Временные ряды с высокой изменчивостью

Многие временные ряды, возникающие в экономике, не имеют постоянного среднего. Кроме того, во многих рядах фазы спокойствия, невысокой изменчивости чередуются с периодами большой изменчивости, колеблемости.

Исследование динамики валового национального продукта, денежной массы, обменных курсов валют, процентных ставок, рядов показателей урожайности и уровней инфляции дают основание предполагать, что эти ряды не имеют постоянной средней и дисперсии.

Стохастическая переменная с постоянной дисперсией называется гомоскедастической.

Случайная переменная с переменной дисперсией считается гетероскедастической.

Для рядов с изменчивостью безусловная дисперсия может в итоге быть постоянной величиной, хотя в некоторые достаточно продолжительные периоды она может сильно изменяться. Такие временные ряды обозначают как условно гетероскедастические. В этой главе к таким временным рядам будет применена техника авторегрессии и скользящего среднего. Кроме того, будут изучены модели для рядов со средним, зависящим от времени.

Такие переменные, как валовой национальный продукт (ВНП), индексы цен, денежная масса, урожайность, имеют тенденцию к увеличению с течением времени.

Эта тенденция (тренд) может содержать как детерминистические, так и случайные, стохастические компоненты. Важно различать природу тренда в каждом конкретном случае, так как оценка и прогноз трендов различной природы проводят различными способами.

11.1. Авторегрессионные условно гетероскедастические модели (АРУГ-модели)

В эконометрических моделях предполагается, что дисперсия ошибок наблюдений постоянная. Однако такое предположение часто не отвечает характеру временного ряда и задачам прогноза. Например, краткосрочного инвестора - держателя ценных бумаг интересует прогноз уровней доходности и их дисперсии на период владения бумагами. Безусловная (т.е. долговременная) дисперсия не интересна держателю ценных бумаг, если он покупает их сегодня и планирует продажу в краткосрочном периоде, например в течение недели или месяца.

Одним из методов прогнозирования дисперсии является введение независимой переменной, помогающей прогнозировать дисперсию. Рассмотрим простейший случай:

$$y_{t+1} - \alpha _{0} x \varepsilon _{t+1} x (x_{t})^{a1}$$

(11.1)

где

$$y_{t+1}$$	-	переменная уровня доходности;
$$\varepsilon _{t+1}$$	-	белый шум с дисперсией $$\sigma ^{2}$$;
$$x_{t}$$	-	независимая инструментальная переменная, которая может быть наблюдаема в момент t;
$$а_{0}, a_{1}$$	-	постоянные.

Если

$$x_{t} = x_{t-1} = \dots = const,$$

тогда $$y_{t}$$ - последовательность типа белого шума с постоянной дисперсией. Однако, когда реализации $$x_{t}$$ не равны друг другу, дисперсия $$y_{t+1}$$ зависит от наблюдаемого значения $$x_{t}$$, т.е.

$$D(y_{t}+1 / x_{t}) = a_{0}^{2}x_{t}^{2a1}\sigma ^{2}.$$

(11.2)

Если последовательные значения $$x_{t}$$ положительно коррелированы (т.е. большие значения $$x_{t+1}$$ в основном следуют за большими значениями $$x_{t}$$ и соответственно малые значения $$x_{t+1}$$ следуют за малыми значениями $$x_{t}$$), то последовательность условных дисперсий также положительно последовательно (сериально) коррелированна. Для того чтобы использовать метод наименьших квадратов (МНК), линеаризуем модель (11.1) путем логарифмирования

$$ln(y_{t}) = a_{0} + a_{1 }ln(x_{t-1}) + e_{t},$$

(11.3)

где

$$е_{t} = ln \varepsilon _{t}$$

-

слагаемое ошибок.

Часто сложно выбрать кандидата на предсказывающую переменную $$x_{t}$$. Например, трудно сказать, что повлияло на изменчивость индекса российских акций в 2004-2005 гг.: скачок цен на нефть, изменения во внутренней политике по отношению к налогообложению крупных нефтяных компаний или американо-иракская война и изменения во внешней политике стран СНГ.

Кроме того, существуют технические ограничения на преобразование данных. Например, в (11.3) предполагается, что последовательность$$ у_{t}$$ имеет постоянную дисперсию. Если это предположение не выполнено, то необходимы другие преобразования данных.

