В отличие от традиционных курсов не будем использовать определение векторного пространства как некоторого множества объектов, на котором выполняются некоторые аксиомы. Вместо этого определим сразу n-мерные векторы как столбцы, состоящие из $$n$$ вещественных чисел, которые записаны в определенном порядке и которые в дальнейшем будем обозначать следующим образом:
Действительные числа $$x_{i}, i = 1, \dots , n$$ называются координатами (компонентами) вектора $$x$$.
Два вектора $$x$$ и $$y$$ считаются равными, если равны их соответствующие координаты
$$x_{i} = y_{i}, i = 1, \dots , n.$$Для заданных в такой форме векторов определены две линейные операции:
При этом предполагается, что справедливы следующие аксиомы, характеризующие свойства векторного пространства:
Множество всех $$n$$-мерных векторов с определенными на нем операциями сложения и умножения на действительное число называется n-мерным векторным пространством и обозначается $$R^{n}$$.
Линейной комбинацией векторов $$x^{1}, x^{2}, x^{3}, \dots , x^{k}$$ в пространстве $$R^{n}$$ называется выражение вида
Система векторов $$x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots , x_{k}$$ называется
| $$a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} + \dots + a_{k}x_{k} = 0$$ | (1) |
выполняется только в том случае, когда все $$\alpha _{i}, i = 1, \dots , n$$ равны нулю. Если же существует набор коэффициентов $$\alpha _{i}$$, в котором хотя бы одно значение коэффициента отлично от нуля, при котором выполняется равенство (1), то такая система называется линейно зависимой. В случае линейной зависимости системы любой из ее векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.
Совокупность линейно независимых векторов $$e_{1}, e_{2}, \dots , e_{n}$$ называется базисом пространства $$R^{n}$$, если любой вектор этого пространства $$x$$ может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов
| $$x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + \dots + x_{n}e_{n}.$$ | (2) |
При этом равенство (2) называется разложением вектора $$x$$ по базису $$e_{1}, e_{2}, \dots , e_{n}$$, а числа $$x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots , x_{n}$$ координатами вектора в указанном базисе.
Наиболее важными являются следующие утверждения:
Следствием первого утверждения является тот факт, что в $$R^{n}$$ любая система, состоящая из $$s(s > n)$$ векторов, является линейно зависимой.
Некоторое подмножество $$L$$ линейного пространства $$R^{n}$$ называется линейным подпространством (или просто подпространством), если:
Очевидно, что $$dim(L) <= dim(Rn)$$.
Совокупность всех линейных комбинаций векторов $$x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots , x_{k}$$ называется линейной оболочкойэтих векторов.
В эконометрических моделях понятия вектора и векторного пространства являются необходимыми при рассмотрении организации исходных данных. Понятие линейной зависимости (линейной комбинации) составляет основу линейных регрессионных моделей. Ортогональность базисных переменных в значительной степени связана с интерпретацией их независимости в случае нормального распределения.
Скалярным произведением векторов $$x$$ и $$y$$ называется число (скаляр), обозначаемое как ($$x, y$$) (или просто $$xy$$) и определяемое соотношением
Основными свойствами этой операции являются:
Величина 
называется модулем(длиной)вектора x.
Для любых двух векторов $$x$$ и $$y$$ справедливо неравенство Коши-Буняковского $$(x, y)^{2} <= (x, x)(y, y)$$.
Векторы $$x$$ и $$y$$ называются коллинеарными, если $$x = ky$$. Практически это означает, что координаты этих векторов пропорциональны.
Векторы $$x$$ и $$y$$ называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: $$(x, y) = 0$$.
Вещественное линейное пространство называется евклидовым пространством, если в нем определено скалярное произведение элементов. В евклидовом пространстве удобно использовать базис $$e_{1}, e_{2}, \dots , e_{n}$$, все элементы которого взаимно ортогональны и имеют единичную длину, т.е.
$$(e_{i}, e_{j}) = d_{ij},$$где 
- символ Кронекера.
Такие базисы называются ортонормированными и существуют в любом евклидовом пространстве. В ортонормированном базисе координаты вектора $$x$$ можно представить в виде $$x_{i} = (x, e_{i}), i = 1, \dots , n$$, а разложение вектора по базису как
Введение в рассмотрение скалярного произведения позволяет в дальнейшем использовать такие геометрически содержательные понятия, как ортогональность, угол и длина. Эти свойства широко используются при объяснении (обосновании и изложении) метода наименьших квадратов (МНК), в частности, при получении системы нормальных уравнений, а также для объяснения свойств МНК-оценок.
