Введение в математику. Практикум

Множества, отношения и их использование

Показывать лекцию целиком
  • Доказать свойство множеств: $$(X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)$$. Указание: взять произвольный элемент из правой части равенства и показать, что он принадлежит левой части и наоборот.
  • Записать и доказать свойство, двойственное свойству из предыдущей задачи. Указание: двойственность означает, что пересечение можно "заменить" объединением и наоборот; взять произвольный элемент из правой части равенства и показать, что он принадлежит левой части и наоборот.
  • Привести примеры, показывающие, что не всякая формула задает функцию. Указание: чтобы формула задавала функцию, необходимо "согласие" областей определения и изменения функции и их "непустота".
  • Привести примеры, показывающие, что не всякую функцию можно задать в виде формулы. Указание: чтобы функцию можно было бы задать формулой, необходима ее формализация, что не обеспечивается всеми способами.
  • Пусть даны функции z=1/у, у=cos(х). Найти область определения и область изменения функции z. Указание: знаменатель дроби не может никогда обращаться в нуль.
  • Сформулируйте отношение, которое позволяет классифицировать студентов факультета по успеваемости, с целью назначения стипендий. Указание: например, это может быть отношение, содержательно задаваемое на всем множестве студентов факультета словами "студент успевает по всем предметам"; формализуйте такое отношение и проверьте, что это отношение эквивалентности.
  • Даны процессы перевода с русского языка на английский язык (грамматические отображения текстов на русском языке в тексты на английском языке) или отображение текстов $$\varphi : R\to A$$, с английского – на немецкий ( отображение текстов $$\psi : A\to N$$ ), c немецкого – на французский ( f : N->F ). Выясните смысл отображения: $$y=f(\psi (\varphi (x)))=(f \circ \psi \circ \varphi )(x)$$. Указание: композиция $$\psi (\varphi (x))=(\psi \circ \varphi )(x)$$ представляет перевод текста х на русском языке на английский язык, а затем перевод полученного текста $$\varphi (x)$$ на английском языке в текст $$\psi (\varphi (x))$$ на немецком языке.
  • Выяснить какие отношения ( соответствия ) определяют диаграммы 1-8, приведенные ниже и однозначность этих соответствий. Указание: вспомнить определение соответствия, однозначного, взаимнооднозначного и т.д.

  • Запишите классы, на которые разбивается множество всех целых чисел Z равенством x=y+ka, x, y, k, $$a\in Z$$ для:

  • k=1 ;
  • k=2 ;
  • k=3.
    •

    Указание: это равенство означает, что при делении на a (или k ) число х дает в остатке число y.

  • Пусть

    Х={Иванов, Петров, Сидоров, физика, математика, 12.01.06, 18.01.06, 19.01.06, 21.01.06, 4, 5, 3, 3},

    а отношения r1 и r2 заданы, соответственно, как

    "студент–успеваемость",
"студент–дата сдачи экзамена".

    Запишите таблично отношения r1or2, r2or1. Указание: сделать таблицы, иллюстрирующие указанные отношения, например, таблицу со строками – Иванов, Петров, Сидоров и столбцами физика, математика, в ячейках которого указываются числа или даты.

    • Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^