Вместо использования переменной $$x_{t}$$ или других преобразователей данных Р. Энгл (1982) предложил модель, одновременно оценивающую среднее и дисперсию ряда.

Предположим, что оценивается АР(1)-модель вида

$$y_{t} = a_{0} + a_{1}y_{t-1} + \varepsilon _{t}, a_{1} < 1.$$

(11.4)

Условный прогноз $$y_{t+1}$$ дает

$$Mt(y_{t+1}/y_{t}) = a_{0} + a_{1}y_{t}.$$

(11.5)

Если использовать условное среднее (11.5) для прогноза $$y_{t+1}$$, то дисперсия ошибки составит:

$$M_{t}[(y_{t+1} - a_{0} - a_{1}y_{t})^{2}] = M_{t}\varepsilon _{t}^{2} = \sigma ^{2}.$$

(11.4)

Теперь попробуем использовать безусловный прогноз, т.е. долгосрочное среднее $$\{y_{t}\}$$-последовательности, равное $$a_{0}/(1 - а_{1})$$. Тогда дисперсия ошибки этого прогноза составит:

(11.7)

-$$а_{1}^{2}) > 1$$ и безусловный прогноз больше условного, предпочтительнее давать условный прогноз. Итак, рассмотрим модель (11.4) и условную дисперсию

(11.8)

До сих пор мы полагали, что $$M_{t}\varepsilon ^{2}_{t+1} = \sigma ^{2}$$. Теперь предположим, что условная дисперсия не постоянна.

Представим условную дисперсию в виде АР($$q$$)-процесса, использующего квадраты оцениваемых остатков $$\varepsilon _{t}$$:

$$\varepsilon _{t}^{2 }= \alpha _{0} + \alpha _{1}\varepsilon ^{2}_{t-1}+ \alpha _{2}\varepsilon ^{2}_{t-2}+ \dots + \alpha _{q}\varepsilon ^{2}_{t-q}+ \eta _{t},$$

(11.9)

где

$$\eta _{t}$$

-

белый шум.

Если $$\alpha _{1}, \alpha _{2}, \dots , \alpha _{q} = 0$$, то оценка дисперсии постоянная и равна $$\alpha _{0}$$. В противном случае условная дисперсия $$y_{t}$$ подчинена авторегрессионному процессу (11.9). Следовательно, прогноз условной дисперсии в момент времени $$t + 1$$ имеет вид

$$M_{t}\varepsilon _{t+1} = \alpha _{0} + \alpha _{1}\varepsilon ^{2}_{t} + \alpha _{2}\varepsilon ^{2}_{2} + \dots + \alpha _{q}\varepsilon _{^{2}t+1-q}.$$

(11.10)

Модель, использующая (11.9), называется авторегрессионной условной гетероскедастической моделью (АРУГ-моделью). Существует много возможных вариаций АРУГ-моделей, так как остатки в (11.9) можно получать из АР- и АРСС-моделей или из стандартных регрессионных моделей. На самом деле линейное представление модели в виде (11.9) не обязательно. Например, в модели Энгла использовано следующее представление:

(11.11)

где $$\nu _{t}$$ - белый шум, , $$\sigma ^{2}v - 1., \nu _{t}$$ и $$\varepsilon _{t-1}$$ независимы, $$\alpha _{0} > 0, 0 < \alpha _{1} < 1$$.

Рассмотрим свойства $$\{\varepsilon _{t}\}$$-последовательности. Так как $$\nu _{t}$$ - белый шум и не зависит от $$\varepsilon _{t-1}$$, элементы $$\{\varepsilon _{t}\}$$-последовательности явно имеют нулевое среднее и не коррелированы. Действительно, так как $$M\nu _{t} = 0$$,

Если $$M\nu _{t}\nu _{t-1} = 0$$, то $$M\varepsilon _{t}\varepsilon _{t-i} = 0, i \ne 0$$. Найдем безусловную дисперсию $$\varepsilon _{t}$$:

имеем

$$M \varepsilon ^{2}_{t} = \alpha_{0} / (1 - \alpha_{1}).$$

(11.2)

Покажем, что условное среднее $$\varepsilon _{t}$$ равно нулю:

(11.13)

Можно было бы предположить, что свойства $$\{\varepsilon _{t}\}$$-последовательности не зависят от формулы (11.11), так как среднее равно нулю, дисперсия постоянная и все автоковариации нулевые. Однако влияние (11.11) сказывается на условной дисперсии

$$M(\varepsilon _{t}^{2} / \varepsilon _{t-1}, \varepsilon _{t-2}, \dots ) = \alpha _{0} + \alpha _{1}\varepsilon ^{2}_{t-1},$$

(11.14)

так как $$\sigma ^{2}v= 1$$.