Прямоугольная таблица чисел, содержащая $$m$$ строк и $$n$$ столбцов, называется матрицей (точнее, числовой матрицей). Пару чисел m и n называют размером (порядком) матрицы. Обозначаются матрицы следующим образом: $$A = (a_{ij})$$ или
Числа $$a_{ij}, i = 1, \dots , m; j = 1, \dots , n$$, составляющие матрицу, называются ее элементами.
В случае когда $$m = n$$, матрица называется$$ квадратной$$, а число $$m = n$$ - порядком матрицы.
Матрицу размера $$1 \cdot n$$ называют матрицей-строкой, а матрицу размера $$m \cdot 1$$ - матрицей-столбцом. Очевидно, что матрица размера $$m \cdot 1$$ может рассматриваться как элемент векторного пространства $$R^{m}$$.
Главной диагональю квадратной матрицы размера $$n$$ называется совокупность элементов $$a_{11}, a_{22}, \dots , a_{nn}$$.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной и обозначается $$I$$.
Две матрицы $$A$$ и $$B$$ называются равными, если они одинакового размера и соответствующие элементы равны.
Определим основные операции над матрицами.
Суммой матриц $$A$$ и $$B$$ одинакового размера называется матрица того же размера, определяемая равенством
$$A + B = (a_{ij} + b_{ij}).$$То есть при сложении матриц их соответствующие элементы складываются.
Произведением матрицы $$A$$ на число $$\alpha$$ называется матрица того же размера, определяемая равенством
$$\alpha A = (\alpha a_{ij}).$$То есть при умножении матрицы на число все элементы этой матрицы умножаются на это число.
Операции сложения и умножения матриц на число обладают следующими свойствами:
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается 0. С помощью нулевой матрицы можно сформулировать свойства
$$A + 0 = A; A + (–1)A = 0.$$Транспонированием матрицы $$A$$ называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы матрицы с сохранением порядка их следования. Полученная в результате этой операции матрица называется транспонированной и обозначается $$A^{T}$$ или
Для операции транспонирования справедливы следующие очевидные свойства:
Произведением матриц $$A$$ размера $$m \cdot n$$ и $$B$$ размера $$n \cdot k$$ называется матрица $$C$$ размера $$m \cdot k$$ (обозначается $$C = AB$$), элементы которой определяются по формуле
В том случае, когда произведения матриц определены, будут справедливы следующие свойства:
Следует особо отметить, что в общем случае существование произведения $$AB$$ не влечет за собой существование произведения $$BA.$$
И даже в том случае, когда оба этих произведения $$AB$$ и $$BA$$ существуют, они могут не равняться друг другу. Матрицы, для которых выполняется равенство $$AB = BA$$, называются коммутативными.
Скалярное произведение двух векторов $$x$$ и $$y$$ удобно выразить в форме произведения матриц $$(x, y) = x^{T}y$$. Вместе с тем элементы произведения матриц можно рассматривать как скалярные произведения строк первой матрицы на столбцы второй.
Рассмотрение столбцов матрицы $$A$$ размера $$m \times n$$ в качестве $$m$$-мерных векторов позволяет установить их линейную зависимость. Максимальное число линейно независимых векторов-столбцов матрицы $$A$$ называется рангом по столбцам. Аналогичным образом можно сформулировать понятие ранга по строкам. Для этого достаточно перейти к рассмотрению транспонированной матрицы $$A^{T}$$. Доказывается, что ранг по столбцам матрицы $$A$$ равен рангу по строкам. Эта величина называется рангом матрицы $$A$$ и обозначается $$r (A)$$. Из определения следует, что $$0 <= r(A) <= min(n, m)$$. Для нулевой матрицы полагают $$r (A) = 0$$.
Каждой квадратной матрице по определенному правилу можно поставить в соответствие число (обозначается $$|A|$$ или $$detA$$), называемое определителем (детерминантом) матрицы. Для вычисления определителя матрицы $$A$$ можно использовать формулы
где $$A_{ij}$$ – квадратная матрица порядка $$n - 1$$, которая получается из матрицы $$A$$ вычеркиванием $$i$$-й строки и $$j$$-го столбца.
