Введение в математику. Практикум

Элементы линейной алгебры

Показывать лекцию целиком

Задачи

  • Найти матрицы А+В, 3А–2В, А–1 , В–1 , если даны матрицы:

    $$A=\left\| \begin{array}{ccc} 011\\10-2\\55-9\end{array}\right \|, \, B=\left\| \begin{array}{ccc} 012\\202\\551\end{array}\right\|$$

    Указание: использовать соответствующие формулы, например, первый элемент А+В равен a11+b11=0+0=0.

  • Найти обратную матрицу к матрицам:

    $$A=\left\| \begin{array}{cc} 1-2\\-13\end{array}\right \|, \, B=\left\| \begin{array}{cc} -2-1\\-13\end{array}\right \|$$

    Указание: использовать формулу: $$A^{-1}=\cfrac{1}{det(A)}A^*$$.

  • Найти определитель к матрице

    $$A=\left\| \begin{array}{ccc} 3-20\\-431\\-2-2-1\end{array}\right \|$$

    и к ее присоединенной матрице. Найти обратную к А матрицу. Указание: добавить ко второй строке третью и затем разложить по элементам третьего столбца.

  • Будет ли матрица

    $$A=\left\| \begin{array}{ccc} 120\\131\\121\end{array}\right \|$$

    симметричной, диагональной, нулевой, единичной, имеющей нулевой определитель? Указание: все ответы – отрицательные (обоснуйте это!).

  • Найти определитель, транспонированную, союзную и обратную матрицу для матрицы

    $$A=\left\| \begin{array}{cccc} 5761\\3181\\6319\\5291\end{array}\right \|$$

    Указание: для вычисления определителя вычесть первую строку из второй и четвертой, затем умножить первую строку на 9 и вычесть из третей строки, после чего разложить по элементам первой строки.

  • Показать, что

    $$A=\left\| \begin{array}{cccc}1111\\1111\\1141\\1114\end{array}\right \|$$

    имеет собственные числа $$\lambda _{1}=0$$, $$\lambda _{2}=1$$, $$\lambda _{2}=3$$, $$\lambda _{4}=6$$ и собственные вектора:

    $$X_1=\left\| \begin{array}{c}1\\-1\\0\\0\end{array}\right \|, \, X_2=\left\| \begin{array}{c}2\\2\\-1\\-1\end{array}\right \|, \, X_3=\left\| \begin{array}{c}0\\0\\1\\-1\end{array}\right \|, \, X_4=\left\| \begin{array}{c}1\\1\\2\\2\end{array}\right \|$$

    Указание: выписать матричное характеристическое уравнение, записать соответствующей ему линейную систему алгебраических уравнений и решить ее.

  • Решить методом Крамера и Гаусса систему:

    $$\left\{\begin{array}{l} 2x_1+x_2+2x_3=2\\ x_1-2x_2+3x_3=-1\\2x_1+4x_2-6x_3=4\end{array} \right$$

    Оценить количество выполненных арифметических операций в каждом методе и сравнить их. Какой метод более эффективный? Указание: подсчитывать все операции – и те, которые необходимы для исключения неизвестных в методе Гаусса, и те, которые необходимы для нахождения определителя в методе Крамера.

  • Найти, если есть, решение системы линейных алгебраических уравнений:

    $$\left\{\begin{array}{l} 2x_1+x_2+2x_3+x_4=2\\ x_1-2x_2+3x_3-x_4=-1\\2x_1+4x_2-6x_3+3x_4=4\end{array} \right$$

    Указание: найти ранг системы, далее, перенести, например, х4 во всех уравнениях в правую часть и решить затем, считая х4 известным, задаваемым произвольно числом.

  • Проверить для произвольной матрицы А выполнение аксиом нормы, если норму определять одним из способов:

  • $$\|A\| = \max\limits_{1\le j \le n}\sum\limits_{i=1}^n{|a_{ij}|}$$ ;
  • $$\|A\| = \max\limits_{1\le i \le n}\sum\limits_{i=1}^n{|a_{ij}|}$$ ;
  • $$\|A\| = |\det{(A)}|$$
    •

    Указание: а) $$\|A\|\ge0$$ ; б) $$\|A\|=0 \Leftrightarrow A=0$$ ; в) $$\|A+B\|\le\|A\|+\|B\|$$.

  • Древнекитайская задача: в одной клетке сидят фазаны и кролики, а всего в ней 35 голов и 94 ноги; сколько фазанов и кроликов в клетке? Указание: если x – число фазанов, y – число кроликов, то по условию задачи y=35, 2x+4y=94.

    • Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  • Матрицы и их приложения.
  • Действия с матрицами. Решение матричных уравнений.
  • Определители и их приложения.
  • Действия с определителями.
  • Собственные числа и вектора, их приложения.
  • Метод Крамера. Его теоретические и практические возможности.
  • Метод Гаусса. Его теоретические и практические возможности.
  • Решение систем уравнений большой размерности на компьютере.
  • Евклидово пространство. Его значение для математики.
  • Математические пространства (метрическое, нормированное, гильбертово и др.).
    •
    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^