).

Поэтому последовательное исключение незначащих переменных может привести к ошибочной спецификации модели, особенно в случае, когда $$X$$ - векторная переменная. Кроме того, многие, если не все, переменные, входящие в модель, могут быть нестационарными. Это ведет к потенциальной опасности ложной регрессии, так как в этом случае $$t$$- и $$F$$-статистики не подчинены стандартным распределениям и обычные выводы на их основе являются неверными.

Альтернативой может стать построение динамической модели в разностях. Правда, при этом теряется долгосрочная информация модели, что нежелательно при ее использовании в прогностических целях на долгий период.

Более удобным подходом представляется применение механизма корректировки ошибок динамической модели.

Преобразуем уравнение (12.4) к виду модели корректировки ошибок (МКО)

где $$\beta _{0}=a_{0}/(1 - a_{1}).$$

Уравнения (12.4) и (12.6) эквивалентны, но МКО (12.6) имеет несколько серьезных преимуществ. Во-первых, предполагая, что $$X$$ и $$Y$$ коинтегрированы, она сочетает краткосрочный и долгосрочный эффекты. Это видно, когда при достижении долгосрочного равновесия уравнение (12.6) переходит в уравнение равновесия (12.5).

Итак, если в какой-то момент достигается равновесие, то

В течение неравновесного периода выражение в левой части последнего равенства ненулевое и измеряет расстояние от текущего положения системы до точки равновесия. Оценка параметра $$(1 - а_{1})$$ дает информацию о скорости контроля, т.е. о том, с какой скоростью проходит изменение $$y_{t }$$ в зависимости от расстояния до положения равновесия. Большие значения, близкие к 1, величины $$(1 - а_{1})$$ свидетельствуют о том, что экономические факторы (так как в модели участвуют обычно логарифмы натуральных выражений) сильно изменяют результат, если система далека от равновесия. Малые значения $$(1 - а_{1})$$ предполагают, что контроль и достижение долговременной стабилизации происходят медленно, возможно, ввиду высокой стоимости затрат на регулирование (в денежном и неденежном смысле). Предположим, что переменная $$yt$$ начала увеличиваться не так быстро, как это заложено в уравнении (12.5), быть может, из-за большого отрицательного случайного колебания $$u_{t}$$. В этом случае $$y_{t-1} - \beta _{0} - \beta _{1}x_{t-1} < 0,$$ так как $$y_{t-1}$$ растет медленнее $$\beta _{0} + \beta _{1}x_{t-1}$$. Но поскольку $$-(1 - а_{1})$$ отрицательное, в результате произойдут увеличение $$\Delta y_{t }$$ и возврат $$y_{t }$$ по направлению к стабильному пути, определенному уравнением (12.5).

Во-вторых, все члены в МКО стационарные, поэтому остается применимой стандартная регрессионная техника исследований, предполагающая проверку коинтеграции по критерию Дики - Фулера (в данном пособии не рассматриваются) и оценку коэффициентов $$\beta _{0}$$ и $$\beta _{1}$$. Часто $$\beta _{1}$$ полагают единицей ($$\beta _{0}$$полагают равным нулю) и идет проверка такой долговременной эластичности.

В-третьих, МКО весьма близки к идее коинтеграции. Действительно, как показали Р. Энгл и Д. Грангер, если $$y_{t }$$ и $$x_{t}$$ коинтегрированы $$CI(1, 1)$$, тогда существует МКО, и наоборот, МКО генерирует коинтегрированные ряды. Практически результаты, полученные Энглом и Грангером, доказывают, что МКО обладают иммунитетом к ложной регрессии, благодаря тому, что хотя в уравнении присутствуют непреобразованные ряды, они коинтегрированы с некоторым стационарным рядом.

Отметим, что возможны обобщения и усложнения уравнения (12.6). В общем случае можно задать МКО в виде

где

Наконец, есть возможность определить МКО в случае многих переменных, используя множество коинтегрированных векторов.

Контрольные вопросы