Получилось, что в (11.14) условная дисперсия подчинена авторегрессии первого порядка, т.е. мы имеем дело с АР(1)-моделью. По сравнению с обычной авторегрессией в (11.14) существуют ограничения на коэффициенты $$\alpha _{0}$$ и $$\alpha _{1}$$, которые обязательно должны быть положительными (для положительности условной дисперсии). Кроме того, для устойчивости авторегрессионного процесса приходится предполагать, что $$0 <\alpha _{1} < 1$$.

Уравнения (11.11) - (11.14) демонстрируют существенные черты любого АРУГ-процесса. Для любого АРУГ-процесса структура ошибок такова, что условные и безусловная средние равны нулю. Более того, $$\{\varepsilon _{t}\}$$-последовательность сериально некоррелированная, т.е. для всех $$s \ne 0, М\varepsilon _{t}\varepsilon _{t} - s = 0$$.

Ключевым моментом является утверждение, что ошибки зависимые, так как связаны между собой через второй момент (напомним, что корреляция учитывает только линейную связь). Условная дисперсия представляет собой авторегрессию условных гетероскедастических ошибок. Если реализуется большая ошибка $$\varepsilon _{t-1}$$, тогда $$\alpha _{1}(\varepsilon ^{2}_{t-1})$$ будет велико и дисперсия $$\varepsilon _{t}$$ будет иметь тенденцию к увеличению. В свою очередь, это отразится на изменчивости исходного процесса $$\{y_{t}\}$$. Итак, АРУГ-модели способны улавливать периоды покоя и изменчивости в рядах $$\{y_{t}\}$$.

Имеем

$$Mt - 1y_{t} = a_{0} + a_{1}y_{t} - 1$$

и

$$D(y_{t} / y_{t-1}, y_{t-2}, \dots ) = M_{t-1}(y_{t} -a_{0} - a_{1}y_{t-1})^{2} = M_{t-1}(\varepsilon _{t})^{2} = \alpha _{0} + \alpha _{1}\varepsilon _{^{2}t-1}.$$

Так как $$\alpha _{1}$$ и $$\varepsilon _{t-1}$$ неотрицательные, минимальное значение для условной дисперсии $$y_{t}$$ равно $$\alpha _{0}$$. Для ненулевой реализации $$\varepsilon _{t-1}$$ условная дисперсия $$y_{t}$$ положительно связана с $$\alpha _{1}$$. Если процесс продолжается достаточно долго (так что произвольная постоянная $$\alpha _{0}$$может быть проигнорирована), решение для $$y_{t}$$ находится по формуле

(11.15)

Отсюда

$$My_{t} = a_{0} / (1 - a_{1}),$$

Tак как

D(\varepsilon _{t-j}) = \alpha _{0} / (1 - \alpha _{1}) = const, D(yt) = \alpha _{0} / (1 - \alpha _{1}) (1 - \alpha _{1}^{2}) = const .

Дисперсия $$y_{t}$$ тем больше, чем больше $$\alpha _{0}$$ и чем больше $$\alpha _{1}$$ по абсолютной величине.

АРУГ-процессы могут быть обобщены по нескольким направлениям. Р. Энгл в первоначальной работе 1982 г. рассмотрел целый класс АРУГ($$q$$)-процессов вида

(11.16)

В (11.16) все изменения в $$\varepsilon _{t-1}, \dots , \varepsilon _{t-q}$$ приводят к прямому эффекту действия на $$\varepsilon _{t}$$, поэтому модель условной дисперсии становится подобна модели авторегрессии порядка q.

11.2. Обобщенные авторегрессионные условно гетероскедастические модели (ОАРУГ-модели)

В 1986 г. Т. Болеслев обобщил работу Р. Энгла, предположив, что условная дисперсия может представлять АРСС-процесс. В этом случае ошибки наблюдений описываются формулой

$$\varepsilon _{t} = \nu _{t} \sqrt{ht},$$

(11.17)

где и

(11.18)

Так как $$\nu _{t}$$ - белый шум, не зависящий от прошлых реализаций $$\varepsilon _{t-i}$$, то условные и безусловные средние $$\varepsilon _{t }$$ равны нулю. Важным моментом является формула условной дисперсии для $$\varepsilon _{t }$$

(11.19)

Обобщенная АРУГ($$p, q$$)-модель (ОАРУГ-модель) позволяет ввести авторегрессионные компоненты и слагаемые типа скользящего среднего в гетероскедастическую дисперсию.