Определитель $$|A_{ij}|$$ называется минором элемента $$a_{ij}$$. Приведенные формулы называются разложением определителя матрицы $$A$$ по $$j$$-му столбцу и $$i$$-й строке соответственно.
Матрица $$A$$ называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Всякая невырожденная матрица $$A$$ имеет единственную обратную матрицу $$A-1$$, которая по определению удовлетворяет следующим равенствам:
$$AA^{-1} = A^{-1}A = I,$$где $$I$$ - единичная матрица.
Для обратных матриц основными являются следующие свойства:
Они выполняются, если только существуют все входящие в соответствующие равенства матрицы.
Собственным вектором квадратной матрицы $$A$$ порядка $$n$$ называется ненулевой вектор $$x$$, удовлетворяющий равенству
$$Ax = \lambda x,$$где $$\lambda$$ - некоторое вещественное число.
При этом число $$\lambda$$ называется собственным значением матрицы $$A$$, соответствующим собственному вектору $$x$$.
Очевидно, что собственный вектор x определен с точностью до коэффициента пропорциональности, и поэтому обычно нормируется условием $$x^{T}x = 1$$. Для нахождения собственных значений переходят к матричному уравнению $$(A - \lambda I)x = 0$$, которое представляет собой однородную систему уравнений. Для существования ненулевого решения такой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю, т.е. $$|A - \lambda I| = 0$$.
Уравнение $$|A - \lambda I| = 0$$ называется характеристическим уравнением матрицы $$A$$. Корни этого уравнения будут собственными значениями матрицы $$A$$. При этом учитывается кратность корней характеристического уравнения.
Если все корни характеристического уравнения простые, т.е. имеют кратность, равную 1, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.
Элементы линейной алгебры: основные понятия и факты
Краткий обзор основных элементов линейной алгебры и аппарата матричного исчисления, используемых в эконометрических моделях, следует рассматривать как вспомогательный справочный материал, владение которым необходимо для успешного освоения дисциплины. Данное Приложение ни в коей мере не может подменить полноценные учебники по этим вопросам.
В отличие от традиционных курсов не будем использовать определение векторного пространства как некоторого множества объектов, на котором выполняются некоторые аксиомы. Вместо этого определим сразу n-мерные векторы как столбцы, состоящие из $$n$$ вещественных чисел, которые записаны в определенном порядке и которые в дальнейшем будем обозначать следующим образом:
Действительные числа $$x_{i}, i = 1, \dots , n$$ называются координатами (компонентами) вектора $$x$$.
Два вектора $$x$$ и $$y$$ считаются равными, если равны их соответствующие координаты
$$x_{i} = y_{i}, i = 1, \dots , n.$$Для заданных в такой форме векторов определены две линейные операции:
При этом предполагается, что справедливы следующие аксиомы, характеризующие свойства векторного пространства:
Множество всех $$n$$-мерных векторов с определенными на нем операциями сложения и умножения на действительное число называется n-мерным векторным пространством и обозначается $$R^{n}$$.
Линейной комбинацией векторов $$x^{1}, x^{2}, x^{3}, \dots , x^{k}$$ в пространстве $$R^{n}$$ называется выражение вида
Система векторов $$x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots , x_{k}$$ называется
| $$a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} + \dots + a_{k}x_{k} = 0$$ | (1) |
выполняется только в том случае, когда все $$\alpha _{i}, i = 1, \dots , n$$ равны нулю. Если же существует набор коэффициентов $$\alpha _{i}$$, в котором хотя бы одно значение коэффициента отлично от нуля, при котором выполняется равенство (1), то такая система называется линейно зависимой. В случае линейной зависимости системы любой из ее векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.
Совокупность линейно независимых векторов $$e_{1}, e_{2}, \dots , e_{n}$$ называется базисом пространства $$R^{n}$$, если любой вектор этого пространства $$x$$ может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов
| $$x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + \dots + x_{n}e_{n}.$$ | (2) |
При этом равенство (2) называется разложением вектора $$x$$ по базису $$e_{1}, e_{2}, \dots , e_{n}$$, а числа $$x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots , x_{n}$$ координатами вектора в указанном базисе.
