Введение в математику. Практикум

Элементы непрерывного математического анализа

Показывать лекцию целиком

Задачи

  • Выписать решение задачи Коши для уравнения роста численности популяции при отсутствии лимитирующих факторов. Решить конкретную задачу при k=0,01. Указание: прирост пропорционален численности или $$x'(t)=k\pi x(t)$$.
  • Выписать решение задачи Коши для уравнения развития отрасли при f(t)=0,1t2+0,2t+1, x(t0)=1. Указание: темп производства пропорционален объему (в идеальных условиях не лимитируемого производства) производимой продукции или $$x'(t)=k\pi x(t)$$, где, например, k – коэффициент вложений в производство, x(t0)=1 – задано.
  • Выписать решение задачи о распространении технологии при k=0,02 и максимальном уровне насыщения технологией хmax=100. Указание: x’(t)=k[xmax-x(t)], x(0)=x0 .

  • Решить задачу Коши:

  • x’(t)=5x2t, x(0)=1 ;
  • xy’(x)=(x+1)(y–1), y(1)=2 ;
  • y’(x)–хy=3, y(0)=1.
    •

    Указание: а), б) – разделить переменные; в) решить сперва однородное уравнение, разделив переменные.

  • Решить уравнение:

  • y’’(x)+y=0 ;
  • y’’(x)–y’+y=0 ;
  • y’’(x)+y’–2y=0.

    • Указание: выписать характеристическое уравнение и найти его корни.

  • Найти решение задачи:

    $$y’’(x)+y’=0, y’(0)=1, y(0)=2.$$

    Указание: выписать характеристическое уравнение и найти его корни.

  • Исследовать на сходимость ( расходимость ) ряд:

  • $$\cfrac12+\cfrac15+\cfrac 18 + \dots + \cfrac {1}{3n-1}+ \dots =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cfrac {1}{3n-1}$$ ;
  • $$1+ \cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2} + \dots + \cfrac{1}{n^2}+\dots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cfrac {1}{n^2}$$ ;
  • $$\cfrac{1}{\ln2}+\cfrac{1}{\ln3}+\cfrac{1}{\ln4}+\dots+\cfrac{1}{\ln n}+\dots=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\cfrac {1}{\ln n}$$ ;
  • $$\cfrac12-\cfrac15+\cfrac 18 - \dots + (-1)^{n+1}\cfrac {1}{3n-1}+\dots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cfrac {(-1)^{n+1}}{3n-1}$$.

    • Указание: использовать метод сравнения, например, с гармоническим рядом а); геометрической прогрессией б).

  • Найти интервал сходимости степенного ряда:

    $$x+\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{3}+\dots+\cfrac{x^n}{n}+\dots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cfrac {x^n}{n}.$$

    Указание: использовать формулу для радиуса сходимости степенного ряда.

  • Найти интервал сходимости ряда:

    $$x^2+\cfrac{x^4}{2}+\cfrac{x^6}{3}+\dots+\cfrac{x^{2n}}{n}+\dots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cfrac {x^{2n}}{n}.$$

    Указание: использовать формулу для радиуса сходимости степенного ряда.

  • Разложить в ряд Маклорена функцию:

  • y=cos(x) ;
  • y=ex ;
  • y=ex+2 .

  • Указание: выписать через производные коэффициенты ряда.

    • Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  • Теоремы о непрерывности, их приложения.
  • Теоремы о дифференцируемости, их приложения.
  • Теоремы об интегрируемости, их приложения.
  • Дифференциальные уравнения, разнообразие и единство мира.
  • Задача Коши, его история и эволюция.
  • Основные (базовые) методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
  • Ряды конечные и бесконечные, их философский анализ и сопоставление. Переход конечного в бесконечное.
  • Функциональные ряды.
  • Приложения рядов.
  • Роль непрерывного анализа в развитии математической и общей культуры общества.
    •
    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^