Выгода от применения ОАРУГ-моделей очевидна. Кроме того, использование этих моделей позволяет придать более экономный и простой вид описанию модели. Такие модели содержат меньше коэффициентов для оценки, а значит, меньше ограничений на эти коэффициенты.

Ключевым моментом в ОАРУГ-моделях является тот факт, что возмущения $$\{y_{t}\}$$-последовательности образуют АРСС-процесс. Допустим, необходимо оценить $$\{y_{t}\}$$-последовательность с помощью некоторой АРСС-модели. Если модель адекватна, то АКФ и ЧАКФ остатков будут указывать на белый шум. Однако АКФ квадратов остатков могут помочь идентифицировать порядок ОАРУГ-процесса. Исходя из того, что $$M_{t-1}\varepsilon _{t }^{2}- h_{t}$$ перепишем (11.18) в виде

(11.20)

Уравнение (11.20) представляет АРСС-процесс для $$\{\varepsilon _{t}^{2}\}$$-последовательности. Если в процессе присутствует условная гетероскедастичность, то коррелограмма квадратов остатков будет удовлетворять условиям именно такой модели. Последовательность построения коррелограммы следующая.

Сначала оцениваем $$\{y_{t}\}$$-последовательность с помощью лучшей из АРСС-моделей (как это описано в главе 10). Находим $$\varepsilon _{t}^{2}$$-квадраты ошибок модели. Вычисляем выборочную дисперсию остатков $$\sigma ^{2}$$ по формуле

где

$$T$$

-

число остатков.

Вычисляем и графически изображаем выборочные автокорреляции квадратов остатков по формуле

Для больших выборок стандартное отклонение $$\rho (i)$$ может быть взято приблизительно равным$$ Т^{-1/2}$$. Если значение $$\rho (i)$$ сильно отличается от нуля, то это свидетельствует о наличии ОАРУГ-процесса.

Как и в главе 10, $$Q$$-статистика

имеет $$x^{2}$$-распределение с n степенями свободы, если $$\varepsilon _{t}^{2}$$ не коррелированы. Если эта гипотеза отвергается, значит, необходимо принять ОАРУГ-модель. На практике обычно полагают $$n = T/4$$.

Более строгий тест, использующий мультипликатор Лагранжа, для обнаружения существования АРУГ-процесса предложил P. Энгл (1982). Его методология включает два шага:

МНК-оценку наиболее подходящей АР(n)-модели $$y_{t }= a_{0} + a_{1}y_{t-1} + a_{2}y_{t-2} + \dots + a_{n}y_{t-n} + \varepsilon _{t } ;$$

вычисление квадратов ошибок модели $$\varepsilon _{t}^{2}$$. Строим авторегрессию порядка $$q$$ квадратов остатков

(11.21)

Если не подходит ни одна из АРУГ-моделей, то все $$\alpha _{i} (i = 1, \dots , q)$$ равны нулю и $$R^{2}$$-статистика будет мала. Статистика$$ ТR^{2}$$ будет сходиться к $$x^{2}_{q}$$ - распределению. Если$$ ТR^{2 }$$ больше критического значения $$x^{2}_{q}$$ - распределения при заданном уровне значимости, то это свидетельствует о необходимости принять АРУГ-гипотезу.

11.3. Модели АРУГ-М

АРУГ-модель обобщили Р. Энгл, Д. Лилиен и Р. Робинс, позволив среднему процесса зависеть от собственной условной дисперсии. Модели этого класса, названные АРУГ-М-моделями, удобны для изучения рынка ценных бумаг. Основная мысль состоит в том, что избегающие риска агенты (участники рынка) будут требовать компенсацию за то, что держат в своем портфеле рискованные ценные бумаги. Известно, что степень риска часто измеряется дисперсией доходности, поэтому премия за риск будет возрастающей функцией условной дисперсии доходности. Энгл и его соавторы выразили эту мысль, выписав превышение доходности y_{t} от держания рискованных ценных бумаг над государственными облигациями, рассчитанными на погашение в течение одного периода времени, принятого за единицу, в виде

$$y_{t} = \mu _{t} + \varepsilon _{t},$$

(11.22)

где

$$\mu _{t}$$	-	премия за риск, побуждающая избегающих риска агентов держать долгосрочные ценные бумаги, а не краткосрочные государственные облигации;
$$\varepsilon _{t}$$	-	непредсказуемые колебания показателей доходности долговременных рискованных ценных бумаг.