Наиболее важными являются следующие утверждения:
Следствием первого утверждения является тот факт, что в $$R^{n}$$ любая система, состоящая из $$s(s > n)$$ векторов, является линейно зависимой.
Некоторое подмножество $$L$$ линейного пространства $$R^{n}$$ называется линейным подпространством (или просто подпространством), если:
Очевидно, что $$dim(L) <= dim(Rn)$$.
Совокупность всех линейных комбинаций векторов $$x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots , x_{k}$$ называется линейной оболочкойэтих векторов.
В эконометрических моделях понятия вектора и векторного пространства являются необходимыми при рассмотрении организации исходных данных. Понятие линейной зависимости (линейной комбинации) составляет основу линейных регрессионных моделей. Ортогональность базисных переменных в значительной степени связана с интерпретацией их независимости в случае нормального распределения.
Скалярным произведением векторов $$x$$ и $$y$$ называется число (скаляр), обозначаемое как ($$x, y$$) (или просто $$xy$$) и определяемое соотношением
Основными свойствами этой операции являются:
Величина называется модулем(длиной)вектора x.
Для любых двух векторов $$x$$ и $$y$$ справедливо неравенство Коши-Буняковского $$(x, y)^{2} <= (x, x)(y, y)$$.
Векторы $$x$$ и $$y$$ называются коллинеарными, если $$x = ky$$. Практически это означает, что координаты этих векторов пропорциональны.
Векторы $$x$$ и $$y$$ называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: $$(x, y) = 0$$.
Вещественное линейное пространство называется евклидовым пространством, если в нем определено скалярное произведение элементов. В евклидовом пространстве удобно использовать базис $$e_{1}, e_{2}, \dots , e_{n}$$, все элементы которого взаимно ортогональны и имеют единичную длину, т.е.
$$(e_{i}, e_{j}) = d_{ij},$$где - символ Кронекера.
Такие базисы называются ортонормированными и существуют в любом евклидовом пространстве. В ортонормированном базисе координаты вектора $$x$$ можно представить в виде $$x_{i} = (x, e_{i}), i = 1, \dots , n$$, а разложение вектора по базису как
Введение в рассмотрение скалярного произведения позволяет в дальнейшем использовать такие геометрически содержательные понятия, как ортогональность, угол и длина. Эти свойства широко используются при объяснении (обосновании и изложении) метода наименьших квадратов (МНК), в частности, при получении системы нормальных уравнений, а также для объяснения свойств МНК-оценок.
Прямоугольная таблица чисел, содержащая $$m$$ строк и $$n$$ столбцов, называется матрицей (точнее, числовой матрицей). Пару чисел m и n называют размером (порядком) матрицы. Обозначаются матрицы следующим образом: $$A = (a_{ij})$$ или
Числа $$a_{ij}, i = 1, \dots , m; j = 1, \dots , n$$, составляющие матрицу, называются ее элементами.
В случае когда $$m = n$$, матрица называется$$ квадратной$$, а число $$m = n$$ - порядком матрицы.
Матрицу размера $$1 \cdot n$$ называют матрицей-строкой, а матрицу размера $$m \cdot 1$$ - матрицей-столбцом. Очевидно, что матрица размера $$m \cdot 1$$ может рассматриваться как элемент векторного пространства $$R^{m}$$.
Главной диагональю квадратной матрицы размера $$n$$ называется совокупность элементов $$a_{11}, a_{22}, \dots , a_{nn}$$.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной и обозначается $$I$$.
Две матрицы $$A$$ и $$B$$ называются равными, если они одинакового размера и соответствующие элементы равны.
Определим основные операции над матрицами.
Суммой матриц $$A$$ и $$B$$ одинакового размера называется матрица того же размера, определяемая равенством
$$A + B = (a_{ij} + b_{ij}).$$То есть при сложении матриц их соответствующие элементы складываются.
Произведением матрицы $$A$$ на число $$\alpha$$ называется матрица того же размера, определяемая равенством
$$\alpha A = (\alpha a_{ij}).$$То есть при умножении матрицы на число все элементы этой матрицы умножаются на это число.
