Введение в математику. Практикум

Комбинаторика и числовые системы

Показывать лекцию целиком

Задачи

  • Докажите методом математической индукции формулу суммы членов арифметической прогрессии. Указание: формула – $$S_n=\cfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$.

  • Записать для общего случая и с помощью знаков суммы и произведения неравенства:

    $$\begin{array}{c}x_1\le \cfrac {x_1}{1},\\ x_1x_2\le\cfrac{x_1+x_2}{2},\\ x_1x_2x_3\le\cfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\\\dots \end{array}$$

    Указание: найти индуктивно формулу$$x_1x_2\dots x_n \le \cfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}.$$

  • Вычислите наиболее эффективно дробь (7!)/(5!). Указание: представить числитель через знаменатель.

  • Решить рекуррентное уравнение:

    $$\begin{array}{l}x_n=\cfrac{1+x_{n-1}}{x_{n-2}}, \, n>1\\x_0 =a,\, x_1=b. \end{array}$$

    Указание: найти х3, затем х4 и получить соответствующую формулу для xn.

  • Найдите формулу общего члена последовательности, удовлетворяющего рекуррентному соотношению:

    $${c}x_1=0, x_2=2,\\ x_{n+2}=4x_{n+1}–x_n, n=1,2,\dots$$

    Указание: найти х2, затем х3 и т.д.

  • Имеется аудиторская фирма из 10 сотрудников. Сколько можно сформировать различных аудиторских групп фирмы по 5 человек? Сколько можно сформировать аудиторских групп численностью от 1 до 10 человек? Какие группы еще можно формировать и как находить их количество? Указание: использовать формулы для перестановок, подстановок и сочетаний.
  • Вычислить по биному Ньютона 1,15. Как можно использовать формулу бинома Ньютона для приближенных вычислений? Указание: представить 1,1 как 1+0,1 и затем разложить по формуле бинома Ньютона.

  • Вычислить наиболее эффективно суммы:

  • $$\sum\limits_{k=1}^n{\cfrac{2k+1}{k(k+1)}}$$ ;
  • $$\sum\limits_{k=1}^n {\cfrac{(-1)^kk}{(4k^2-1)}}$$ ;
  • $$\sum\limits_{k=0}^n {\cfrac{1}{k+1}}$$.
    •

    Указание: а) представить 2k+1=k+k+1 и затем осуществить почленное деление; б) сгруппировать попарно все последовательные слагаемые и рассмотреть отдельно эти разности; в) сгруппировать.

  • Вычислите числа Ферма и Мерсенна при n=4. Указание: выписать таблицу этих чисел и проанализировать.
  • Постройте треугольник Паскаля при n=12. Указание: выписать числа, отражающие эту "треугольную таблицу".

    • Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  • "Простая" и математическая индукция.
  • Рекурсия, ее приложения в социально-гуманитарных областях. Примеры.
  • Комбинаторика, ее различные приложения в социально-гуманитарных областях. Примеры.
  • Теоремы суммирования и перемножения.
  • Роль формул сокращения записей в математике и приложениях. Примеры.
  • Мировоззренческая роль математики древних и средних веков.
  • Красота математических формул. Примеры.
  • Бином Ньютона, его приложения. Примеры.
  • Цифровые системы. Примеры.
  • Арифметика (алгебра чисел).
    •
    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^