Заметим, что ожидаемое превышение доходности от держания долгосрочных ценных бумаг должно быть равно премии за риск

$$M_{t-1}y_{t} = \mu _{t}.$$

(11.23)

Энгл, Лилиен и Робинс предполагали, что премия за риск является возрастающей функцией условной дисперсии $$\varepsilon _{t}$$; другими словами, чем больше условная дисперсия доходностей, тем большая компенсация необходима участнику рынка, чтобы продолжать держать долгосрочные ценные бумаги. Математически это означает, что

$$\mu _{t} = \beta + \delta h_{t}, \delta > 0,$$

(11.24)

где

$$h_{t}$$

-

условная дисперсия $$\varepsilon _{t}$$.

Выразим $$h_{t}$$ как АРУГ-процесс

$$h_{t} = \alpha _{0} +$$$$\alpha _{0}\varepsilon ^{2}_{t-i}$$

. (11.25)

Уравнения (11.22)-(11.25) образуют основу АРУГ-М-модели.

Если рассмотреть случай $$\alpha _{1} = \alpha _{2} = \dots = \alpha _{q} = 0$$, то модель АРУГ-М вырождается в хорошо известную модель с постоянной премией за риск. Как и в предыдущих случаях, принятие модели АРУГ-М может быть осуществлено на основании теста, использующего выражение типа (11.21). Статистика $$TR^{2}$$ асимптотически распределена как $$x^{2}$$ с числом степеней свободы равным числу ограничений.

$$r_{t}$$ -квартальная доходность трехмесячных облигаций за период от $$t$$ до $$t + 1$$. В конце двух кварталов, вложив один доллар, инвестор получит $$(1 + r_{t})(1 + r_{t+1})$$ долларов. Пусть $$R_{t}$$ означает квартальную доходность от шестимесячных облигаций. Тогда $$(1 + R_{t})^{2}$$ - доход, полученный держателем шестимесячной облигации в конце срока хранения. Превышение дохода от держания шестимесячной облигации (без учета квадратичных членов) приблизительно составит:

$$y_{t} = 2R_{t} - r_{t+1} - r_{t}.$$

(11.26)

Подставляя $$y_{t}$$ в виде константы плюс возмущение, получаем уравнение

$$y_{t} = 0,142 + \varepsilon _{e}.\\ (4,04)$$

(11.27)

В скобках дана $$t$$-статистика свободного члена. Превышение 0,142% за квартал составило четыре стандартных отклонения от нуля. После 1979 г. наступил период более высокой изменчивости, чем в предыдущем периоде наблюдений. Чтобы тестировать наличие АРУГ-ошибок, квадратичные ошибки были представлены регрессией со взвешенным средним квадратичных ошибок

$$h_{t} =\alpha _{0} + \alpha _{1} (0,4\varepsilon ^{2}_{t-1} + 0,3\varepsilon ^{2}_{t-2} + 0,2\varepsilon ^{2}_{t-3} + 0,1\varepsilon ^{2}_{t-4}).$$

При гипотезе, что $$\alpha _{1} = 0, TR^{2} = 10,1$$, которое должно быть распределено как $$x^{2}$$ с одной переменной степенью свободы. При 1%-ном уровне значимости критическое значение $$x^{2}$$-распределения равно 6,635. Следовательно, гетероскедастичность присутствует, без сомнения.

Если существуют АРУГ-ошибки, значит, уравнение (11.27) не отражает суть процесса.

Оценки коэффициентов по методу максимального правдоподобия (ММП-метод) модели АРУГ-М и соответствующие $$t$$-статистики цитируемой работы приведены ниже:

$$y_{t} =$$	$$-0,0241$$	$$+ 0,687ht + e_{t},$$
$$t$$	$$(-1,29)$$	$$(5,15)$$

$$h_{t} =$$	$$0,0023 +$$	$$1,64(0,4\varepsilon ^{2}_{t-1} + 0,3\varepsilon ^{2}_{t-2} + 0,2\varepsilon ^{2}_{t-3} + 0,1\varepsilon ^{2}_{t-4})$$
$$t$$	$$(1,08)$$	$$(6,3)$$

Оценка 1,64 параметра АРУГ-уравнения показывает, что безусловная дисперсия бесконечная (хотя условная дисперсия конечная). Изменения в величине $$\varepsilon _{t-i}$$ ведут к увеличению условной дисперсии. Поэтому и появляются периоды спокойствия и высокой изменчивости. В течение периода высокой изменчивости премия за риск растет.