Операции сложения и умножения матриц на число обладают следующими свойствами:
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается 0. С помощью нулевой матрицы можно сформулировать свойства
$$A + 0 = A; A + (–1)A = 0.$$Транспонированием матрицы $$A$$ называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы матрицы с сохранением порядка их следования. Полученная в результате этой операции матрица называется транспонированной и обозначается $$A^{T}$$ или
Для операции транспонирования справедливы следующие очевидные свойства:
Произведением матриц $$A$$ размера $$m \cdot n$$ и $$B$$ размера $$n \cdot k$$ называется матрица $$C$$ размера $$m \cdot k$$ (обозначается $$C = AB$$), элементы которой определяются по формуле
В том случае, когда произведения матриц определены, будут справедливы следующие свойства:
Следует особо отметить, что в общем случае существование произведения $$AB$$ не влечет за собой существование произведения $$BA.$$
И даже в том случае, когда оба этих произведения $$AB$$ и $$BA$$ существуют, они могут не равняться друг другу. Матрицы, для которых выполняется равенство $$AB = BA$$, называются коммутативными.
Скалярное произведение двух векторов $$x$$ и $$y$$ удобно выразить в форме произведения матриц $$(x, y) = x^{T}y$$. Вместе с тем элементы произведения матриц можно рассматривать как скалярные произведения строк первой матрицы на столбцы второй.
Рассмотрение столбцов матрицы $$A$$ размера $$m \times n$$ в качестве $$m$$-мерных векторов позволяет установить их линейную зависимость. Максимальное число линейно независимых векторов-столбцов матрицы $$A$$ называется рангом по столбцам. Аналогичным образом можно сформулировать понятие ранга по строкам. Для этого достаточно перейти к рассмотрению транспонированной матрицы $$A^{T}$$. Доказывается, что ранг по столбцам матрицы $$A$$ равен рангу по строкам. Эта величина называется рангом матрицы $$A$$ и обозначается $$r (A)$$. Из определения следует, что $$0 <= r(A) <= min(n, m)$$. Для нулевой матрицы полагают $$r (A) = 0$$.
Каждой квадратной матрице по определенному правилу можно поставить в соответствие число (обозначается $$|A|$$ или $$detA$$), называемое определителем (детерминантом) матрицы. Для вычисления определителя матрицы $$A$$ можно использовать формулы
где $$A_{ij}$$ – квадратная матрица порядка $$n - 1$$, которая получается из матрицы $$A$$ вычеркиванием $$i$$-й строки и $$j$$-го столбца.
Определитель $$|A_{ij}|$$ называется минором элемента $$a_{ij}$$. Приведенные формулы называются разложением определителя матрицы $$A$$ по $$j$$-му столбцу и $$i$$-й строке соответственно.
Матрица $$A$$ называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Всякая невырожденная матрица $$A$$ имеет единственную обратную матрицу $$A-1$$, которая по определению удовлетворяет следующим равенствам:
$$AA^{-1} = A^{-1}A = I,$$где $$I$$ - единичная матрица.
Для обратных матриц основными являются следующие свойства:
Они выполняются, если только существуют все входящие в соответствующие равенства матрицы.
Собственным вектором квадратной матрицы $$A$$ порядка $$n$$ называется ненулевой вектор $$x$$, удовлетворяющий равенству
$$Ax = \lambda x,$$где $$\lambda$$ - некоторое вещественное число.
При этом число $$\lambda$$ называется собственным значением матрицы $$A$$, соответствующим собственному вектору $$x$$.
Очевидно, что собственный вектор x определен с точностью до коэффициента пропорциональности, и поэтому обычно нормируется условием $$x^{T}x = 1$$. Для нахождения собственных значений переходят к матричному уравнению $$(A - \lambda I)x = 0$$, которое представляет собой однородную систему уравнений. Для существования ненулевого решения такой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю, т.е. $$|A - \lambda I| = 0$$.
Уравнение $$|A - \lambda I| = 0$$ называется характеристическим уравнением матрицы $$A$$. Корни этого уравнения будут собственными значениями матрицы $$A$$. При этом учитывается кратность корней характеристического уравнения.
Если все корни характеристического уравнения простые, т.е. имеют кратность, равную 1, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.
Элементы линейной алгебры: основные понятия и факты
Краткий обзор основных элементов линейной алгебры и аппарата матричного исчисления, используемых в эконометрических моделях, следует рассматривать как вспомогательный справочный материал, владение которым необходимо для успешного освоения дисциплины. Данное Приложение ни в коей мере не может подменить полноценные учебники по этим вопросам.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.