Введение в математику. Практикум

Векторные величины, преобразования и пространства

Показывать лекцию целиком
  • Исследовать на разрешимость векторное уравнение (уравнение с неизвестным вектором ): (x,a)=1, где x=(x1;x2) – неизвестный вектор, а=(1;2) – известный вектор, коллинеарный вектору x, (x,a) – их скалярное произведение. Какое скалярное уравнение (какие скалярные уравнения) можно связать с этим векторным уравнением? Найти решение. Указание: использовать условие коллинеарности двух векторов и скалярное произведение двух векторов, выраженных в координатной форме.
  • Пусть дан некоторый технологический процесс, включающий в себя n продуктов, причем, если продукт i потребляется, то с ним связывается некоторое отрицательное число (темп потребления продукта), а если продукт производится, то с ним связывается положительное число (темп производства продукта). Пусть в производстве n продуктов используется набор таких технологических процессов: А1, А2, ..., Аm, количество продукта (производимого или потребляемого) j -го вида в i -ом процессе (i=1, 2,..., m; j=1, 2,...,n) обозначим aij. Описать структуру и темп некоторого конкретного производства и потребления с помощью матрицы вида A(mxn). Поставить одну задачу на нахождение решения системы уравнений. Указание: можно сформулировать, например, задачу поиска такого объема и структуры производства (неизвестных xi ) для которых при заданном темпе произ водства достигается баланс.

  • Многие геометрические преобразования можно задавать соответствующими матрицами (преобразований). Рассмотрим стандартное линейное преобразование плоскости (плоской фигуры) определяемую матрицей, причем мы будем рассматривать не прямоугольную систему координат, а "косоугольную". Например, матрица

    $$A=\left \| \begin{array}{cc}20\\ 01\end{array}\right\|$$

    определяет на плоскости (x1,x2) линейное преобразование рассматриваемого вида, а именно, растяжение плоскости вдоль оси Ох1 в 2 раза (см. рис. 1). Здесь х(1), х(2) – векторы до деформации, а у(1), у(2) – их образы, полученные в результате линейного преобразования по приведенным формулам.

    (рис 1) Преобразование растяжения и сжатия на плоскости

    Записать матрицу сжатия по оси х1 в 2 раза и растяжения по оси х2 в 3 раза. Указание: выпишите связи между новыми (после преобразования) и "старыми" (до преобразования) координатами (осями).

  • Так же можно задать и другое базовое геометрическое преобразование – параллельный перенос на плоскости. Пусть задана "старая" система координат хОу, О(0;0) и "новая" – ХО1У, О1(х0;у0), где оси координат параллельны между собой: x1||x, y1||y (рис. 2).

    (рис 2) Параллельный перенос на плоскости

    Запишите это преобразование в матричной форме. Указание: выпишите связи между новыми (после преобразования) и "старыми" (до преобразования) координатами (осями) или

    $$\left\{ \begin{array}{l}x=x_1+x_0\\ y=y_1+y_0\end{array}\right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1=x-x_0\\ y_1=y-y_0\end{array}\right$$

  • В прямоугольной системе координат запишите в матричном виде зеркальное отражение точек плоскости х1Ox2. Указание: зеркальное отображение относительно оси х1 может быть изображено, например, как на рисунке ниже.

    (рис 3) Зеркальное отображение относительно Ох

  • Осуществите в прямоугольной системе координат преобразование, задаваемое матрицей

    $$A= \left\| \begin{array}{cc}\cos\varphi -\sin \varphi \\ \sin\varphi \cos\varphi \end{array}\right\|,$$

    где $$\phi$$ - произвольный угол. Что происходит в случаях $$\varphi =2\pi , 4\pi , ..$$.? Чему равна матрица А в этих случаях? Что происходит в случаях $$\varphi =\pi , 3\pi ..$$.? Чему равна матрица А в этих случаях? Каким образом связано это преобразование с гармонией и структурированностью окружающего нас мира? Указание: случай $$\varphi =\pi , 2\pi ,4\pi , ..$$.? соответствует тождественному преобразованию (матрица А=Е ); при $$\varphi =\pi , 3\pi , 5\pi , ..$$. преобразование изменяет направления векторов на противоположное (такое преобразование называется центральной симметрией).

  • Свободное время для творческого развития личности, можно рассматривать (несколько упрощенно) как процесс в 5 -мерном пространстве следующих измерений:
  • x1 – "технологические условия производства",
  • x2 – "число рабочих",
  • x3 – "время работы",
  • x4 – "заработная плата",
  • x5 – "социально-экономические условия труда".
    •  Определите аналогично 10 -мерное пространство. Указание: добавьте к "старым координатам" еще 5 новых.
  • Прямая – пространство размерности 1 (измерение – длина). "Обитатели" этого пространства всех "остальных" видят как точки, т.е. "никого равного себе не хотят видеть", все – эгоисты. Плоскость – пространство размерности 2 (ширина, длина). "Обитатели" этого пространства всех остальных "видят" лишь в виде отрезков и точек т.е. "всех видят ниже себя", все – надменны. Проведите аналогии в трехмерном и четырехмерном пространствах. Указание: четырехмерный объект можно представить эскизно своими трехмерными проекциями, аналогично тому, как трехмерный объект можно представить своими тремя проекциями на координатные плоскости.
  • Пространство (обозначаемое как С[a;b] ) всех непрерывных на [a;b] функций, т.е. C([a;b]) ={ $$f(x): x\in [a;b], f(x)$$ – непрерывна}. Операции в этом пространстве можно определить как операции над функциями. Проверьте аксиомы линейного пространства. Указание: любым двум функциям f(x), $$g(x)\in C[a;b]$$ можно сопоставить их сумму: s(x)=f(x)+g(x), $$s(x)\in C[a;b]$$, а так как сумма двух непрерывных функций по свойству непрерывных функций – функция непрерывная, то эта операция не выводит никогда за пределы данного пространства; умножение на число функции – аналогично не выводит за пределы пространства.
  • В пространстве С[a;b] выясните, что может являться нулем, единицей. Введите метрику и норму корректным способом и проверьте аксиомы метрического и нормированного пространства. Вычислите расстояние между функциями x=t, y=sin(t), a=0, b=1. Найдите нормы этих двух функций. Указание: метрику можно определить, например, как $$\rho (x,y)=max|x(t)–y(t)|$$, а норму – как ||x||=max|x(t)|, где максимум берется по всему отрезку [a;b].
    • Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^