Введение в математику. Практикум

Численный и приближенный анализ

Показывать лекцию целиком

  • С помощью приближенной формулы

    $$x_n= \cfrac12 \left ( x_{n-1}+\cfrac{a}{x_{n-1}}\right)$$

  • для нахождения квадратного корня из числа а, вычислить приближенные значения корня из 2 с точностью 0,01 и 0,001. Сравните объем вычислительной работы. Докажите, что для всякого a>0 найдется N, что xN достаточно (с любой точностью) близко к $$\sqrt{a}$$, т.е. корень из положительного числа можно вычислить с какой угодно точностью по рекуррентной формуле для xn . Указание: положить

    $$\cfrac{x_n}{\sqrt{a}}=1+\varepsilon_n,$$

    разделить выражение для xn на $$\sqrt{a}$$ и учесть это равенство; из полученного равенства

    $$\cfrac{x_n}{\sqrt{a}}=\cfrac12\left(\cfrac{x_{n-1}}{\sqrt{a}}+\cfrac{\sqrt{a}}{x_{n-1}}\right)$$

    следует, что

    $$1+\varepsilon_n= \cfrac12\left( 1+ \varepsilon_{n-1}+\cfrac{1}{1+\varepsilon_{n -1}}\right) \Rightarrow \varepsilon_n = \cfrac12\left( \varepsilon_{n-1}-1+\cfrac{1}{1+\varepsilon_{n -1}}\right) = \cfrac12\cdot\cfrac{\varepsilon _{n-1}}{1+\varepsilon_{n-1}}$$

  • Решить аналитически, графически и приближенно (методом бисекций, с точностью не менее 0,01 ) уравнение x3–x2–5х+6=0. Сравнить вычислительные затраты (время) и точность найденных корней. Указание: для аналитического решения уравнение записать в виде

    $$x^3–2x^2+x^2–5х+6=х^2(х–2)+(х–2)(х–3).$$
  • Даны значения числа зарегистрированных безработных в РФ (млн. чел.) за пять лет, начиная с 1992 года: 3,584 ; 4,160 ; 5,478 ; 6,040 ; 6,800. Построить интерполянту по этим данным и найти численность безработных в 1993 году. Осуществить прогноз на 1997 и 1999 год. Сравнить с реальными данными. Оценить точность прогноза. Указание: точность прогноза оценить в относительных ошибках.
  • По данным предыдущей задачи найти численно производную заданной дискретной функции числа безработных (темп роста безработных). Указание: продифференцируйте найденную выше интерполянту и вычислите значение производной.
  • Если данные получены в результате измерения объекта или системы, находящейся в развитии без лимитирующих факторов, то есть прямой смысл искать соответствующую эмпирическую формулу вида y=Aeax . Обоснуйте это утверждение. Указание: отсутствие лимитирования ведет к экспоненциальному росту, согласно уравнению показательного роста.

  • В качестве эмпирических функций в социально-гуманитарных и эколого-экономических областях часто используются зависимости:

  • степенная – $$y=a_0x^{a_1}$$,
  • показательная – $$y=a_0\cdot a_1^x$$,
  • экспоненциальная – $$y=a_0e^{a_1x}$$,
  • логистическая – $$y=\cfrac{1}{a_0+a_1e^{-a_2x}}$$.
    •

    Выбор функции в каждом конкретном случае осуществляют на основании ряда свойств. Часто о виде модели можно судить по соотношениям (и по скорости изменения значений функции) – по приращениям:

    $$\Delta x = x_{i+1}-x_i,\, \Delta y =y_{i+1}-y_i.$$

    Какие функции лучше подбирать в случаях:

  • $$\cfrac{\Delta \ln y}{\Delta x} \approx const$$ ;
  • $$\cfrac{ y}{\Delta \ln x} \approx const$$ ;
  • $$\cfrac{\Delta \ln y}{\Delta \ln x} \approx const$$.
    •

    Обоснуйте ответ. Указание: если отношение малых приращений функции и аргумента постоянно, то производная, соответствующая этим приращениям близка к постоянной.

  • Подобрать эмпирическую формулу $$y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2$$ при равноточных данных, если зависимость транспортных издержек в руб. (величина y ) при перевозке единицы груза на х км выражена нижеследующей таблицей:

    x 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
    y 0,3010 0,3424 0,3802 0,4150 0,4472 0,4771

    Определить стоимость перевозки (транспортных издержек) при необходимости перевозки груза на расстояние:

  • 1,9 км;
  • 2,5 км;
  • 3,5 км.

    • Указание: используя метод наименьших квадратов и систему нормальных уравнений определить неизвестные три коэффициента искомой зависимости.

  • Необходимо решить приближенно систему трех уравнений с тремя неизвестными, если коэффициенты aij ( i,j=1,2,3 ) системы равны интегралам от функции $$e^{-x^2}$$ в границах от 0 до i+j, а свободные члены bi=i. Указание: вычислить сначала приближенно интегралы (экономно!), например, по формуле трапеций.
  • Торговая фирма закупила товар. Необходимо развести этот товар в два магазина фирмы: в первый магазин необходимо доставить не менее 40 комплектов, а во второй – не менее 20 комплектов. Доставка одного комплекта в первый магазин обходиться в 100 руб., а во второй магазин – 300 руб. Прибыль от реализации одного комплекта товара первого вида равна 500 руб., а второго товара – 700 руб. Необходимо составить такой график перевозки, чтобы чистый доход (прибыль от реализации минус стоимость доставки) была бы максимальной. Сформулировать как задачу математического программирования и решить. Указание: записать в виде транспортной задачи; функция цели – чистый доход (прибыль от реализации минус стоимость доставки).
  • Пенсионному фонду требуется составить оптимальный график выплаты пенсий трех видов в сумме 100, 200, 300 тыс. руб. План выплаты должен предусматривать наименьший срок выплат. Первый вид пенсий должен быть выплачен в течение не менее 8 дней, второй – в течение не менее 12 дней, третий вид – в течение 9 дней. Составить план выплат с наименьшим общим сроком выплат, если пенсионный фонд может в день выплачивать не более 50, 70, 100 тыс. руб. пенсии каждого вида. Сформулировать эту содержательно изложенную задачу как задачу математического программирования и решить. Указание: записать как задачу линейного программирования ; функция цели – срок выплаты.
    • Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^