11.4. ММП-оценка моделей ОАРУГ и АРУГ-М

Рассмотрим метод максимума правдоподобия, необходимый для понимания и написания программ для АРУГ-моделей.

Предположим, что значения $$\{y_{t}\}$$-последовательности нормально распределены со средним $$\mu$$ и постоянной дисперсией $$\sigma ^{2}$$. Из теории вероятностей следует, что логарифм функции правдоподобия, использующей$$ Т$$ независимых наблюдений, распределенных по нормальному закону, имеет вид

где

$$L$$

-

функция правдоподобия.

Задача состоит в максимизации функции правдоподобия по неизвестным параметрам $$\mu$$ и $$\sigma$$ по известным выборочным данным $$\{y_{t}\}$$. Приравняв к нулю частные производные первого порядка, имеем:

Решая систему уравнений относительно $$\mu$$ и $$\sigma$$, получаем:

$$\mu * = \sum y_{t}/T,\\ \sigma ^{2} = \sum (y_{t} - \mu *)^{2}/T.$$

Те же принципы применяются и в регрессионном анализе.

Предположим, что последовательность $$\{\varepsilon _{t}\}$$ получена из модели

$$\varepsilon _{t} = y_{t} - \beta x_{t}.$$

В классической регрессионной модели предполагается, что среднее $$\varepsilon _{t}$$ равно нулю, дисперсия равна $$\sigma ^{2}$$ и различные реализации $$\{\varepsilon _{t}\}$$ независимы и подчинены нормальному распределению вероятностей. Тогда функция правдоподобия принимает вид

Максимизируя по $$\sigma ^{2}$$ и$$ Т$$, получаем стандартные формулы МНК для коэффициентов регрессии

$$\sigma ^{2} = \sum (\varepsilon _{t})^{2}/T,\\ \beta ^{*} = \sum x_{t}y_{t} / \sum (x_{i})^{2}.$$

До сих пор мы получали линейные относительно неизвестных условия первого порядка. К сожалению, для АРУГ-моделей условия первого порядка оказываются нелинейными, и их решение требует более сложных алгоритмов.

Рассмотрим, к примеру, АРУГ(1)-процесс для ошибок регрессионной модели. Снова будем исходить из того, что $$\varepsilon _{t} = y_{t} - \beta x_{t}$$, но условная дисперсия $$\varepsilon _{t}$$ представима в виде

и потому равна

$$h_{t} =\alpha _{0} + \alpha _{1}\varepsilon ^{2}_{t-1}.$$

Хотя условная дисперсия $$\varepsilon _{t}$$ не постоянна, легко ввести необходимые поправки в функцию правдоподобия

где $$h_{t}=\alpha _{0} + \alpha _{1}\varepsilon ^{2}_{t-1} = \alpha _{0} + \alpha _{1}(y_{t-1} - \beta x_{t-1})^{2}.$$

Следует максимизировать функцию относительно $$\alpha _{0}, \alpha _{1}$$ и $$\beta$$. Многие компьютерные программы позволяют провести такую максимизацию итерационными методами.

Контрольные вопросы

Чем была вызвана необходимость исследования моделей с условной гетероскедастичностью?

Что собой представляют АРУГ-модели, какому процессу подчиняется в этих моделях условная дисперсия ошибки исходного временного ряда?

Покажите, что прогнозы для $$M_{t} - 1(\varepsilon _{t})^{2}$$ -модели (11.16) имеют вид авторегрессии порядка $$q$$, т.е. являются процессами вида $$M_{t-1}(\varepsilon _{t})^{2} - \alpha _{0} + \sum \alpha _{0} \varepsilon ^{2}_{t-i }.$$

Дайте определение ОАРУГ-модели. Каковы отличия в поведении условной дисперсии остатков АРУГ- и ОАРУГ-моделей?

Какова область применения моделей АРУГ-М, чем они отличаются от АРУГ-моделей?

Опишите метод максимального правдоподобия для оценок коэффициентов АРУГ-модели Энгла (11.4, 11.11).