Введение в математику. Практикум

Предельный переход и непрерывность

Показывать лекцию целиком

Задачи

  • Покажите, по определению предела последовательности, что $$\lim\limits_{n\to\infty} x_n =2$$, где $$x_n = \cfrac{2n+1}{n}$$, т.е. $$3,\cfrac52,\cfrac73,\dots\cfrac{2n+1}{n}\to2$$ Указание: оценить сверху модуль $$|x_n – 2|$$.

  • Найти пределы:

  • $$\lim\limits_{x\to\infty} \cfrac{3x+6}{6x-4}$$,
  • $$\lim\limits_{x\to\infty} \cfrac{3x^3+6x^2+9}{6x^4-4x^3+4x+6}$$,
  • $$\lim\limits_{x\to\infty} \cfrac{12x^3+6x^2+9x}{6x^3+2x^2+4x+6}$$.
    •

    Указание:

  • разделить числитель и знаменатель на х ;
  • разделить числитель и знаменатель на х4 ;
  • разделить числитель и знаменатель на х3.
    •

  • Какие функции являются бесконечно малыми, а какие – бесконечно большими при x->x0 :

  • $$f(x)=x^3-x+5,\,x_0=0$$ ;
  • $$f(x)=1-x^2,\,x_0=\infty$$ ;
  • $$f(x)=\cfrac{x+1}{x-1},\,x_0=1$$?

    • Ответ обосновать. Указание: найти предел f(x) при x->x0 .

  • Вычислить пределы:

  • $$\lim\limits_{x\to0}\cfrac{\sin3x}{x}$$ ;
  • $$\lim\limits_{x\to0}\cfrac{\tg{2x}-\cos{3x}}{6x}$$ ;
  • $$\lim\limits_{x\to0}\cfrac{1-\cos{4x}}{1-\cos{2x}}$$.

    • Указание: а) умножить и разделить дробь на 3, а затем использовать первый замечательный предел ; б) представить тангенс через синус и косинус; в) использовать формулу $$1 - \cos(2\alpha ) = 2 \sin^{2}\alpha$$ и затем формулу синуса двойного угла.

  • Вычислить пределы:

  • $$\lim\limits_{x\to0}\cfrac{\ln{(1-3x)}}{2x}$$ ;
  • $$\lim\limits_{x\to0}\left(\cfrac{x+1}{x}\right)^{x+1}$$ ;
  • $$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\cfrac{x+8}{x-2}\right)^{x}.$$

    • Указание: использовать второй замечательный предел.

  • Показать, что функция

    $$f(x)=\cfrac{1}{x-2}$$

    имеет разрыв при x=2. Есть ли еще у этой функции разрыв? Указание: оценить отдельно пределы для x<2 и для x>2 при x $$\to$$ 2.

  • В какой точке имеет разрыв функция

    $$f(x)=\cfrac{x+1}{(x-3)(x+2)}?$$

    Указание: исследовать значения х, для которых f(x) стремится к бесконечности.

  • Исследовать на непрерывность в области R функцию вида:

  • $$f(x)=\cfrac{x+1}{x^2-x+2}$$ ;
  • $$f(x)=\cfrac{1}{1-e^{x-2}}$$ ;
  • $$f(x)=\cfrac{x+1}{\ln x}$$.

    • Указание: исследовать значения – 1. x=–1 ; x=2 ; 2. x=2 ; 3. х=0.

  • Выяснить, имеет ли разрыв функция вида (и, если имеет, то в какой точке):

  • $$y=\tg x$$ ;
  • $$y=\cfrac{1}{(x+1)^2}$$ ;
  • $$y=\ln(x+2)$$.

    • Указание: исследовать значения – 1. x=0 ; 2. x= –1 ; 3. х= – 2.

  • Оценить по теореме Вейерштрасса максимальное и минимальное значения функции

    $$f(x)=\cfrac{e^x+2}{e^{-x}}$$

    Указание: проверить непрерывность f(x) (применимость теоремы).

    • Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  • Пределы, их приложения в социально-гуманитарных областях. Примеры.
  • Замечательные пределы и их приложения в науке, практике. Примеры.
  • Предельный переход как философская категория.
  • Бесконечно большие и малые, их социально-гуманитарные приложения.
  • Философы древности о дискретности и непрерывности, их взаимоотношениях.
  • Непрерывное и дискретное – единство и борьба противоположностей.
  • Разрывы функции, их классификация и особенности. Примеры.
  • Методы "обхода" разрывов при анализе функциональных зависимостей.
  • Приложения (применения) теоремы Вейерштрасса. Примеры.
  • Типы неопределенностей и правила их раскрытия. Правила Лопиталя. Примеры.
    •
    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^